F1 : Espaces vectoriels
Dans toute la feuille,Kest un sous-corps deC, etE unK-espace vectoriel.
Exercice 1 : Donner des exemples aussi différents que possible deK-espace vectoriel.
Exercice 2 : Soituun endomorphisme deE. On noteu2 =u◦u.
1. En remarquant que siu(x) = u2(y)alorsx−u(y)appartient àkeru, montrer : E =imu+ keru⇐⇒imu=imu2
2. Montrer : im. u∩keru={0} ⇐⇒keru= keru2.
3. Déduire de ce qui précède une condition nécessaire et suffisante surupour que : E =imu⊕keru
Exercice 3 : Soient F, GetHtrois sous-espaces vectoriels . Illustrer à l’aide d’un exemple que la condition :
F ∩G=F ∩H =G∩H ={0}
ne suffit pas pour affirmer que la sommeF +G+H est directe.
Exercice 4 : Montrer que la somme des sous espaces vectorielsP
i≤nEiest directe ssi
∀i < n, X
j>i
Ej
!
∩Ei ={0}
Exercice 5 : Soientpun projecteur deE,GetHdeux sous espaces vectoriels supplémentaires de E, on appelle projection surGparallèlement àH l’application linéaireqdéfinie par :
∀x∈E, ∃!(xG, xH)∈G×H, x=xG+xH, q(x) =xG
1. Montrer que imp⊕kerp=E.
2. Montrer qu’un endomorphisme est un projecteur ssi c’est une projection.
3. SoitF un SEV deE. Montrer quep−1(F) = kerp⊕(F ∩imp)
4. IciE =R2rapportée à une base(i, j), on considère le projecteurpsurRiparallèlement àRj; déterminerp−1(R(i+j)).R(i+j)est-il stable parp?
5. Montrer queF est stable parpssi
F = (F ∩kerp)⊕(F ∩imp)
6. Montrer que pour tout. λ /∈ {0; 1},p−λIdest un automorphisme deE.
Exercice 6 : SoientF unK-espace vectoriel etf une application linéaire deE dansF, siSest un supplémentaire dekerf, montrer que la restriction def àSest un isomorphisme sur imf.
Exercice 7 : Soitf un endomorphisme non nul deE, on noteEf ={u◦f|u∈ L(E)}
1. Montrer queEf est un espace vectoriel.
2. En admettant le résultat suivant : tout SEV deE possède un supplémentaire (Au programme du CAPES n’est présente que la version en dimension finie). Montrer que pour tout endomor- phismeg deE :
g ∈Ef ⇐⇒kerf ⊂kerg 3. Montrer qu’il existe un projecteurpnon nul, appartenant àEf.
Exercice 8 : Soient F un SEV deE etA = {f ∈ L(E)|f(F) ⊂ F}, montrer queAest une sous algèbre deL(E).
Exercice 9 : SoientK =R,E =C∞(R,R)etEi ={f ∈E|f(i)(0) = 0}.
1. Montrer queEiest un espace vectoriel.
2. Montrer que pour touti,Rexpest un supplémentaire deEi.
3. SoitN un entier naturel, déterminer un supplémentaireHdeG=∩0≤i≤NEi, puis déterminer la projection deE surH parallèlement àG.
Exercice 10 : Soit f un endomorphisme de E, tel que pour tout x de E la famille (x, f(x)) soit liée, montrer quef est une homothétie.
Exercice 11 : K =QetE =R, soitnun entier qui ne soit pas un cube parfait.
1. Montrer que(1,√3
n)est une famille libre.
2. Montrer que(1,√3 2,√3
4)est une famille libre, et que le SEV engendréG, est un sous corps de R, on pourra considérerϕx(y) = xyet montrer que pour xnon nulϕx est un isomorphisme deG.
Exercice 12 : On suppose E de dimension finie, soit H1 et H2 deux hyperplans de E distincts, déterminer la dimension deH1∩H2.
Exercice 13 : On supposeE de dimension finie et soientF etGdes sous espaces vectoriels de E de même dimension.
1. Montrer que siF etGsont distincts alorsF ∪G6=E.
2. En déduire par récurrence qu’il existe un supplémentaire commun àF etG.
Exercice 14 : Soitf ∈ L(R3)tel quef2 = 0, montrer :
∃ϕ ∈ L(R3, R), ∃a∈R3, ∀x∈R3, f(x) =ϕ(x)
Exercice 15 : On supposeEde dimension finie, soitf un endomorphisme deEde rang 1. Montrer qu’il existe un unique élément deK,λtel quef2 =λf.
Exercice 16 : On supposeE de dimensionn∈N∗, montrer qu’il existe un entierk tel que rgf >rgf2 >rgf3... > rgfk =rgfk+1 =...=rgfN
en déduire que rgfn=rgfn+1
F2 : Dimension finie, espace dual, matrice
Dans toute la feuille,Kest un sous-corps deC, etE unK espace vectoriel de dimension finie.
