C H IV :R éc ur re nc e, ca lc ul s de so m m es et pr odui ts I. R éc ur renc e

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ECE1-B2015-2016

C H IV :R éc ur re nc e, ca lc ul s de so m m es et pr odui ts I. R éc ur renc e

Danslasuitedeceparagraphe,ons’intéresseàdespropriétésPdéfiniessur l’ensembledesentiersnaturels.Lanotationndésigneraunentiernaturel. Exemple 1)P(n):32n+1+2n+2estunmultiplede7 2)P(n):32n+26n5estunmultiplede11 3)P(n):✓ 12 n◆n 6✓ 11 n◆n 4)P(n):2n6n! Lebutdecettesectionestdedéfiniruneméthodederaisonnementqui nouspermettrademontrerquecetypedepropriétésestvérifiépourtout entiernatureln.Autrementdit,êtrecapabledeprouverunénoncédu type: 8n2N,32n+1+2n+2estunmultiplede7 |{z} P(n) Remarque •Lapropriété(P(n):32n+1+2n+2estunmultiplede7)dépendden. •Parcontre,lapropriétéa:(8n2N,P(n))estunepropriétéindépen- dantedenpuisquenestalorsportéparunquantificateur.Lavariable nestmuetteetonpourraitchangersonnomsanschangerlesensdea. 1

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•Onanotamment:

a,8truc2N,32⇥truc+1+2truc+2estunmultiplede7)

Parlasuite,ongarderalanotationn,plusadaptée.

I.0.UnepremièretentativedepreuveIntéressons-nousàcettepropriétéP(n):3 2n+1+2 n+2estunmultiplede7ettentonsdevoirsinouspouvonsladémontrerpourtoutn2N.

Ona:32⇥0+1+20+2=7

x

,!onendéduitqueP(0)estvérifié

Ona:32⇥1+1+21+2=33+23=27+8=35=7⇥5

x

Ona:32⇥2+1+22+2=35+24=243+16=259=7⇥37

x

...

x

... ...

Remarque

•NousavonsmontréP(0),P(1)etP(2).Pourdémontrerquelapropriétéestvérifiéepourtoutn2NilfaudraitaussidémontrerP(4),P(5)...Cetypededémonstrationn’estévidemmentpasraisonnablepuisqu’elledemandel’étuded’unnombreinfinidecas.

•Changeonsdepointdevue.Aulieudemontrerchaquecas,ondémontrequelepassaged’uncasàunautre(symboliséparlaflèche

x)estvalide.

•Supposonsquel’onestcapablededémontrerquetouscespassages(touteslesflèchesrouges)sontvalides.

2

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ECE1-B2015-2016 Danscecas,sil’onsaitqueP(r)estvraiepourunrangr2Nalors: ⇥P(r+1)estvraie(passagedurangraurangr+1valide), ⇥ainsiP(r+2)estaussivérifiée(puisquelepassagedurangr+1au rangr+2valide), ⇥etdoncP(r+3)aussi... Aufinal,celaprouvequelapropriétéestvérifiéepourtouslesrangsplus grandsquer. •Leprincipederécurrenceformalisecemécanisme. I.1.Principederécurrence Théorème1.Principederécurrence SoitPunepropriétédéfiniesurNettelleque: 1.Initialisation:P(0)estvérifiée 2.Hérédité:8n2N,(P(n))P(n+1)) Alorslapropriétéestvérifiéepourtoutentiernatureln. Autrementdit:8n2N,P(n) Remarque •Ànfixé,laproposition(P(n))P(n+1))signifiequelepassagedu rangnaurangn+1estvalide. •Laproposition(8n2N,(P(n))P(n+1)))signifiedoncquetousles passagesd’unrangausuivantsontvalides. •Leprincipederécurrences’appuiesurladéfinitionaxiomatiquedeN. C’estl’ensemble: ⇥quicontient0, ⇥quicontientlesuccesseurdechacundeseséléments. Procéderparrécurrence,c’estmontrerquel’ensembledesélémentsvé- rifiantunepropriétéPestNviacettedéfinitionaxiomatique. 3

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6)Produitsuruneuniond’ensembles

Qi2A[B ui= Qⁱ2A ui⇥ Qⁱ²_B uiQ

i2A\B ui

RemarqueCesformuless’obtiennenttraductiondesformulessurlessommessuivantledictionnairesuivant:P ! Q

+ !⇥!/Viacedictionnaire,nousavonsdoncaﬀaireauxmêmesformules.

IV.3.Fonctionfactorielle

Définition

•Pourn2N⇤,onnommefactoriellenetonnoten!laquantité:

n!= nQ

k=1 k=n⇥(n1)⇥(n2)⇥...⇥2⇥1

•Parconvention,onnote:0!=1.(correspondàl’écriture:0!= 0Q

k=1 k= Q

k2J1,0K k= Q^k2? k=1,laquantité

1étantl’élémentneutrepourleproduit)

Propriétéimmédiate

8n2N,(n+1)!=(n+1)⇥n!

