Activit´e de math´ematiques
Produit scalaire et lieux g´eom´etriques
Le but de l’activit´e est de d´eterminer quelques exemples de lieux g´eom´etriques en utilisant le produit scalaire. On consid`ere deux points du planA etB tels queAB= 4 cm et on appelle I le milieu du segment [AB].
Lieu g´ eom´ etrique des points M v´ erifiant −−→
AM. −→
AB = 12 .
1. ´Etant donn´e un point M quelconque du plan et H son projet´e orthogonal sur la droite (AB), montrer en utilisant la relation de Chasles que−−→
AM .−−→ AB=−−→
AH.−−→ AB. 2. ´Etant donn´e un point M du plan v´erifiant −−→
AM .−−→
AB = 12, d´eterminer son projet´e ortho- gonal H sur la droite (AB).
3. En d´eduire l’ensemble des points M du plan v´erifiant−−→
AM .−−→ AB= 12.
Lieu g´ eom´ etrique des points M v´ erifiant −−→
MA. −−→
MB = 5 .
1. ´Etant donn´e un pointM quelconque du plan, montrer en utilisant la relation de Chasles que−−→
M A.−−→
M B=M I2−IA2.
2. En d´eduire l’ensemble des points M du plan v´erifiant−−→
M A.−−→
M B= 5.
Lieu g´ eom´ etrique des points M v´ erifiant MA
2+ MB
2= 10 .
1. ´Etant donn´e un pointM quelconque du plan, montrer en utilisant la relation de Chasles queM A2+M B2 = 2(M I2+IA2).
2. En d´eduire l’ensemble des points M du plan v´erifiantM A2+M B2 = 10.
Lieu g´ eom´ etrique des points M v´ erifiant MA
2− MB
2= − 16 .
1. ´Etant donn´e un pointM quelconque du plan, montrer en utilisant la relation de Chasles queM A2−M B2 = 2−−→
IM .−−→ AB.
2. En d´eduire l’ensemble des points M du plan v´erifiant M A2 −M B2 = −16. (on pourra s’inspirer de la m´ethode utilis´ee pour caract´eriser le lieux g´eom´etrique d´efini par−−→
AM.−→
AB= 12)
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