Exercice 17 : Soientaetb deux réels distincts. Montrer que l’ensemble des applications affinesf deRtelle quef(a) = f(b)forme un espace vectoriel de dimension 1. Montrer que l’ensemble des polynômes de degré inférieur àn et dont la somme des dérivées de tout ordre en 0 est nulle, forme un espace vectoriel dont on précisera la dimension.
Exercice 18 : SiE =⊕mi=1Ei,dimEi ≤nietP
ni = dimE, montrer quedimEi =ni.
Exercice 19 : Soit f ∈ L(E) on a déjà montré que la suite (rgfk)k était décroissante, en re- marquant que rgfk = rgfk+1 + dim(kerf ∩imfk), montrer que la suite(rgfk−rgfk+1)k est décroissante.
Exercice 20 : Caractériser les endomorphismes deR2, R3 etR4 tels que imf = kerf. Exercice 21 : Montrer que la famille de fonctions(x7→cos(xn))nest libre.
Exercice 22 : Soient(u, v, w)un système libre, montrer que(u+v,2u−3v+ 2w, u−v+ 2w)est libre.
Exercice 23 : Montrer qu’il y a équivalence pour un sous espace vectorielHentre : – H est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
– Il existeanon nul tel queH⊕Ka=E.
Si l’une de ces propriétés est vérifiée, on dit que H est un hyperplan. Quelle est la dimension d’un hyperplan ?
Exercice 24 : Soituun endomorphisme deEtel queu◦u=−Id pour tout élémentanon nul de E on noteEa=vect{a, u(a)}, soitF un SEV stable paru.
1. CalculerdimEa.
2. Montrer queEa∩F 6={0}=⇒Ea⊂F.
3. Montrer que sian’appartient pas àF la sommeEa+F est directe.
4. Montrer qu’il existea1, a2, ...ardansEtels que
E =Ea1 ⊕Ea2 ⊕...⊕Ear
Exercice 25 : SoitBune base deE etΦil’application qui a un vecteurxassocie la ième coordon- née dexdans la baseB.
1. Φiest-elle linéaire ?
2. Quelle est la notation usuelle deΦi? 3. Sie1 = (1,2)ete2 = (1,1), déterminere∗1. 4. Sie1 = (1,2)ete2 = (2,3), déterminere∗1.
Exercice 26 : E =R3[X], on pose∀a∈R, ∀P ∈E, Φa(P) = P(a) 1. Déterminer la base dualeBde la base canonique deE.
2. Déterminer une base deE dont la base duale est(Φ0,Φ1,Φ2,Φ3).
3. ∀P ∈ E, Ψ(P) = R1
0 P(t)dt, montrer que Ψ appartient au dual de E, et déterminer ses coordonnées dans la baseB.
Exercice 27 : Soientxetydeux vecteurs deE distincts, montrer qu’il existe une forme linéaireu surEtelle queu(x)6=u(y).
Exercice 28 : Pour une partieA ⊂ E, on définitA⊥ = {ϕ ∈ E∗|;∀x ∈ A, ϕ(x) = 0}, c’est un sous-espace-vectoriel deE∗. On définit également pourA0 ⊂E∗,A0> ={x∈E| ∀ϕ∈A0, ϕ(x) = 0}, c’est un sous-espace vectoriel deE. soientF etGdeux sous-espaces vectoriels de E, M etN deux sous-espaces vectoriels deE∗, montrer les propriétés suivantes :
1. E⊥ ={0},E∗> ={0}.
2. dimA⊥+ dimA= dimE.
3. (F +G)⊥ =F⊥∩G⊥ 4. (F ∩G)⊥ =F⊥+G⊥ 5. (F⊥)> =F
Exercice 29 : Soit f un endomorphisme de E tel que fm = 0 et fm−1 6= 0. (On dit que f est nilpotent d’ordrem)
1. Montrer en utilisant l’exercice 19 : m≤dimE.
2. Caractériser les endomorphismes nilpotents du plan .
3. Si dimE = m, montrer qu’il existe un vecteur xtel que (x, f(x), f2(x), . . . , fm−1(x)) soit une base deE, quelle est la matrice def dans cette base ?
4. Caractériser les endomorphismes nilpotents de l’espace.
Exercice 30 : Dans l’espace des polynômes de degré inférieur à n. Quelle est la matrice de la dérivation, dans la base canonique ?
Exercice 31 : Soit A ∈ Mn(R), on définit l’endomorphisme φ sur Mn(R) par φ(M) = AM. Quelle est la matrice deφdans la base canonique deMn(R)? Même question avecψ(M) = M A? Exercice 32 : Soient e1 = (2,1) et e2 = (3,2)et f(x, y) = (4x−5y,3x−4y), déterminer la matrice def dans la base canonique deR2 puis dans la base(e1, e2). Que peut-on en déduire pour f?