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I.2.Modèlederédaction

Montronsparrécurrenceque:8n2N,P(n).oùP(n):...1.Initialisation:P(0)?...doncP(0)estvérifiée.2.Hérédité:soitn2N.SupposonsP(n)etmontronsP(n+1)(ie...)...doncP(n+1)estvérifiée.Ainsi,parprincipederécurrence,ona:8n2N,P(n).

Remarque(erreursclassiques)Ilest(malheureusement!)fréquentdevoirdanslescopies,lestroistypesd’erreurssuivantes.1)Montronsparrécurrenceque:P(n).

,!parrécurrence,ondémontrequ’unepropriétéestvraiepourtoutn2N,passeulementàunrangndonné.2)...oùP(n):8n2N,...

,!nousavonsdéjàdiscutédecepointdanslapremièreremarqueducours:unepropriétécommençantpar8n2Nestindépendanteden!3)Supposonsque:8n2N,P(n)etdémontronsP(n+1).

,!cecin’apasdesens!Onnepeutsupposerlapropriétévraiepourtoutn:c’estprécisémentcequel’onsouhaitedémontrer.

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ECE1-B2015-2016 nQ j=1(uj⇥vj)=nQ j=1uj⇥nQ j=1vjetnQ j=1

uj vj=

nQ j=1uj nQ j=1vj •Lapremièreformuleestvalablepourtoutélémentindépendant del’indicedemultiplicationi. 4)Changementsd’indices Décalaged’indice:nQ j=0uj=n+1Q k=1uk1=n+2Q `=2u`2 nQ j=muj=nmQ k=0uk+menposantk=jm =n+`Q i=m+`ui`enposanti=j+` Multiplierdansl’autresens:nQ j=0uj=nQ i=0uni Onpeutécrireuneformulesimilairepour lessommescommençantàl’indice1

nQ j=1uj=n1Q i=0uni 5)Produitstélescopiques nQ k=1

uk+1 uk=un+1 u1etnQ k=m

uk+1 uk=un+1 um 32

ECE1-B2015-2016 Exemple Montrerque:8n2N,32n+1+2n+2estunmultiplede7. Notation:ondéfinitlasuite(un)par:8n2N,un=32n+1+2n+2. Montronsparrécurrenceque:8n2N,P(n) oùP(n):unestunmultiplede7. 1.Initialisation Ona:u0=32.0+1 +20+2 =3+22 =7.Ainsi,u0estunmultiplede7. LapropriétéP(0)estdoncvérifiée. 2.Hérédité:soitn2N. SupposonsP(n)etmontronsP(n+1)(i.e.un+1estunmultiplede

7). Pardéfinitiondelasuite(u),ona:n 2(n+1)+1(n+1)+22n+3n+3u=3+2=3+2n+1 22n+1n+32n+2n+3=3(3)+2=3(u2)+2n 2n+32n+2n+2=3u+23⇥2=9u+2(29)nn Or,parhypothèsederécurrence(P(n)),onsaitque:uestunmul-n tiplede7.Autrementdit,ilexistek2Ztelqueu=7k.Onadonc:n n+2n+2 u=9(7k)+2(7)=7(9k2)n+1 Ainsi,uestunmultiplede7etP(n+1)estvérifiée.n+1 Parprincipederécurrence,ona:8n2N,P(n). 5

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ECE1-B2015-2016

IV . P ro du its fini s

IV.1.Définition

NotationSymbole Q

•Leproduitfinidesélémentsu1,u2,...,unestnotécommesuit.

nQ

i=1 ui=u1⇥u2⇥···⇥un

Onréalisel’étudedesproduitsfinisparanalogieaveccelledessommesfinies.

IV.2.Règlesdecalcul

PropriétéSoit2R,a2Ret(m,n)2N2telsquem6n.1)Produitfinid’uneconstante

nQ

i=1 a=an nQ

i=m a=anm+1

•Cesformulessontvalablespourtoutélémentaindépendantdel’indicedemultiplicationi.

2)Produitparpaquets

nQ

i=1 ui= mQ

i=1 ui⇥ nQ

i=m+1 ui

3)Comportementde Qvisàvisdeuietui⇥vi

nQ

i=1 ui=u1⇥u2⇥···⇥un=n nQ

i=1 ui

31 ECE1-B2015-2016

I.3.Initialisationenn0Onrencontrerasouventdesénoncésdutype:8n>n0,P(n)pouruncertainn02N.Leschémaprécédents’adapteàcetyped’énoncé.

