CPBX MPC Alg`ebre II 2020-2021
TD4 - r´ eduction des endomorphismes
Exercice 1
SoitE l’espace des fonctions deRdansRinfiniment d´erivable, et soitD la d´erivation : D:f 7→f0.
1. Montrer que Dest un endomorphisme deE.
2. Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de E. Retrouver le r´esultat du premier exercice de la feuille de TD1.
3. On restreintD `aRn[X]. Ecrire la matrice deDdans la base de votre choix.
Exercice 2
On consid`ere les matrices r´eelles :
A=
1 2 0 2 1 0 0 0 3
, B=
1 2 5
2 4 10
−1 −2 −5
, C =
5 0 1 0 1 0 1 0 5
, D=
0 0 0
1 0 0
9999 8888 4
1) i) Donner les valeurs propres et les vecteurs propres deA.
ii) Montrer queAest diagonalisable et trouver une matrice inversibleP ∈ M3(R) telle queP−1AP soit diagonale.
2) Etudier le mˆeme probl`eme pour les matricesB, C et D.
Exercice 3
On consid`ere la matrice
A:=
1 2 3
0 10 36
0 1 10
1. Justifier que la matrice Aest diagonalisable et admet trois valeurs propres distinctesλ1< λ2< λ3
que l’on demande de calculer.
2. Pour chaque valeur propresλk trouver un vecteur propreXk associ´e `a λk.
3. Montrer que si une matrice B∈ M3(R) commute avecA (c’est-`a-direAB=BA) alorsXk est un vecteur propre deB.
4. En d´eduire que l’´equation matricielle B2 = A n’admet qu’un nombre fini de solutions. On ne demande pas de trouver les matricesB mais seulement de calculer le nombre de solutions.
Exercice 4
Selon le param`etrem∈R, ´etudier si les matrices suivantes sont diagonalisables surR
1
A:=
m 0 0
0 1 m2−1
0 0 1
, B :=
m 0 m
0 1 0
m 0 1
(Indication pour la matriceB, on montrera que sim6= 0 alorsB a trois valeurs propres distinctes).
Exercice 5
On introduit la matrice
A=
−4 −6 0
3 5 0
5 6 5
.
1. DiagonaliserA.
2. En d´eduireAn pour n∈N.
3. On consid`ere les suites (un), (vn) et (wn), de premiers termesu0,v0etw0et d´efinies par les relations de r´ecurrence suivantes :
un+1=−4un−6vn, vn+1= 3un+ 5vn, wn+1= 5un+ 6vn+ 5wn. Pour n≥0, on pose
Xn=
un
vn
wn
Exprimer Xn+1en fonction deXn.
4. En d´eduire une expression explicite de un,vn etwn en fonction den.
Exercice 6
1. On consid`ere U la matrice d’ordre 5 dont tous les ´el´ements valent 1. Montrer queU est diagonal- isable et que ses valeurs propres appartiennent `a {0,5}
2. En examinant la trace de U, montrer que le polynˆome caract´eristique de U est det(U −XI) =
−X4(X−5).
3. Soit deux nombres r´eels aet b. On noteM(a, b) = [mij] la matrice d’ordre 5 o`u mij =asi i=j et mij =b sinon. Montrer queM(a, b) est combinaison lin´eaire deU et deI5
4. Calculer det(M(a, b)) en utilisant la formule det(U−XI) =−X4(X−5).
Exercice 7
SoitA∈ Mn(R) une matrice de rang 1.
1. Justifier qu’il existe un vecteur colonne X∈ Mn,1(R) et des nombresa1, . . . , an∈Rtels que A= [a1X, . . . , anX]
2. En d´eduire la formuleA2= tr(A)A.
3. D´emontrer que si tr(A)6= 0 alors Aest diagonalisable et d´eterminer toutes les valeurs propres de A (en comptant les multiplicit´es). Que vaut le polynˆome caract´eristique deA?
4. Rappeler quelles sont les matrices `a la fois nilpotentes et diagonalisables?
5. Si tr(A) = 0, montrer queAne peut pas ˆetre diagonalisable.
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