Exercice 33 : Déterminer la matrice dans la base canonique de R3 de la projection sur le plan d’équation2x−3y−z = 0parallèlement àR(1,1,1).
Exercice 34 : On suppose que dimE = 2n, caractériser tous les endomorphismes f de E pour lesquels il existe une base, dans laquelle la matrice def est de la forme :
0 0 0 U
oùU est une matricen×ninversible.
F3 : Matrices, opérations, trace, rang
Dans toute la feuille,Kest un sous-corps deC, etE unK espace vectoriel de dimension finie.
Exercice 35 : Les matrices suivantes sont-elles équivalentes ? Montrer qu’elles ne sont pas sem- blables :
1)
A=
1 2
−1 1
B =
1 1 1 1
2)
A=
1 2
−1 1
B =
1 3 1 2
Exercice 36 : SoientP ∈ Mn(R), etf l’application deMn(R)dans lui même, définie par
∀X ∈ Mn(R), f(X) =P X +XP
Montrer que f est un endomorphisme puis montrer que sa trace vaut 2ntrP, on pourra pour cela utiliser la base canonique deMn(R).
Exercice 37 : Soit A une matrice de Mn(C)à diagonale strictement dominante c’est à dire telle que
∀i∈ {1, ...n}, |aii|>X
j6=i
|aij|
Montrer queAest inversible (On pourra considérer unXtel queAX = 0etj0tel que|Xj0| ≥ |Xj|).
En déduire que les valeurs propres complexes d’une matriceM sont contenues dans la réunion des boules de centremiiet de rayonP
j6=i|mij|.
Exercice 38 : SoientAetBdeux matrices carrées deMn(R). Montrer queI +ABest inversible ssiI+BAest inversible.
Exercice 39 : SoientA∈GLp(K), B ∈ Mpq(K), C ∈GLq(K),M la matrice définie par bloc : M =
A B 0 C
En faisant une analogie avec le cas ou A, B, C seraient des éléments de K, montrer que M est inversible et calculer son inverse.
Exercice 40 : SoitM ∈ Mn(K)avec rgM = 1.
1. Montrer qu’il existeU, V ∈ Mn1(R)tels queM =UtV 2. Montrer que trM =tU V.
3. Pourpentier naturel, exprimer une relation entreMp, M et trM.
4. Calculer(I+M)(I+kM), en déduire une CNS sur trM pour queI+M soit inversible.
Exercice 41 : SoientA∈ Mpq(K), B∈ Mq(K),M la matrice définie par bloc : M =
Ip A 0 B
Montrer que rgM =p+rgB.
Exercice 42 : SoientA, B ∈ Mpq(K), montrer que :
rg(A+B)≤rgA+rgB Donner un exemple où l’on a une inégalité stricte.
Exercice 43 : SoitM la matrice deMp(K)définie par :
mij = 1 sii=j oui=j −1 mij = 0 sinon
Inverser la matrice M.
Exercice 44 : Résoudre dansRles systèmes suivants, à l’aide du pivot de Gauss :
(S1) =
3x+ 4y−5z = 2 2x−y+ 3z = 4 6x+ 8y−10z = 4
(S2) =
2x+ 4y+z = 1 x+ 2y+ 2z = −3 3x+ 6y−z = 5
Exercice 45 : Soient les plans d’équations : P1 : (1 +α)x−2y+z = 0
P2 : 3x−(1−α)y−2z = 0 P3 : 3x−2y−(1−α)z = 0
A quelle condition surαces trois plans contiennent-ils une droite commune ? Exercice 46 : Résoudre dansRle système suivant :
(S) =
a2x+a3y+az = m a2x+y+az = m x+ay+a2z = m oùaetmsont des paramètres réels.
Exercice 47 : Déterminermpour que le système suivant
(S) =
mx+y+z = 1 x+my+z = m x+y+mz = 1 x+y+z = m ait :
1. Aucune solution 2. Une solution unique 3. Une infinité de solutions
F4 : Opérations élémentaires, rang, déterminant
Dans toute la feuille,Kest un sous corps deC, etEunK espace vectoriel.