Théorème2.SoitPunepropriétédéfiniesurNettelleque:1.Initialisation:P(n0)estvérifiée2.Hérédité:8n>n0,(P(n))P(n+1)) Alorslapropriétéestvérifiéepourtoutentiernatureln>n0.Autrementdit:8n>n0,P(n)

ExempleMontrerque:8n>4,2n6n!Montronsparrécurrenceque:8n>4,P(n)oùP(n):2 n6n!.

1.InitialisationOna:2 4=16et4!=4⇥3⇥2⇥1=24.Or:16624.LapropriétéP(0)estdoncvérifiée.

2.Hérédité:soitn2N.SupposonsP(n)etmontronsP(n+1)(i.e.2n+16(n+1)!).Remarquonstoutd’abordque:2n+1=2⇥2n.Or,parhypothèsederécurrence(P(n)),onsaitque:2n6n!.D’où: 2n+1=2⇥2n62⇥n!6(n+1)⇥n!|{z}(n+1)! (car26n+1puisquen>4>1)

AinsiP(n+1)estvérifiée.

Parprincipederécurrence,ona:8n2N,P(n).

6

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ECE1-B2015-2016 Commentretenircetteformule? Commeprécédemment,onconsidèrel’encadrement16i<j6n. Pourobtenirlaformuledesommationsuivantleslignes: •Onsupprimelavariablejdel’encadrement:16i<·6n Ondoitdoncconsidérerunesomme:n1P i=1 •Onconsidèrealorsl’encadrementimmédiatdej:i<j6n Ondoitdoncconsidérerunesomme:nP j=i+1 Onretrouvealorslaformule:P 16i<j6nui,j=n1P i=1

nP j=i+1ui,j

! (onprocèdedemêmepourlaformuledesommationsuivantlescolonnes) Nombredetermessommés Ilyadeuxmanièresdecalculerlenombredetermessommés. 1)Onadéjàvuqu’ilyan2n 2termesdansletrianglesupérieurstrict. 2)Onpeutnoterquechaquetermeui,jcomptepourunélémentsommé. Lenombredetermesestdoncdonnéparlasommedouble: P 16i<j6n1=nP j=2

j1P i=11! =nP j=2(j1)=n1P j=1j=(n1)n 2 Exercice Soit(ai,j)i,j2N⇤unesuitedenombresréels. MontrerquepourtoutnappartenantàN⇤,ona: ✓ nP k=1ak◆2 =nP k=1a2 k+2P 16i<j6naiaj 30

ECE1-B2015-2016 I.4.Récurrencedouble Théorème3. SoitPunepropriétédéfiniesurNettelleque: 1.Initialisation:P(0)etP(1)sontvraies 2.Hérédité:8n2N,(P(n)ETP(n+1))P(n+2)) Alorslapropriétéestvérifiéepourtoutentiernatureln>0. Autrementdit:8n2N,P(n) Exemple Onconsidèrelasuite(un)définiepar:

8 < :

u0=1 u1=1 8n2N,un+2=5un+16un Montrerque:8n2N,un=2n+13n. Montronsparrécurrencedoubleque:8n2N,P(n) oùP(n):un=2n+13n. 1.Initialisation •Ona:u0=1et20+1 30 =21=1. DoncP(0). •Ona:u1=1et21+131=43=1. DoncP(1). 2.Hérédité:soitn2N. SupposonsP(n)etP(n+1). DémontronsP(n+2)(i.e.un+2=2n+33n+2) 7

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ECE1-B2015-2016

III.2.b)Sommationdestermesdutrianglesupérieurstrict

Oncalculemaintenantuniquementlestermesdutrianglesupérieurstrict.

u1,1u1,2···u1,j···u1,n

u2,1u2,2u2,3...···u2,j···u2,n... ... ... ...

ui,1ui,2···ui,iui,i+1...···ui,n... ... ... ...

uj,1uj,2···uj,i···uj,juj,j+1···uj,n... ... ... ... ... ... ... ... ...un1,n

un,1un,2···un,i···un,j···un,n

•Ensommantsuivantleslignes,onobtient:

U= nP

j=2 u1j+...+ nP

j=n un1,j= n1P

i=1 nP

j=i+1 ui,j !

•Ensommantsuivantlescolonnes,onobtient:

U= 1P

i=1 ui2+...+ n1P

i=1 uin= nP

j=2 j1P

i=1 ui,j !

Cesdeuxsommesétantégales,onobtientlaformule:

P

16i<j6n ui,j= n1P

i=1 nP

j=i+1 ui,j !

= nP

j=2 j1P

i=1 ui,j !

29 ECE1-B2015-2016

Pardéfinitiondelasuite(un),ona:

un+2=5un+16un

=5(2n+23n+1)6(2n+13n)(parHR(P(n)ETP(n+1)))

=2n+1(5⇥26)3n(6+3⇥5)

=2 n+143 n9=2 n+33 n+2

Parprincipederécurrencedouble,ona:8n2N,P(n).

