DS 2 - Analyse I CPBX

DS 2 - Analyse I CPBX

Exercice 1 Notons que

f(x) = 1

x(x−1)(x+ 1)(x²+ 1). On r´ealise une d´ecomposition en ´el´ements simples :

f(x) = 1 4( 1

1 +x) + 1 4( 1

x−1)− 1 x +1

2( x x²+ 1).

Donc Z

f(x)dx= 1 4

log|x+ 1|+ log|x−1|+ log(x²+ 1)−4 log|x|

+ Constante.

Exercice 2

Un calcul de d´eriv´ee fournit :

x⁰(t) = 2 + 2

t³, y⁰(t) = 2 + 2t.

1. Tableau de variation (facile).

2. Points singuliers. On r´esoutx⁰(t) =y⁰(t) = 0, on obtientt=−1. Donc (x(−1), y(−1)) est un point singulier. Comme (x⁽²⁾(−1), y⁽²⁾(−1)) = (−6,2) 6= (0,0), alors un vecteur directeur de la tangente est (−3,1).

(x⁽³⁾(−1), y⁽³⁾(−1)) = (−24,0) est non colin´eaire `a (x<sup>(2)</sup>(−1), y<sup>(2)</sup>(−1)). Donc on a un point de rebroussement du premier esp`ece.

3. Lorsque t → ∞ on a une branche parabolique d’´equation y = x+ ¹₄x². (Ce n’est pas demand´e de donner l’´equation de la parabole).

Lorsque t → 0 on a une asymptote d’´equation y = 0. Lorsque t & 0 la courbe est au dessus de son asymptote. Lorsquet→0 ett <0 la courbe est en dessous de son asymptote.

4. On r´esout l’´equation x(t1) = x(t2) et y(t1) = y(t2) pour t1 6= t2. En ´ecrivant les deux ´equations on trouve imm´ediatement t₁+t₂ =−2 et t₁t₂ =±1. Pour t₁t₂ = 1, on obtient l’´equation

t²₁+ 2t1+ 1 = 0.

1

Ceci impliquet₁ =t₂ =−1. Ceci ne donne pas un point double car t₁ =t₂. Pourt1t2 =−1, on obtient l’´equation

t²₁+ 2t₁−1 = 0.

Cette ´equation admet les deux racines suivantes t₁ =−1 +√

2 et t₂ =−1−√ 2.

Donc il y a un point double.

Exercice 3

Dans un orchestre de 6 personnes, chacun joue d’un instrument de musique (et un seul) parmi 20 choix possibles. Un mˆeme instrument peut tr`es bien ˆetre pratiqu´e par deux personnes diff´erentes, voire plus.

1. NotonsM l’ensemble des musiciens, etI l’ensemble des instruments possibles. Une r´epartition peut-ˆetre mod´elis´ee par une fonction

f :M →I,

qui a un musicien associe l’instrument dont il joue. Ainsi il y a autant de r´epartitions possibles que de telles fonctions, c’est `a dire card(M)^card(I). Un calcul rapide founit ensuite

card(M)^card(I)= 20⁶ = 2⁶10⁶ = 64000000.

2. Calculons le compl´ementaire de l’ensemble des r´epartitions pour lesquelles au moins deux musiciens jouent d’un mˆeme instrument : il s’agit de l’ensemble des r´epartitions f :M →I pour lesquelles chacun joue d’un instrument diff´erent, c’est-`a-dire

∀(m₁, m₂)∈M ×M, m₁ 6=m₂ =⇒ f(m₁)6=f(m₂).

Autrement dit une r´epartion a tous ses musiciens jouant d’un instrument diff´erent si et seulement si la fonction associ´ee est injective. D’apr`es le cours, il y a

6!

20 6

= 20×. . .×15 = 27907200

fonctions de M dans I qui sont injectives. Il y a donc 64000000 −27907200 = 36092800 r´epartitions o`u au moins deux musiciens jouent d’un mˆeme instrument.

3. La probabilit´e cherch´ee est bien sˆur 36092800

64000000 ≈0.56395.

Plus rigoureusement : on mod`elise cette exp´erience al´etoire par l’univers Ω des fonctions de M dans I, muni de la loi de probabilit´e uniforme. L’´ev`enement d´ecrit ci-dessus est mod´elis´e par le sous ensemble des fonctions de M dans I qui sont injectives, not´eS. La probabilit´e de l’´ev`enement S est donc

card(S)

card(Ω) = 36092800 64000000. 2/4

Exercice 4

Soit n un entier non nul, et soit E un ensemble de cardinaln.

1. Cours

2. D’apr`es le cours, il y a ⁿ_k

parties deE `ak ´el´ements. En comptant l’ensemble vide, il y a donc

n

X

k=0

n k

= 2ⁿ parties de E au total. C’est bien la formule du cours

card(P(E)) = 2^card(E).

3. Un couple (A, B) est ´el´ement de P(E)× P(E). Le cardinal de cet ensemble est card(P(E))², soit 4ⁿ. Il y a donc 4ⁿ couples (A, B) avec A⊂E etB ⊂E

4. Pour chaque entierk fix´e avec 0≤k≤n, on a ^k_n

ensemblesB de cardinal k. Pour chacun de ces ensembles, on a exactement 2^card(B)= 2^k ensemblesA inclus dans B.

On a donc au total

n

X

k=0

n k

2^k

couples de la forme (A, B) ∈ P(E)× P(E) avec A ⊂ B. Le binˆome de Newton fournit

n

X

k=0

k n

2^k = 3ⁿ.

Remarque: Il est possible de mettre en forme ce raisonnement de la mani`ere suivante.

SoitE le sous ensemble de P(E)× P(E) form´e des couples (A, B) v´erifiant A⊂B.

Alors on a

E ={(A, B), A∈ P(B), B ∈ P(E)}, autrement dit,

E =∪B∈P(E){(A, B), A∈ P(B)}, et la r´eunion ´etant disjointe,

card(E) = X

B∈P(E)

card({(A, B), A∈ P(B)})

Or, B ´etant fix´e,

card({(A, B), A∈ P(B)}) = card(P(B)) = 2^card(B). Donc en partionnant P(B) selon le cardinal de ses ´el´ements :

card(E) = X

B∈P(E)

2^card(B) =

n

X

k=0

X

B∈P(E) card(B)=k

2^k.

3/4

Or, k ´etant fix´e, X

B∈P(E) card(B)=k

2^k= 2^kcard({B ∈ P(E),card(B) = k}) = 2^k n

k

.

D’o`u le r´esultat. On pr´ef`ere bien sˆur une r´edaction moins formelle comme celle propos´ee ci-dessus.

5. On poseE ={1, . . . ,50}et on mod`elise cette exp´erience par l’universP(E)× P(E) que l’on munit de la loi de probabilit´e uniforme. On cherche la probabilit´e de l’´ev`enement E, elle est donn´ee par

card(E)

card(P(E)× P(E)) = 3

4 n

.

4/4