Exercice 48 : Soient les systèmes suivants :
S1 =
2x+ 3y+ 4z = 1 x+y+z = 2 x+y+ 3z = 1
S2 =
y+ 2z = −3 (l1 ←l1−2l2)
−2z = 1 (l2 ←l2−l3)
−12y+z = 12 (l3 ←l3−12l1)
Comparer les solutions deS1 etS2,S2 est-il issu deS1par opérations élémentaires successives ? Exercice 49 : (Cours)
SoientA∈ Mnp(K)etr≤min(n, p), on poseJnpr =Pr k=1Ekk
1. Montrer que rgA = r ssi il existe une suite de matrices d’opérations élémentaires (affinité, transvection, transposition) :D1, D2, . . . , Dq, G1. . . , Gq0 telle que
G1G2. . . Gq0AD1D2. . . Dq =Jnpr
2. Montrer que l’ensemble des matrices d’opérations élémentaires engendrent le groupe des ma- trices inversiblesGLn(K).
3. Montrer que rgA=rgtA.
Exercice 50 : SoitA∈ Mnp(K),r =rgA. Montrer qu’il existe une suite de matrices(A1, . . . , Ar) deMnp(K)de rang 1 telle que
A=
r
X
k=1
Ak
Exercice 51 : SoitA, B ∈ Mn(K).
1. Montrer que rg(AB)≤min(rgA,rgB).
2. Montrer en utilisant le théorème du rang que rg(AB)≥rgA+rgB−n.
3. Trouver un exemple dans le casn= 2où le l’inégalité est stricte.
4. Soit P une matrice inversible (n, n), montrer qu’une matrice extraite deP àn1 lignes et n2 colonnes a un rang supérieur àn1+n2−n.
Exercice 52 : Montrer que le système
S=
Pp
k=1a1kxk = b1 ... Pp
k=1ankxk = bn possède au moins une solution ssi
rg
a11 · · · a1p
. ..
an1 · · · anp
=rg
a11 · · · a1p b1
. .. ... an1 · · · anp bn
Exercice 53 : Déterminer le rang des matrices suivantes :
A =
1 1 1
b+c c+a a+b
bc ca ab
B =
1 1 1 1
a b a b
c c d d
ac bc ad bd
Exercice 54 : Déterminer lorsqu’elles existent les inverses des matrices suivantes :
A=
1 a . . . a 0 . .. ... ...
... . .. a 0 . . . 1
B =
1 1 . . . 1 0 2 . .. ...
... . .. 1 0 . . . 0 n
Exercice 55 : SoitEl’espace des fonctions dérivables deRdansC, pour toute fonctionf deE on posef˜a(x) =f(a+x), on définitFf =vect{f˜a|a ∈R}. On noteV l’ensemble des fonctions deE telles queFf soit un espace vectoriel de dimension finie.
1. Montrer queV est un sous espace vectoriel deE.
2. On pose
∀f ∈V,∀λ∈C,∀x∈R, gf,λ(x) =eλxf(x) montrer que la fonctiongf,λappartient àV.
3. Montrer queV contient tous les polynômes.
On poseW =vect({gP,λ|∀λ ∈C,∀P ∈R[X]}) 4. Montrer queW ⊂V.
5. En admettant le résultat suivant : SiH est un SEV de dimension finie deE et(gn)nune suite de fonctions de H qui converge simplement sur R vers une fonction g alors g appartient à H. Montrer que : ∀f ∈ V, f0 ∈ Ff, on pourra considérer la suite de fonctions définie par gk=k( ˜f1
k −f).
6. Montrer que tout élément deV est solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants. En déduire queW =V.
Exercice 56 : Déterminant de Vandermonde Montrer par récurrence surnque
1 x1 x12 . . . x1n−1 ... ... ... 1 xn xn2 . . . xnn−1
= Y
1≤i<j≤n
(xj −xi)
Exercice 57 : Calculer les déterminants suivants :
α=
a b c d b a d c c d a b d c b a
β =
a1 a2 a3 . . . an . .. a2 . . . an ... . .. ... ...
. .. a2 a1 . . . a1
γ =
1 1 . . . 1 1 1 0 . . .
... 0 . .. 0 1 0 . .. 1
F5 : Déterminants, systèmes linéaires
Dans toute la feuille,Kest un sous corps deC, etEunK espace vectoriel.
Exercice 58 : Calculer les déterminants suivants :
α=
1 2 3 2 2 2 5 4 1 3 6 4 2 3 8 7
β =
x x x x x y y y x y z z x y z t
On pourra montrer queβest un polynôme de degré 4 homogène, et chercher ses racines.
Exercice 59 : SoientA= (1; 2)B = (3; 3)C = (4; 6)D= (2; 5).
1. Montrer queABCDest un parallélogramme.
2. Calculer l’aire de ce parallélogramme.
3. Soitfdéfinie parf(x, y) = (2x−7y,3x−4y), quelle est l’aire de l’image du parallélogramme parf.
4. Déterminer un parallélépipède non rectangle de volume égale à 3.
Exercice 60 : SoitP un espace vectoriel de dimension 2, orienté par une base(I;J), extraire de la famille de vecteurs suivante une base directe et une base indirecte :(I+J; 2I+J; 3I+J; 3I+ 2J).
Exercice 61 : SoitC etC0 deux cercles du plan, qui sont tangents à l’origine.