Remarque

•Onpeutaussiréaliserdesrécurrencestriples,quadruples...

•Lechoixdutypederécurrenceàeﬀectuerestdictéparlaformedel’objetconsidérédanslapropriété.Ici,ils’agitd’unesuiterécurrentelinéaired’ordre2.Larécurrencedoubleestdoncplusadaptée.

•Leprincipederécurrencedoublepeutsemblerpluspuissantqueleprin-cipederécurrencesimple.Cesprincipessontenfaitéquivalents.

•Plusprécisément,onpeutrésoudrel’exerciceprécédentàl’aided’unerécurrencesimple.Ondémontrealorsque:8n2N,(P(n)ETP(n+1)).(cequidémontrenotammentque:8n2N,P(n))

I.5.Récurrenceforte

Théorème4.SoitPunepropriétédéfiniesurNettelleque:1.Initialisation:P(0)estvraie2.Hérédité:8n2N,(P(0)ETP(1)ETP(2)ET...ETP(n))P(n+1))

Alorslapropriétéestvérifiéepourtoutentiernatureln>0.Autrementdit:8n2N,P(n)

8

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ECE1-B2015-2016 Commentretenircetteformule? Onpeutretenircetteformuleenconsidérantl’encadrement16i6j6n. Sionsouhaiteobtenirlaformuledesommationsuivantleslignes(i.e. commencerparunesommesuri),onpeutprocédercommesuit. •Onsupprimelavariablejdel’encadrement:16i6·6n Ondoitdoncconsidérerunesomme:nP i=1 •Onconsidèrealorsl’encadrementimmédiatdej:i6j6n Ondoitdoncconsidérerunesomme:nP j=i Onretrouvealorslaformule:P 16i6j6nui,j=nP i=1

nP j=iui,j

! (onprocèdedemêmepourlaformuledesommationsuivantlescolonnes) Nombredetermessommés Ilyadeuxmanièresdecalculerlenombredetermessommés. 1)Ilyan2termesdansletableaucarréetntermessurladiagonale. Ilyadoncn2 ntermeshorsdiagonale. Ainsi,ilyan2n 2termesdansletrianglesupérieurstrict. Etdoncn2n 2+n=n2+n 2=n(n+1) 2termesdansletrianglesupérieur. 2)Onpeutnoterquechaquetermeui,jcomptepourunélémentsommé. Lenombredetermesestdoncdonnéparlasommedouble: P 16i6j6n1=nP j=1

jP i=11! =nP j=1j=n(n+1) 2 28

ECE1-B2015-2016 Exemple Onconsidèrelasuite(un)définiepar: ⇢ u0=1 8n2N,un+1=u0+u1+···+un Montrerque:8n2N,un62n . Montronsparrécurrenceforteque:8n2N,P(n) oùP(n):un62n. 1.Initialisation •Ona:u0=1et20+130=21=1. DoncP(0). 2.Hérédité:soitn2N. Supposonsquelapropriétéestvraiejusqu’aurangn. DémontronsP(n+1)(i.e.un+162n+1 ) Pardéfinitiondelasuite(un),ona: un+1=u0+u1+...+un

8 > <

> :

8 > <

> :

8 > <

> :

620621...62n (parHRau rang0)(parHRau rang1)(parHRau rangn) Ainsi:un+1620+21+...+2n=12n+1 12=2n+1162n+1. AinsiP(n+1)estvérifiée. Parprincipederécurrenceforte,ona:8n2N,P(n). 9

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ECE1-B2015-2016

III.2.Sommesdoublesàindicesdépendants

III.2.a)Sommationdestermesdutrianglesupérieur

Considéronsmaintenantuntableaucarré(n=p)etcalculonslasommedestermessetrouvantau-dessusdeladiagonale.

u1,1u1,2···u1,i···u1,j···u1,n

u2,1u2,2···u2,i···u2,j···u2,n... ... ... ... ...

ui,1ui,2···ui,i···ui,j···ui,n... ... ... ... ...

uj,1uj,2···uj,i···uj,j···uj,n... ... ... ... ...

un,1un,2···un,i···un,j···un,n

•Ensommantsuivantleslignes,onobtient:

T= nP

j=1 u1j+...+ nP

j=n unj= nP

i=1 nP

j=i ui,j !

•Ensommantsuivantlescolonnes,onobtient:

T= 1P

i=1 ui1+...+ nP

i=1 uin= nP

j=1 jP

i=1 ui,j !

Cesdeuxsommesétantégales,onobtientlaformule:

P

16i6j6n ui,j= nP

i=1 nP

j=i ui,j !

= nP

j=1 jP

i=1 ui,j !

