Enonc´e noG142 (Diophante) Une partie franco-anglaise
Apr`es bien des p´erip´eties, Jones a r´eussi `a traverser la Manche `a bord de l’Eurostar `a la rencontre de Puce pour disputer leur traditionnelle partie de d´es. Cette ann´ee ils jouent avec un d´e qui a la forme d’un poly`edre `a 2010 faces sur lesquelles sont inscrits les entiers de 1 `a 2010. On suppose que le d´e est calibr´e de telle mani`ere que la probabilit´e d’obtenir `a l’issue d’un lancer l’un quelconque des entiers n de l’intervalle [1,2010] est la mˆeme pour tout n. Chacun `a tour de rˆole lance le d´e. Le perdant est celui qui n’am´eliore pas le score obtenu par le joueur pr´ec´edent et le gagnant empoche le pot. Jones joue le premier et mise une livre tandis que Puce mise un euro. Les mises sont elles ´equilibr´ees ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Je noteN = 2010.
Soit une partie qui s’arrˆete avec le k-i`eme lancer de d´e sur un scores.
Les k−2 premiers lancers ont donn´e k−2 r´esultats compris entre 1 et s−1, en ordre croissant (Cs−1k−2 possibilit´es), puis le (k−1)-i`eme lancer a donn´e le score s, et le k-i`eme lancer a donn´e un r´esultat entre 1 et s (s possibilit´es). Chaque r´esultat ayant la probabilit´e 1/N, la probabilit´e de cet ´ev´enement estN−ksCs−1k−2.
La probabilit´e d’arrˆet au k-i`eme lancer est la somme de ces probabilit´es pourk−1≤s≤N.
Si k est pair, c’est Puce qui perd ; il gagne si k est impair. L’esp´erance de (−1)k (pourk= 2 `a N) est la diff´erence “probabilit´e de perdre moins probabilit´e de gagner” pour Puce. Elle vaut
X
1≤k−1≤s≤N
(−1/N)ksCs−1k−2 =
N
X
1
N−2s(1−1/N)s−1. Le polynˆomePN1 sxs−1 est le d´eriv´e du polynˆome PN
1 sxs= (xN+1−1)/(x−1). Il vaut donc N xN+1−(N + 1)xN + 1
(x−1)2 .
En substituantx= 1−1/N, on obtient 1−2(1−1/N)N pour esp´erance de (−1)k.
Ainsi la probabilit´e que Puce perde est 1−(1−1/N)N, la probabilit´e que Puce gagne est (1−1/N)N = (2009/2010)2010.
Ce dernier nombre est voisin de 1/e, e base des logarithmes n´ep´eriens.
Pour que les mises soient ´equilibr´ees, elles doivent ˆetre dans le rapport (1− 1/e)/(1/e) = e − 1 = 1,718. Un calcul par logarithmes donne (2010/2009)2010−1 = 1,718958. . .
Dans la mesure o`u une livre vaut moins de 1,719 euro, la mise de Jones est insuffisante.
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