Activit´e de math´ematiques
Bilin´ earit´ e du Produit Scalaire
Le but de l’activit´e est de d´emontrer les propri´et´es de bilin´earit´e du Produit Scalaire :
(k−→u).−→v = k(−→u .−→v) (1)
−
→u .(k−→v) = k(−→u .−→v) (2) (−→u +−→v).−→w = −→u .−→w +−→v .−→w (3)
−
→u .(−→v +−→w) = −→u .−→v +−→u .−→w (4)
Lemme pr´ eliminaire
Lemme. Soit ABC un triangle et H le projet´e orthogonal du point B sur la droite AC, alors :
−−→ AB .−→
AC =−−→
AH . −→
AC
1. Faire une figure avec un triangle ABC aigu enA puis avec un triangleABC obtus enA. 2. Prouver que AH =AB×cos(BAH\).
3. D´emontrer le lemme pour un triangle ABC aigu enApuis pour un triangle ABC obtus en A.
Preuve des propri´ et´ es de bilin´ earit´ e du Produit Scalaire
1. Prouver les propri´et´es (1) et (2).
2. Prouver les propri´et´es (3) et (4) lorsque l’un au moins des trois vecteurs est nul.
3. Soient −→u, −→v et −→w trois vecteurs non nuls du plan, on pose −→u = −→
OA, −→v = −−→
OB et −→w = −−→
BC. On appelle B′ etC′ les projet´es orthogonaux respectifs sur la droite (OA) des pointsB etC.
On pose−−→
B′C′ =λ−−→
OB′. (a) Faire une figure.
(b) Prouver que −→u .(−→v +−→w) =−→
OA . −−→
OC′ puis que−→u .(−→v +−→w) = (1 +λ) −→
OA .−−→
OB′. (c) Montrer que−→u .−→v +−→u .−→w =−→
OA .−−→
OB′+−→
OA .−−→
B′C′ puis que−→u .−→v +−→u .−→w = (1 +λ) −→
OA .−−→
OB′. (d) En d´eduire que −→u .(−→v +−→w) =−→u .−→v +−→u .−→w.
4. Prouver que (−→u +−→v).−→w =−→u .−→w +−→v .−→w.
Expressions du produit scalaire en fonction de la norme
Prouver les r´esultats suivants :
−
→u .−→v = 1
2 ||−→u +−→v||2− ||−→u||2− ||−→v||2
−
→u .−→v = 1
2 ||−→u||2+||−→v||2− ||−→u − −→v||2
−
→u .−→v = 1
4 ||−→u +−→v||2− ||−→u − −→v||2
1/1