27 ECE1-B2015-2016

Remarque

•Encoreunefois,c’estlaformedel’objetconsidérédanslapropriétéquinousaamenéàfaireunerécurrenceforte:l’objetun+1estdéfiniàl’aidedetouslesuiprécédents.

•Cetexempleestenfaitartificielpuisquel’onpourraitdémontrerqu’àpartirdurang1,lasuite(un)estunesuitegéométriquederaison2.Onaeneﬀet:8n2N⇤,un+1=2un.

•Leprincipederécurrencefortepeutsemblerpluspuissantqueleprincipederécurrencesimple.Cesprincipessontenfaitéquivalents.

•Plusprécisément,onpeutrésoudrel’exerciceprécédentàl’aided’unerécurrencesimple.Ondémontrealorsque:8n2N,(8k6n,P(k)).(cequidémontrenotammentque:8n2N,P(n))

II . So m m es fini es

Enmathématiques,ilestfréquentdetombersurdesquantitésdéfiniescommedessommesfinies.Considéronslesexemplessuivants.

Exempledesommesfinies1)3 4+3 5+3 6+···+3 15

2) 12+ 24+ 38+ 416+···+ 1010243)u+u22+u33+···+unn4)24+68+···+50Lamanièredontonadéfinicesquantitésn’estpastrèssatisfaisante.Onutilisenotammentlanotation«...»quin’estpasrigoureuse.Onvadoncintroduireunsymbolequivanouspermettrededéfinirrigoureusementcesquantités.

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ECE1-B2015-2016 Exercice Calculerlasommedoublesuivante:P 16i6n, 16j6pi. Démonstration. P 16i6n, 16j6pi=nP i=1

pP j=1i! =nP i=1p⇥i=pnP i=1i=pn(n+1) 2 Àretenir Cepremierexemplesimplepermetd’illustrerla«technique»decalcul dessommesdoubles: 1)Onécritlasommedoubleàl’aidedelaformuledesommationsuivant leslignes(oulescolonnes). (cechoixpourramodifierlacomplexitédescalculs) 2)Lecalculdesommedoubleserésumealorsàuncalculdesommes simples. Exercice Soient(ai)i2N⇤et(bi)i2N⇤deuxsuitesréelles. Montrerque,pourtoutn2N⇤ etpourtoutp2N⇤ ,ona: P 16i6n, 16j6paibj=✓ nP i=1ai◆ ⇥✓ pP i=1bi◆ Démonstration. P 16i6n, 16j6pai⇥bj=nP i=1

pP j=1ai⇥bj

! =nP i=1aipP j=1bj

! =pP j=1bj! nP i=1ai LadernièreégalitéestvérifiéecarlaquantitépP j=1bjestindépendantede l’indicedesommationi. 26

ECE1-B2015-2016 II.1.Définition Danslasuitedecettesection,lesnotations(uk)k2Net(vk)k2Ndésignent deuxsuitesréelles. NotationSymboleP •Lasommefiniedesélémentsu1,u2,...,unestnotéecommesuit. nP i=1ui=u1+u2+···+un •Lavariableiestappeléevariabledesommation. •Plusgénéralement,onpeutréaliserlasommed’unnombrefinid’élé- ments,indexéparunsous-ensemblefiniIdeN.OnnoteraalorsP i2Iui. Parexemple,P i2{3,5,6,9}ui=u3+u5+u6+u9. •Aveccettenotation,ona:nP i=1ui=P i2J1,nKui (iprendtouteslesvaleursentièresentre1etn) RemarqueIndicesdesommation •Lavariabledesommationestditemuette:changersonnomn’aﬀecte paslecalculdelasomme. nP i=1ui=nP j=1uj=nP k=1uk •Lessommesnecommencentpasforcémentàl’indice1. OnpeutévidemmentconstruirelessommesnP i=0ui,nP i=2ui,nP i=3uietplus généralementnP i=mui. 11

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ECE1-B2015-2016

III.1.c)Formuled’interversiondessommesfinies

Bienentendu,nouscalculonslamêmesommeaveccesdeuxméthodes,d’oùlaformuled’interversiondessommesfinies.

nP

i=1 pP

j=1 ui,j !

= pP

j=1 ✓nP

i=1 ui,j ◆

•Onpeutaussinotercessommessousformecompacte.

P

16i6n,16j6p ui,j= nPⁱ=1 pP^j=1 ui,j !

= pP

j=1 ✓nP

i=1 ui,j ◆

•Sin=p,onpourrautiliserlanotationsuivante:

P16i,j6n ui,j= nP

i=1 nP

j=1 ui,j !