1. En paramètrant ces deux cercles à l’aide de la paramètrisation trigonométrique usuelle, calcu- ler l’aire d’un triangleOM M0 oùM ∈C, M0 ∈C0, à l’aide des deux paramètres.
2. Montrer qu’il existeM0etM00 tels que cette aire soit maximale.
3. Montrer qu’au voisinage d’un tel point, l’aire en tant que fonction des deux paramètres, est une fonction de classeC1.
4. Montrer que l’aire maximale est le produit de 3
√3
4 par le produit des deux rayons.
Exercice 62 : Soient a,b,c>0, montrer que les trois plans d’équations
P1 : (a+b)2x+c2y+c2z = 1 P2 : a2x+ (c+b)2y+a2z = 1 P3 : b2x+b2y+ (a+c)2z = 1
ont un unique point commun ssia+b+c6= 0.
Exercice 63 : Pour tout entiernon pose
fn : Rp[X] → Rp[X]
P(X) 7→ P(X+n)
1. Montrer quefnest un endomorphisme deRp[X].
2. Trouver une relation entrefnetf1.
3. Calculer le déterminant def1 puis celui defn. 4. Trouver une relation entref−1 etf1−1.
5. Soient(xn)et(ym)deux suites telles que pour tout0≤n≤p: xn=
p
X
m=n
Cmnym Écrireym en fonction desxn.
6. Même question avec la relation :xn=Pn
m=0Cnmym
Exercice 64 : Déterminer le nombre de solutions du système suivant :
S =
x+y+z = 1 ax+by+cz = d a2x+b2y+c2z = d2 Exercice 65 : 1. Calculer pourl =net0< l < nla somme :
n
X
k=1
ei2kπln
2. En déduire l’inverse de la matrice de VandermondeV associée aux racines énièmes de l’unité.
V = (ei2kπln )1≤k,l≤n.
Exercice 66 : Soit∆n(a, b)le déterminant de la matrice tridiagonale suivante :
∆n(a, b) =
2a b 0 . . . 0 b 2a b . .. ...
0 . .. ... ... 0 ... . .. . .. b 0 . . . 0 b 2a
1. Trouver une relation entre∆n(a, b),∆n−1(a, b), et∆n−2(a, b).
2. Calculer∆n(52,2).
3. Soit le système :
S =
2ax1+bx2 = y1
bxk−1+ 2axk+bxk+1 = yk ∀k ∈]1, n[
bxn−1+ 2axn = yn Déterminerx1 en fonction dea, bdesyi et des∆i(a, b).
Exercice 67 : Résoudre dansCles systèmes suivants :
S =
x+ 2y+az = 2(3a+ 2) 2x+ay+z = b
ax+y+ 2z = b
x+y+z = 2(a+ 3)
S0 =
x+y+z+t = 1 x+ay+z+bt = c x+by+z+at = c
F6 : Norme matricielle, conditionnement
Exercice 68 : SoitN une norme surMn,1(R), pour toute matriceM deMn(R), on pose kMkN = sup
N(M X)
N(X) |∀X ∈ Mn,1(R)\ {0}
1. Montrer quek kN définie une norme surMn(R)
2. Montrer que∀X ∈ Mn,1(R), N(M X)≤ kMkNN(X).
3. Montrer que∀M, M0 ∈ Mn(R), kM M0kN ≤ kMkNkM0kN.
Exercice 69 : SoitM une matrice deMn(R), on définit la normeN∞surMn,1(R)par : N∞(X) = sup
k∈{1,..,n}
|Xk,1|
1. Montrer que :
∀M ∈ Mn(R), kMkN∞ ≤max
i n
X
j=1
|Mi,j|
!
2. Déterminer unX˜ tel queN∞(MX) = (max˜ i(P
j|Mi,j|))N∞( ˜X).
3. DéterminerkMkN∞.
Exercice 70 : Soit M une matrice inversible deMn(R), on définit le conditionnement deM par condN(M) =kMkNkM−1kN.
1. Montrer que siY =M X etYˆ =MXˆ alors N(X−X)ˆ
N(X) ≤condN(M)N(Y −Yˆ) N(Y)
2. Soient A =
3 2 1 1
, Y = 5
2
, et X la solution de l’équationY = AX et Yˆ = 4,9
2,1
, quand on prendYˆ au lieu deY comme second membre, quelle est l’erreur relative faite enY pour la normeN∞?
3. Résoudre les systèmesY =AXetYˆ =AX.ˆ
4. Calculer le conditionnement deA, ainsi que les erreurs relatives enXet enY. Exercice 71 : SoitM une matrice deMn(R), on définit la normeN1surMn,1(R)par :
N1(X) =
n
X
k=1
|Xk,1|
Montrer quekMkN1 = (maxj(P
i|Mi,j|))N1( ˜X)
CAPES de Mathématiques Université de Cergy Pontoise TD d’algèbre linéaire 2001/2002
F7 : Réduction des endomorphismes
Dans toute la feuille,KestRouC,nun entier naturel non nul, etE unK espace vectoriel.
