UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER 2015-2016 Unit´e d’Enseignement MAT 231
Examen du lundi 4 janvier 2016 Dur´ee : 2h. Documents, calculatrices, t´el´ephones portables interdits.
Dans ce sujet,K d´esigne un corps.
Questions de cours
1. Soit f : E → E un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E.
a. Qu’appelle-t-on un vecteur propre de f?
b. Qu’appelle-t-on un sous-espace vectoriel stable par f?
2. Soit E un espace vectoriel, F, Gdes sous-espaces vectoriels. Montrer que siF ∩G={0}, alors F +G=F ⊕G.
3. Montrer que si deux polynˆomes deK[X] ont les mˆemes diviseurs, alors ils sont associ´es.
Exercice 1
On consid`ere l’endomorphisme f de R4 dont la matrice dans la base canonique est :
A=
2 1 1 −1
0 1 −1 1
−1 −1 1 0
−1 −1 −1 2
.
1. a. D´eterminer l’image par f des vecteurs (0,0,1,1) et (0,1,−1,0).
b. En d´eduire deux valeurs propres de f.
c. D´eterminer les multiplicit´es g´eom´etriques de ces deux valeurs propres.
d. En d´eduire que f est diagonalisable et d´eterminer une base de R4 form´ee de vecteurs propres de f.
2. D´eterminer le polynˆome caract´eristique et le polynˆome minimal def. Soit n∈N, n≥1.
3. D´eterminer le reste de la division euclidienne de Xn par (X−1)(X−2).
Indication :on pourra utiliser la d´efinition de la division euclidienne et identifier le reste en
´evaluant les polynˆomes en 1 et en 2.
4. En d´eduire An.
Exercice 2 Les parties A etB sont ind´ependantes.
Partie A.
Soit f : E → E un endomorphisme d’un K-espace vectoriel de dimension finie.
1. Montrer que Imf est un sous-espace de E stable par f.
2. Montrer que tout vecteur propre de f associ´e `a une valeur propre non nulle appartient
`
a Imf. Indication :on utilisera des d´efinitions.
3. On suppose que f est diagonalisable. On note λ1, . . . , λk les valeurs propres non nulles deux `a deux distinctes de f. On note Eλ l’espace propre associ´e `a la valeur propre λ.
a. Montrer que E = Kerf ⊕Eλ1 ⊕ · · · ⊕Eλk. b. En d´eduire que E = Kerf ⊕Imf.
Partie B.
Soit n ≥ 3 un entier. On consid`ere l’endomorphisme de Rn dont la matrice dans la base canonique deRn est :
matcanf =
0 . . . 0 1 ... . .. ... ...
0 . . . 0 1 1 . . . 1 1
.
4. D´eterminer une base B de Imf, le rang de f et la dimension de Kerf.
5. Donner une ´equation cart´esienne du noyau def, c’est-`a-dire un syst`eme (minimal) d’´equations enx1, . . . , xn caract´erisant le fait que (x1, . . . , xn)∈Kerf.
6. Donner la matrice de f2 dans la base canonique de Rn et montrer que Kerf = Kerf2. 7. Montrer que Rn= Kerf ⊕Imf.
On noteg l’endomorphisme de Imf induit par la restriction de f (on rappelle que Imf est stable par f), c’est-`a-dire g : Imf → Imf est d´efini par g(x) =f(x) pour tout x∈Imf.
8. D´eterminer la matrice de g dans la baseB de Imf.
9. Montrer que le polynˆome caract´eristique de g est X2−X−(n−1).
10. D´eterminer les valeurs propres de f et leurs multiplicit´es alg´ebriques et g´eom´etriques.
L’endomorphismef est-il diagonalisable ?