= nP

j=1 ✓nP

i=1 ui,j ◆

NombredetermessommésIlyadeuxmanièresdecalculerlenombredetermessommés.1)Ilyenan⇥ppuisqu’onsommetouslesélémentsd’untableaucom-portantnlignesetpcolonnes.2)Onpeutnoterquechaquetermeui,jcomptepourunélémentsommé.Lenombredetermesestdoncdonnéparlasommedouble:

P

16i6n,16j6p 1= nPⁱ=1 pP^j=1 1 !

= nP

i=1 p=n⇥p

25 ECE1-B2015-2016

•Onutilisera,sansdistinction,l’uneoul’autredesnotationssuivantes:

nP

i=m ui= P

i2Jm,nK ui= P^m⁶_i

6n ui

Onanotamment,sim>n: nP

i=m ui= P

i2? ui=0

etsim=n: mP

i=m ui=um

ExerciceÉcrireàl’aidedusymbole Plessommesprécédentes. 1)20+21+23+...+2n= nP

i=0 2i

2)34+35+36+···+315= 15P

i=4 3i

3) 12+ 24+ 38+ 416+···+ 101024= 10P

i=1 i2i

4)u+ u22+ u33+···+ unn= nP

i=1 uii

5)24+68+···+50= 25P

i=1 (1)i+12i

12

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ECE1-B2015-2016

II I. So m m es do ubl es

III.1.Sommesdetouslesélémentsd’untableaurectangu- laire Onconsidèredesréelsui,javeci2J1,nKetj2J1,pK.Onrangeces valeursdansuntableaurectangulaire. u1,1u1,2···u1,j···u1,p u2,1u2,2···u2,j···u2,p

. . . . . . . . . . . .

ui,1ui,2···ui,j···ui,p

. . . . . . . . . . . .

un,1un,2···un,j···un,p OnsouhaitecalculerlasommeSdetouscestermes. III.1.a)Sommationsuivantleslignes Oncalculelasommedestermesdela1èreligne,puisonajoutelasomme destermesdela2èmeligne,...,etenfinlasommedestermesdelanème ligne. Onaalors:S=pP j=1u1,j+pP j=1u2,j+···+pP j=1un,j cequis’écritencore:S=nP i=1

pP j=1ui,j

! III.1.b)Sommationsuivantlescolonnes Oncalculelasommedestermesdela1èrecolonne,puisonajoutelasomme destermesdela2ème,...,etenfinlasommedestermesdelapèmecolonne. Onaalors:S=nP i=1ui,1+nP i=1ui,2+···+nP i=1ui,p cequis’écritencore:S=pP j=1

✓ nP i=1ui,j◆ 24

ECE1-B2015-2016 II.2.Règlesdecalcul Propriété Soit2R,a2Ret(m,n)2N2 telsquem6n. 1)Sommationd’uneconstante nP i=1a=n⇥anP i=ma=(nm+1)⇥a •Onnoteraaupassagequ’unesommeindexéepari2Jm,nKcontient nm+1termes. •Cesformulessontvalablespourtoutélémentaindépendantde l’indicedesommationi. •Parexemple,ona: 13P i=47=(134+1)⇥7=10⇥7=70 2)Sommationparpaquets nP i=1ui=mP i=1ui+nP i=m+1ui •Paranalogieaveclecalculintégral,onparleaussiderelationde Chaslessurlessommesfinies. •Parexemple,ona: 13P i=47=9P i=47+13P i=107=(94+1)⇥7+(1310+1)⇥7 =6⇥7+4⇥7=(6+4)⇥7=70 13

(14)

ECE1-B2015-2016 Démonstration.Soitq2Ret(m,n)2N2telsquem6n.Alorsona:

(1q) nP

k=m q k= nP

k=m q k nP

k=m q k+1

= nP

k=m (qkqk+1)=qmqn+1

ExempleCalculerlessommesfiniessuivantes.

a. nP

k=1 3 k

4k+1 b. 5P

k=0 k(3k22) a.Notonsuk= 3k

4k+1 = 3k

4⇥4k = 14 3k

4k = 14 ✓34 ◆k.Onaalors:

nP

k=1 uk= nP

k=1 14 ✓34 ◆k= 14 nP

k=1 ✓34 ◆k= 14 (34)1(34)n+1

1 34

= 14 34( 34)n+1

14 = 34 ✓34 ◆n+1= 34 ✓

1 ✓34 ◆n◆

b. 5P

k=0 k(3k22)= 5P

k=0 (3k32k)= 5P

k=0 3k3 5P

k=0 2k

=3 5P

k=0 k 32 5P

k=0 k=3 ✓6⇥52 ◆22 6⇥52

=3(15)22⇥15=3⇥22530

=67530=645

23 ECE1-B2015-2016

3)Linéaritédel’opérateur P

nP

i=1 ui=u1+u2+···+un= nP

i=1 ui

nP

j=1 (uj+vj)= nP

j=1 uj+ nP

j=1 vj

•Lapremièreformuleestvalablepourtoutindépendantdel’in-dicedesommationi.

