CPBX MPC Alg`ebre II 2020-2021
TD5 - r´ eduction des endomorphismes bis - Corrig´ e exo 1
Exercice 1
On suppose queP s’´ecrit
P(X) =
d
X
k=0
akXk.
1. Fait en TD.
2. Soit x ∈ ker(P(f)), c’est-`a-dire que x v´erifie P(f)(x) = 0. On ´ecrit P(X) = a0+XQ(X) o`u Q∈R[X], et par hypoth`ese sur P, on a a06= 0. AinsiP(f)(x) = 0 devient
a0x+ f ◦Q(f)
(x) = 0 ⇐⇒ x=−1
a0 f◦Q(f)
(x) =f(t),
o`u on a utilis´e la lin´earit´e def et on a pos´et=−Q(f)(x)a
0 . Ceci prouve quex∈Imf.
3. Soit x ∈ kerf v´erifiant de plus x 6= 0. Alors P(f)(x) = 0. Ecrivons P(X) = a0+XQ(X), en notant quea0=P(0). Ceci conduit `a
−a0x= Q(f)◦f
(x) =Q(f)(f(x)) =Q(f)(0) = 0.
Puisque x6= 0, on a donca0= 0.
4. On ´ecrit encore une fois P(X) = a0 +XQ(X) o`u Q ∈ R[X]. Soit x ∈ E quelconque et y = P(f)(x) =a0x+f Q(f)(x)
. Alors par hypoth`ese, y∈Imf, orf Q(f)(x)
∈Imf, donc, puisque Imf est un espace vectoriel, on aa0x∈Imf. Ainsi, sia06= 0, on a montr´e
∀x∈E, x∈Imf.
ceci contredit Imf 6=E. Donca0= 0.
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