Exercice 72 : Diagonaliser les matrices suivantes, en expliquant bien chaque étape de la diagona- lisation :
M =
1 2 −4 4 3 −8 2 2 −5
N =
3i 1−i 4
−1−2i 1 + 2i −2 + 3i 2 +i −1−i 1−3i
Quelle est l’endomorphisme associé àM dans une baseB= (e1, e2, e3)? Exercice 73 : Soientαun réel non entier, etf l’application définie par :
∀P ∈R2n[X], f(P) = (X2−1)P0−2(nX +α)P
1. Montrer quef est un endomorphisme deR2n[X].
2. En résolvant une équation différentielle, déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres def.
3. Montrer quef est diagonalisable.
4. Montrer que :∀P ∈R2n[X],∃a−n, . . . , an ∈R, P =Pn
k=−nak(X−1)n−k(X+ 1)n+k Exercice 74 : 1. Soient A etB deux matrices carrées, en calculant de deux façons différentes
le déterminant défini par bloc suivant, montrer queABetBAont même polynôme caractéris- tique.
λI B A I
2. SoientA= 1 0
0 0
etB =
0 1 0 0
, montrer queBAest diagonalisable mais pasAB.
3. Montrer que siB est inversible etABest diagonalisable alorsBAest diagonalisable.
Exercice 75 : SoientA, bdes matrices non nulles deMn(R) 1. Montrer que rgRA=rgCA.
2. Montrer queAetBsontRsemblables ssi elles sontCsemblables, on pourra étudierdet(P1+ xP2)avecP1+iP2 matrice inversible.
3. Dans la suite, on suppose queAvérifie la relationA3+2A2+2A= 0,Aest-elle diagonalisable dansC? dansR?
4. Montrer queAest de rang pair.
Exercice 76 : Montrer que si un endomorphisme ude E est diagonalisable alors toute restriction deuà un SEV stable paruest aussi diagonalisable.
Exercice 77 : Soituun endomorphisme deE, etF un SEV stable paru.
2. SidimE =netupossèdenvaleurs propres distinctes , déterminer les sous-espaces vectoriels stables paru.
3. SoitB= (e1, e2, e3)une base deE, et supposons queua pour matriceM dansB.
M =
3 1 0
2 4 9
−4 −4 −7
Déterminer les sous espaces vectoriels stables paru, on pourra utiliser le théorème de Cayley- Hamilton.
Exercice 78 : SoitM ∈ Mn(R)une matrice de rang 1.
1. Montrer que les valeurs propres deM sont incluses dans{0,trM}.
2. Déterminer les dimensions des différents espaces propres.
3. Montrer queM est diagonalisable ssi trM 6= 0.
4. Soient A et B deux matrices de Mn(R) et ϕ définie sur Mn(R) par ϕ(N) = tr(AN)B.
Montrer queϕest linéaire de rang 1, et montrer qu’elle est diagonalisable ssi trAB 6= 0.
Exercice 79 : On munit l’espace affine d’un repèreR, et on considère la transformationϕqui à un pointM : (x, y, z)associe le pointM0 : (x0, y0, z0)avec
x0 = 4−x−y−z
y0 =−16 + 8x+ 5y+ 4z z0 = 4−2x−y
Montrer queϕest une affininité dont on précisera les éléments caractéristiques.
Exercice 80 : SoitM un élément deGLn(C)telle queM2soit diagonalisable, montrer qu’alorsM est diagonalisable, on pourra utiliser les polynômes annulateurs. Montrer sur un exemple2×2que le résultat n’est pas vrai dansR, on pourra par exemple penser à une rotation.
Exercice 81 : Soit u un automorphisme d’un C espace vectoriel E de dimension finie, et n +d sa décomposition de Dunford. Soientλ1, . . . , λk les valeurs propres deude multiplicitéα1, . . . , αk, F1, . . . , Fk les sous espaces caractéristiques associés(Fi = ker(u−λi)αi)deu.
1. Montrer queE =F1⊕F2⊕. . .⊕Fk. On noteti la projection surFiparallèlement à⊕j6=iFj. 2. Montrer queFi est stable par d, montrer que la restriction de d àFi est diagonalisable puis
déterminerd|Fi, montrer enfin que la restriction denàFiest nilpotente.
3. On poseΠi(X) = (X−λi)αi,Π(X) =Qk
j=1Πj(X), etPi(X) =Qk
j=1j6=iΠj(X) – Montrer qu’il existe des polynômesUi etVi tels queUiΠi+ViPi = 1.
– Montrer quetiet(ViPi)(u)coïncident surFi, puis surE.
– Montrer quenetds’écrivent comme des polynômes enu.