•Parexemple,siq6=1,ona:

6P

i=0 (3i5qi)+ 6P

i=3 (72i)= 6P

i=0 3i 6P

i=0 5qi+ 6P

i=3 7 6P

i=3 2i

=3 6P

i=0 i5 6P

i=0 qi+ 6P

i=3 72 6P

i=3 i

D’autrepart,ona:

3 6P

i=0 i2 6P

i=3 i=3( 2P

i=0 i+ 6P

i=3 i)2 6P

i=3 i

=3 2P

i=0 i+3 6P

i=3 i2 6P

i=3 i=3 2P

i=0 i+ 6P

i=3 i

=3 3⇥(2+0)2 + 4⇥(3+6)2 =9+18=27

et:5 6P

i=1 qi=5 1q 7

1q

enfin: 6P

i=3 7=(63+1)⇥7=28

14

(15)

ECE1-B2015-2016 Remarque •Mêmesilesformulesfontapparaîtredesdivisionspar2,6et4,ilest évidentquelasommedesnpremiersentiers,carrés,cubesaunrésultat entier. •Onpeutdémontrercesformulesdemanièredirecte.Parexemple,pour lasommedesnpremiersentiers,oncommenceparremarquerque: (k+1)2 k2 =2k+1 Onendéduitque:nP k=1((k+1)2k2)=2nP k=1k+nP k=11 qq (n+1)2 12 2✓ nP k=1k◆ +n etenfinque: 2✓ nP k=1k◆ =(n+1)212n=n2+2n+11n =n2+n=n(n+1) II.3.d)Sommesgéométriques 8q2R\{1},nP k=0qk =1qn+1 1qetnP k=mqk =qmqn+1 1q Remarque •Siq=1,ona:nP k=0qk=nP k=01k=nP k=01=n+1 •Siq=1,ona:nP k=mqk =nP k=m1k =nP k=m1=nm+1 Évidemment,onpeutdémontrercetteformuleparrécurrencesurn. Maisilestplussimpleicidefaireunedémonstrationdirecte. 22

ECE1-B2015-2016 4)Changementsd’indices Décalaged’indice:nP j=0uj=n+1P k=1uk1=n+2P `=2u`2 nP j=muj=nmP k=0uk+menposantk=jm =n+`P i=m+`ui`enposanti=j+` Sommerdansl’autresens:nP j=0uj=nP i=0uni Onpeutécrireuneformulesimilairepour lessommescommençantàl’indice1

nP j=1uj=n1P i=0uni Exercice Montrerquepourtoutn2N⇤,ona: nP k=1(k+1)p nk=n1P i=0(ni+1)p i Notonsuk=(k+1)p nk.Àl’aidedelaformuleprécédente,ona: nP k=1uk=n1P k=0unk=n1P k=0((nk)+1)p n(nk) =n1P k=0(nk+1)p k 15

(16)

ECE1-B2015-2016

II.3.c)Sommesdesnpremierscubesd’entiers

Rn= nP

k=0 = nP

k=1 k 3= n2(n+1)2

4 =Sn 2

Démonstration.Montronsparrécurrenceque:8n2N⇤,P(n)

oùP(n): nP

k=1 k3= n2(n+1)2

4 .

1.Initialisation

•Ona: 1P

k=1 k3=13et 12(1+1)2

4 = 44 =1.

DoncP(1).

2.Hérédité:soitn2N⇤.

SupposonsP(n)etdémontronsP(n+1)(i.e. n+1P

k=1 k3= (n+1)2(n+2)2

4 )

Orona: n+1P

k=1 k3=( nP

k=1 k3)+(n+1)3

= n2(n+1)2

4 +(n+1) 3(parHRP(n))

= (n+1)2

4 (n2+4(n+1))

= (n+1)2

4 (n 2+4n+4)= (n+1)2

4 (n+2) 2

Parprincipederécurrence,ona:8n2N⇤,P(n).

21 ECE1-B2015-2016

5)Sommestélescopiques

nP

k=1 (uk+1uk)=un+1u1

Eneﬀet: nP

k=1 (uk+1uk)

= nP

k=1 uk+1 nP

k=1 uk

= n+1P

k=2 uk nP

k=1 uk (parchangementd’indice)

=( nP

k=2 uk+ n+1P

k=n+1 uk)( 1P

k=1 uk+ nP

k=2 uk) (parsommationparpaquets)

=un+1u1

•Onpeutgénéraliserlaformuleprécédente:

nP

k=m (uk+1uk)=un+1um

ExerciceOnsouhaitecalculerlasommeSn= nP

k=2 1k2k ,oùn>2.

1)Montrerque 1k2k = ↵k +k1 ,où↵etsontdeuxréelsquevousdéterminerez.2)CalculerSnàl’aidedesommestélescopiques.

