DS 1 - Alg`ebre CPBX
Exercice 2
1. Notons A la matrice de u dans la base canonique, alors on a
A=
1 −1 a 2 −1 2 1 0 a2
Sa trace est la somme des ´el´ements diagonaux, donc tr(u) =tr(A) = a2. On calcule le d´eterminant, par exemple en d´eveloppant par rapport `a la troisi`eme ligne :
det(u) = 1×(−2 +a) +a2×(−1 + 2) =a2+a−2
2. Un endormorphisme est inversible si et seulement si son d´eterminant est non nul.
Or
det(u) = 0 ⇐⇒ a2+a−2 = 0 ⇐⇒ (a−1)(a+ 2) = 0 ⇐⇒ a∈ {1,−2}.
Doncu est inversible si et seulement si a6= 1 eta 6=−2.
Sia6∈ {1,−2}alors u est surjectif et donc rg(u) = 3.
Sia= 1 ou−2, alorsun’est pas inversible. Oruest un endomorphisme deR3, donc rg(u) <3. On sait par ailleurs que rg(u) = rg(A). Les deux premi`eres colonnes de A´etant ind´ependantes, on a rg(A)≥2. Ainsi rg(A) = 2.
3. Le syst`eme s’´ecrit sous la forme
1 −1 a 2 −1 2 1 0 a2
x y z
=
0 1 0
.
Ce syst`eme admet une unique solution si et seulement s’il est de Cramer, autrement dit si et seulement si det(A) 6= 0. On a vu que cela est ´equivalent `a a /∈ {1,−2}.
Dans ce cas-l`a, les formules de Cramer fournissent
x=
0 −1 a 1 −1 2 0 0 a2
det(A) = a2
a2+a−2, 1
y=
1 0 a 2 1 2 1 0 a2
det(A) = a2−a
a2 +a−2 = a a+ 2, et
z =
1 −1 0 2 −1 1
1 0 0
det(A) =− 1
a2+a−2. Exercice 3
Soit E =Rn[X] et Φ d´efini surE par
Φ(P) :X 7→ P(X)−P(0)
X .
1. Commen¸cons par montrer que Φ est bien d´efini, et `a valeurs dans E. Soit P ∈ E, alors P s’´ecrit sous la forme
P(X) =
d
X
k=0
akXk
avecd≤n le degr´e de P. Notons que a0 =P(0), de sorte que P(X)−P(0)
X =
n
X
k=1
akXk−1 =
n−1
X
k=0
ak+1Xk.
Ainsi Φ(P) est un polynˆome de degr´e d−1.
Montrons la lin´earit´e de Φ. Soient P et Qdans Rn[X] ainsi queλ∈R, alors Φ(P +λQ)(X) = (P +λQ)(X)−(P +λQ)(0)
X = P(X)−P(0) +λ(Q(X)−Q(0)) X
= P(X)−P(0)
X +λQ(X)−Q(0)
X = Φ(P)(X) +λΦ(Q)(X) Ceci prouve que Φ(P +λQ) = Φ(P) +λΦ(Q).
Remarque : Pour montrer qu’une application est un endomoprhisme, il faut mon- trer le cˆot´e “endo” et le cˆot´e ”morphsime”. Ici, lorsque P ∈ E, il n’est pas clair que Φ(P) ∈ E, et ce fait n´ecessitait bien une vraie d´emonstration. Par exemple, l’application Ψ d´efinie par
Ψ(P) :X 7→ P(X) X
n’est pas endomorphisme deE, puisque Ψ(P) n’est pas n´ecessairement un polynˆome.
2. Un calcul rapide montre que Φ(1) = 0, et que pour tout k ∈ {1, . . . , n}, on a Φ(Xk) =Xk−1.
Ainsi la matrice de Φ dans la base canonique de Rn[X] est une matrice avec des 1 sur la surdiagonale et des 0 ailleurs.
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3. Soit λ ∈ R, alors la matrice de Φ−λId dans la base canonique est une matrice triangulaire sup´erieure dont les coefficients diagonaux valent−λ. Ainsi
χΦ(λ) = det(Φ−λId) = (−λ)n+1.
La seule racine deχΦ est 0. Donc Φ n’a qu’une seule valeur propre : 0.
4. Puisque 0 est valeur propre, ker(Φ) est non nul. Pour le d´eterminer, on r´esout Φ(P) = 0, ce qui conduit `a
∀X ∈R, P(X) = P(0),
ainsi ker(Φ) est constitu´e des polynˆomes constants. C’est un espace vectoriel de dimension 1, on peut noter
ker(Φ) = vect(1)
(Remarque : dans cette notation, 1 signifie la fonction polynomiale X 7→1).
Par le th´eor`eme du rang,
rg(Φ) = dim(E)−dim(ker(Φ)) =n+ 1−1 =n.
Exercice 4
1. Si c=d= 0, alors A est une matrice par bloc, et un calcul rapide montre que det(A) =
a −b b a
×
a −b b a
= (a2+b2)2. 2. On d´eveloppe par rapport `a la premi`ere colonne :
det(A) =a
a −d c d a −b
−c b a
−b
−b −c −d d a −b
−c b a
+c
−b −c −d a −d c
−c b a
−d
−b −c −d a −d c d a −b
.
On pose
P(a) =
a −d c d a −b
−c b a et la r`egle de Sarrus fournit
P(a) = a3+a(b2+c2+d2),
ainsi P est un polynˆome unitaire de degr´e 3. Des calculs similaires montrent que les fonctions Q,R etS d´efinies par
Q(a) =
−b −c −d d a −b
−c b a
, R(a) =
−b −c −d a −d c
−c b a
et S(a) =
−b −c −d a −d c d a −b
,
sont des polynˆomes de degr´e 2.
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3. Notons que aP(a) = a4 +Pe(a), avec deg(Pe) = 2. Ainsi d’apr`es la question pr´ec´edente,
det(a) =a4+Pe(a) +Q(a) +R(a) +S(a), et on obtient la r´eponse en posant T =Pe+Q+R+S.
4. Un calcul ´el´ementaire montre que
tAA= (a2+b2+c2+d2)I4 5. D’un cˆot´e, on a
det(tAA) = det(tA) det(A) = det(A)2, de l’autre, la question 4 nous indique que
det(tAA) = (a2+b2 +c2+d2)4, ainsi
det(A) =±(a2+b2+c2 +d2)2.
6. D’apr`es les questions pr´ec´edentes, det(A) est un polynˆome en a de degr´e 4, et de coefficient dominant 1 (c’est-`a-dire que son terme dominant est a4). On d´eduit que
det(A) = (a2+b2+c2 +d2)2.
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