Test 1 - Alg`ebre CPBX
Exercice 1
Soient les trois vecteurs suivants de R3 :
v1 =
1 1
−1
, v2 =
2 1
−2
et v3 =
−1 0 1
R´epondre aux questions suivantes en justifiant soigneusement :
• Calculer le d´eterminant de v1, v2 etv3 dans la base canonique deR3.
• La famille (v1, v2, v3) est-elle libre?
• La famille (v1, v2, v3) est-elle g´en´eratrice? Donner le rang de la matrice
1 2 −1
1 1 0
−1 −2 1
Exercice 2
Enoncer le th´eor`eme du rang.
Exercice 3
Soit E un espace vectoriel.
• Rappeler la d´efinition d’un projecteur de E dans E.
• Soit pun tel projecteur. Montrer que kerpet Im psont suppl´ementaires dans E.
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