16

(17)

ECE1-B2015-2016 II.3.b)Sommesdesnpremierscarrésd’entiers Tn=nP k=0=nP k=1k2 =n(n+1)(2n+1) 6 Démonstration. Montronsparrécurrenceque:8n2N⇤ ,P(n) oùP(n):nP k=1k2=n(n+1)(2n+1) 6. 1.Initialisation •Ona:1P k=1k2=12et1(1+1)(2⇥1+1) 6=6 6=1. DoncP(1). 2.Hérédité:soitn2N⇤. SupposonsP(n)etdémontronsP(n+1)(i.e.n+1P k=1k2 =(n+1)(n+2)(2n+3) 6) Orona:n+1P k=1k2 =(nP k=1k2 )+(n+1)2 =n(n+1)(2n+1) 6+(n+1)2(parHRP(n)) =n+1 6(n(2n+1)+6(n+1)) =n+1 6(2n2+7n+6)=n+1 6(n+2)(2n+3) AinsiP(n+1)estvérifiée. Parprincipederécurrence,ona:8n2N⇤ ,P(n). (onnotequeP(n)=2n2+7n+6estunpolynômededegré2enlavariable n;iladmet2commeracine;onpeutdonclefactoriserpar(n+2)) 20 ECE1-B2015-2016 Remarque •Onautiliséuncasunpeuparticulierdelasommationparpaquetsoù l’onaécartéseulementuntermedelasomme.Onpeutdirectement écrire: nP i=1ui=u1+nP i=2ui=n1P i=1ui+un 6)Sommationsuruneuniond’ensembles P i2A[Bui=P i2Aui+P i2BuiP i2A\Bui •Parexemple,sionprendA={2,4,5,9}etB={1,2,9,11},ona: ⇥A[B={1,2,4,5,9,11} ⇥A\B={2,9} ⇥P i2A[Bui=u1+u2+u4+u5+u9+u11 ⇥P i2A\Bui=u2+u9 Enfin,ona: P i2Aui+P i2Bui=(u2+u4+u5+u9)+(u1+u2+u9+u11) =(u1+u2+u4+u5+u9+u11)+(u2+u9) Exercice Soientaetbdeuxréels.Démontrerquepourtoutn2N, an+1 bn+1 =(ab)⇥nP k=0ak bnk Donnerdemêmeunefactorisationdeanbnpourn2N⇤. 17

(18)

ECE1-B2015-2016

Remarque

•Laformule(SnSm1)peutseretenircommeétantlerésultatdudemi-produit:

⇥dunombredetermesdelasomme(nm+1),

⇥parlasomme(n+m)forméedu1erterme(m)etdudernier(n).

•Cetteformulesedémontreàl’aidedelaprécédente.Remarquonstoutd’abordque: nP

k=1 k= m1P

k=1 k+ nP

k=m k.Onendéduitque:

nP

k=m k= nP

k=1 k m1P

k=1 k

= n(n+1)2 (m1)m2 = n2+nm2+m2

= (nm+1)(m+n)2(onnotequeP(n)=n 2+nm 2+mestunpolynômededegré2enlavariablen;iladmetmcommeracine;onpeutdonclefactoriserpar(n+m))

ExerciceQuevautlasommedesnpremiersentierspairs?impairs?

Démonstration.NotonsUnlasommedesnpremiersentierspairsetVnlasommedesnpremiersentiersimpairs.Onaalors:

•Un= nP

k=1 (2k)=2 nP

k=1 k=2 n(n+1)2 =n(n+1)

•D’autrepart,ona:

Vn= nP

k=1 (2k1)= nP

k=1 (2k) nP

k=1 1=2 nP

k=1 kn

=2 n(n+1)2 n=n((n+1)1)=n2

19 ECE1-B2015-2016

II.3.Sommesusuelles

Danscettesection,onchoisit(m,n)2N2telsque06m6n.

II.3.a)Sommesdesnpremiersentiers

Sn= nP

k=0 k= nP

k=1 k= n(n+1)2 SnSm1= nP

k=m k= (nm+1)(m+n)2 Démonstration.Montronsparrécurrenceque:8n2N⇤,P(n)

oùP(n): nP

k=1 k= n(n+1)2 .

1.Initialisation

•Ona: 1P

k=1 k=1et 1(1+1)2 = 22 =1.DoncP(1). 2.Hérédité:soitn2N⇤.

SupposonsP(n)etdémontronsP(n+1)(i.e. n+1P

k=1 k= (n+1)(n+2)2 )

Orona: n+1P

k=1 k= ✓nP

k=1 k ◆+(n+1)

= n(n+1)2 +(n+1)(parHRP(n))

= n+12 (n+2)

Parprincipederécurrence,ona:8n2N⇤,P(n).

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