4. Application avecA=
1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2
Exercice 82 : Triangulariser la matrice suivante :
A=
6 −1 −1 −4 9 −1 −3 −9
0 0 2 0
1 0 0 1
On pourra utiliser le fait que le polynôme caractéristique est(X −2)4. Une matrice de passage de jordan est
−6 2 1 7
1 0 0 −1
3 −1 −1 −3 6 −2 −1 −6
F8 : Espaces euclidiens
Exercice 83 : 1. Montrer que :On(2)est formé des matrices M =
a b c d
telles que
a2+b2 =c2+d2 = 1 ac+bd= 0 ad−bc= ±1
2. Premier cas : ad−bc = 1. Les matrices correspondantes forment le groupeSO(2). montrer queM est de la forme
M =
cosθ −sinθ sinθ cosθ
DoncSO(2)est le groupe des rotations d’angle arbitraire autour de l’origine.
3. Deuxième cas :ad−bc=−1. Montrer qu’alors il existeP orthogonale telle que
tP M P =
1 0 0 −1
Interprétation géométrique.
4. SoitN ∈SO3(R), montrer queN possède la valeur propreλ0 = ±1, montrer qu’il existeP etAorthogonales telle que
tP M P =
λ0 0 0 0
0 A
En déduire qu’il existeP orthogonale etθ∈Rtel que
P−1N P =
1 0 0
0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ
ou
−1 0 0
0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ
Exercice 84 : soitE un espace euclidien de dimensionn, etuun endomorphisme deE.
1. Montrer queu◦u∗ est diagonalisable. on noteα1, α2,· · · , αnses valeurs propres, rangées par ordre croissant.
2. SoitM la matrice deudans une b.o.n.B, montrer que : trtM M =
n
X
k=1
αk2 = X
1≤i,j≤n
Mi,j2
3. Montrer que :α1 ≥0.
4. montrer que :∀x∈E, √
α1kxk ≤ ku(x)k ≤√
αnkxk.
5. Montrer que sif est un endomorphisme symétrique, sa norme d’endomorphisme est égal à la plus grande valeur absolue de ses valeurs propres.
6. Montrer que la norme d’endomorphisme deu est égale à la racine carrée du rayon spectrale deu◦u∗.
Exercice 85 : Déterminer dans la base canonique la matrice de la projection orthogonale sur le plan P d’équationx+ 2y−2z = 0. Déterminer la distance du vecteuru= (2,3,1)àP.
Exercice 86 : On munit l’espace des polynômes du produit scalaire < P, Q >= R1
0 P(t)Q(t)dt.
On appelle H le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 1. Déterminer le projeté orthogonal deX2surH. Interprétation.
Exercice 87 : Soientnetpdeux entiers tels quen≥p,A∈ Mn,p(R)de rangp, etB ∈ Mn,1(R).
On cherche à minimiserkAX−Bk.
1. Sin=p, répondre à la question.
2. Montrer queAX = 0⇒X = 0puis quetAAest inversible.
3. On noteH={AX|X ∈ Mp,1(R)}, comment peut-on interpréter le résultat cherché en terme de distance ?
4. Déterminer le minimum demandé.
5. Application :
A=
1 2
−1 1 2 1
etB =
1 1
−1
Exercice 88 : DécompositionQR. SoitAune matrice inversible réelle.
1. SoitB1 la base canonique de Rn, B2 la base telle que la matrice de passage deB1 àB2 soit la matriceAetB3 la base orthonormale construite à partir deB2 grâce à la méthode de Gram Schmidt, montrer que A peut s’écrire comme le produit d’une matrice orthogonale par une matrice triangulaire supérieure.
2. Méthode Householder.
(a) On appelle matrice de Householder les matrices de la formeH(v) = I−2vtvvtv, calculer H(v)và quels endomorphismes correspondent-elles dans un espace euclidien, sont-elles orthogonales ?
(b) Montrer que pour tout vecteurv tel queP
i>2|vi| 6= 0:H(v ± kvke1)v =±kake1 (c) Montrer qu’il existe une matrice de Householder H telle que HA n’ait plus que des
zéros sous la diagonale, dans la première colonne, de proche en proche on construit une décompositionQR.
3. Déterminer la décompositionQRde la matrice :
A=
1 0 −1 0 1 1
−1 1 0
F9 : Espaces euclidiens, hermitiens, matrices symétriques
Exercice 89 : On dit qu’une matrice symétriqueM est positive si pour tout vecteur colonneX, on atXM X ≥0. SoitSune matrice symétrique positive.
