Test 3 - Alg`ebre CPBX
Exercice 1
On s’int´eresse aux couples (x, y) de deux fonctions de R dansR qui sont solutions du syst`eme diff´erentiel
∀t∈R
x0(t) = y(t) y0(t) = x(t) 1. Mettre le syst`eme pr´ec´edent sous forme matricielle
X0(t) = AX(t), o`u on donnera la matrice A.
2. Montrer que l’ensemble des solutions (x, y) forme un R-espace vectoriel (on ne de- mande pas maintenant de calculer les solutions).
3. Donner la dimension de cet espace (si possible, donner une justification).
4. Diagonaliser la matrice A.
5. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel par la m´ethode de votre choix. Donner la solution qui v´erifie x(0) =y(0) = 1.
Exercice 2
1. Soit A∈Mn(R) une matrice, rappeller la s´erie qui permet de d´efinir exp(A).
2. On s’int´eresse `a la matriceA=
1 2
0 1
, calculerAn pour tout n≥1.
3. Montrer que
exp(A) =
e 2e
0 e
.
1