1. Montrer qu’une matrice symétrique est positive ssi toutes ses valeurs propres sont positives.
2. Montrer qu’il existe une matrice symétrique positiveRtelle queR2 =S.
3. Montrer qu’il existe une unique matrice symétrique positiveRtelle queR2 =S.
4. On appelle racine carrée deSla matriceR. Calculer la racine carré de la matrice M =
2 1 1 2
Exercice 90 : Soit(E, < , >)un espace euclidien etΨl’application deEdans son dualE∗définie par
Ψ(x) : E → E y 7→ < x, y >
1. Montrer queΨest un isomorphisme (d’espace vectoriel).
2. Pour une partie A ⊂ E, on définit A◦ = {ϕ ∈ E∗|∀x ∈ A, ϕ(x) = 0}, c’est un sous- espace-vectoriel de E∗ et A⊥ = {y ∈ E|∀x ∈ A, < x, y >= 0}. On a donc deux notions d’orthogonalité une pour le produit scalaire, une pour la dualité. Montrer que :
Ψ(A⊥) = A◦
3. Soit maintenant un espace vectorielF de dimension finie etB une base deF. Montrer qu’il existe un unique produit scalaire qui rend la base B orthonormale, on définit alors pour ce produit scalaire l’applicationΨcomme précédemment, déterminer l’image deBparΨ.
Exercice 91 : Soit(E, < , >)un espace euclidien, etf = (u1, . . . , up)une famille de vecteur. On noteG(u1, . . . , up)la matrice de Gram de cette famille c’est à dire la matrice(< ui, uj >)i,j.
1. Montrer que sif est liée alorsdetG(f) = 0.
2. Montrer que sif est libre la restriction du produit scalaire au sous espace engendré parf est encore un produit scalaire, montrer quedetG(f)>0, on pourra se placer dans une b.o.n. de F.
3. Montrer quedetG(u1+P
i≥2αiui, u2. . . , up) = detG(u1, . . . , up).
4. SoitF un SEV deE, on notepla projection orthogonale surF. (a) Sifest une b.o.n. deF montrer que∀u∈E, p(u) =Pp
i=1 < u, ui > ui, si on complète laf en une b.o.n. deE, quelle est la distance entre un vecteuruetF?
(b) On considère maintenant quef est une base deF, pour un vecteuru deE, déterminer G(u−p(u), u1. . . up), en déduire la formule suivante :
d(u, F) = detG(u, u1. . . up) detG(u1. . . up)
(c) Utiliser chacune des deux méthodes pour déterminer la distance entre le planΠd’équa- tion2x−3y+ 4z = 0et le vecteuru= (13,−4,5).
(d) Utiliser chacune des deux méthodes pour déterminer la distance entre la droite ∆ = R(2,−2,−3)et le vecteuru= (13,−4,5).
Exercice 92 : SoitA, B ∈ Mn(C), montrer queA =B ⇐⇒ ∀X, Y, X∗AY =X∗BY. SoitA, B des matrices hermitiennes deMn(C), montrer queA=B ⇐⇒ ∀X, X∗AX =X∗BX.
Exercice 93 : Déterminer une base orthonormale du plan d’équation(1 +i)x−iy+z = 0dans C3 munie du produit scalaire hermitien canonique.
Exercice 94 : SoitAetB des matrices hermitiennes. On poseM =AB−BA.
1. Montrer queM∗ =−M.
2. Montrer que les valeurs propres deM sont imaginaires pures.
Exercice 95 : Soitλ >0etn >2, déterminer toutes les matrices deMn(R)telles que : M =λMˆ
on pourra commencer par montrer que ce sont des matrices de similitudes.
Exercice 96 : SoientEun espace hermitien etx, y1, . . . , yndes vecteurs deE. Montrer en utilisant l’inégalité de Cauchy-schwarz : on pourra regarder(P
αk < x, yk >)2.
n
X
k=1
|< x, yk >| ≤ kxk X
1≤p,q≤n
|< yp, yq >|
!12
Exercice 97 : Soit C la conique d’équation : 5x2 + 2y2 + 4xy = 1, déterminer un repère or- thonormale dans laquelle l’équation de C est réduite. Même question avec la conique d’équation 5x2+ 2y2+ 4xy−4y= 1
Exercice 98 : SoitAune matrice hermitienne, on noteλ1, . . . , λnles valeurs propres deArangées par ordre croissant. On noteVkl’ensemble des sous espaces vectoriels deMn,1(C)de dimensionk, U1, . . . , Unune base orthonormale deMn,1(C)telle queAUk=λkUk, etLk=vect(U1, . . . , Uk).
1. SiX =P
xiUi, calculerX∗AX. 2. Montrer queLk∈Vket :
sup
X∈Lk−{0}
= X∗AX X∗X 3. SoitV ∈Vkmontrer queV ∩vect(Uk, . . . , Un)6={0}.
4. Montrer quesupX∈L
k−{0} X∗AX X∗X ≥λk. 5. Montrer que
Vinf∈Vk sup
X∈V−{0}
X∗AX X∗X existe, est atteinte et vautλk.
