Alg`ebre II

Alg`ebre II

Licence, ´ Ecole Normale Sup´ erieure de Lyon, 2013–2015.

Fran¸cois Dahmani

Universit´ e Joseph Fourier, Grenoble I. Institut Universitaire de France.

Avertissement

Ce texte constitue une tentative de r´ edaction de notes de cours pour 12 s´ eances de 2h.

Ce cours fait suite ` a celui donn´ e au premier semestre par Sandra Rozensztajn

(Groupes (actions, groupes sym´etriques, representations de groupes finis) – Anneaux (Polynˆomes, Factorisations, Anneaux Noetheriens) – Modules (de type fini sur un anneau principal).)

Voici le plan grossier. (cf pages suivantes pour un plan d´ etaill´ e.)

– 1 – Extensions de corps et d’anneaux. (5 s´eances) – 2 – Groupes lin´eaires. (5 s´eances)

– 3 – Comp´ements autour des alg`ebres de polynˆomes. (2 s´eances)

Bibliographie indicative.

– D. Perrin,Cours d’Alg`ebre, Ellipse.

– S. Lang, Algebra, Addison Wesley.

– R. Mneimn´e, F. TestardIntroduction a la th´eorie des groupes de Lie classiquesHermann.

– J.-Y. MerindolNombres et Alg`ebre, EDP Sciences, Grenoble Sciences.

– G. Birkhoff, S. Mac Lane, A Survey of Modern Algebra, A.K. Peters.

Merci `a Emmanuel Peyre pour la mise `a disposition de ses notes, et aux ´etudiants de l’ENS de 2012, 2013, pour leurs commentaires

Table des mati` eres

1 Extensions de corps et d’anneaux. 3

1.1 Premi`eres notions sur les extensions de corps . . . 3

1.1.1 Extensions de corps, et ´el´ements alg´ebriques . . . 3

1.1.2 Le point de vue vectoriel . . . 5

1.1.3 Regle et compas . . . 8

1.1.4 Corps de rupture, corps de d´ecomposition . . . 11

1.2 Corps finis . . . 14

1.2.1 Caracteristique et cardinal . . . 14

1.2.2 Existence et unicit´e des corps finis . . . 15

1.2.3 F^∗q . . . 16

1.2.4 Carr´es . . . 16

1.3 Cloture alg´ebrique . . . 16

1.3.1 Existence . . . 17

1.3.2 Unicit´e . . . 18

1.3.3 Compl´ements, applications aux extensions normales. . . 19

1.4 Cyclotomie . . . 22

1.4.1 Racines de l’unit´e, racines primitives . . . 22

1.4.2 Irr´eductibilit´e . . . 24

1.5 Extensions d’anneaux . . . 25

1.5.1 D´efinitions . . . 25

1.5.2 Elements entiers . . . 26

1.5.3 Cloture integrale . . . 27

1.5.4 Exemples quadratiques . . . 28

2 Groupes lin´eaires 33 2.1 Groupes lin´eairesGL,SL . . . 33

2.1.1 D´efinitions . . . 33

2.1.2 Produit semi-direct . . . 33

2.1.3 G´en´erateurs . . . 33

2.1.4 Applications . . . 33

2.1.5 Simplicit´e . . . 33

2.1.6 Cas exceptionnels . . . 33

2.1.7 Congruences . . . 33

2.2 Exponentielle et applications . . . 33

2.2.1 Alg`egres de Banach, et applications . . . 33

2.2.2 Premi`eres applications sur les sous groupes deGL . . . 33

2.2.3 Sous groupes ferm´es . . . 33

2.2.4 Sous groupes compacts . . . 33

2.3 Quaternions . . . 33

2.3.1 Rappels surOn . . . 33

2.3.2 Le “corps” des quaternions . . . 33

2.3.3 R´ealisation matricielle . . . 33

2.3.4 Applications . . . 33

2.3.5 G´eom´etrie Euclidi`enne de dimension 4 . . . 33

2.3.6 G´eom´etrie Euclidi`enne de dimension 3 . . . 33

2.3.7 Hopf . . . 33

2.3.8 Frob´enius . . . 33

2.3.9 Cayley . . . 33

3 Compl´ements sur les alg`ebres de polynˆomes 33 3.0.10 Polynˆomes sym´etriques . . . 33

3.0.11 R´esultant . . . 33

3.0.12 Fractions rationelles . . . 33

1 Extensions de corps et d’anneaux.

1.1 Premi` eres notions sur les extensions de corps

Les corps sont suppos´ es commutatifs.

Un polynˆ ome P sur un corps K aura donc au plus deg(P ) racines, et ses racines multiples sont donn´ ees par celles de P

⁰

∧ P .

1.1.1 Extensions de corps, et ´ el´ ements alg´ ebriques

D´ efinition 1.1.1. Si L est un corps, et ρ : K → L, on dit que L est une extension de K par ρ, ou encore une extension de ρ(K), et on note L\ρ(K ).

Souvent, le contexte fera que K ⊂ L et ρ = id|

_K

. On omet alors la mention de ρ.

Exemple 1.1.1. :

– C \ R ,

– R \ Q ,

– K (T )\ K , dans lequel K (T ) est le corps des fractions de l’anneau (integre) K [T ].

– Q ( √

2)\ Q ? ` a clarifier. En effet :

La notation que l’on vient d’utiliser K(T ) (ou Q ( √

2)) merite que l’on clarifie ses usages futurs.

Observation 1.1.1. l’intersection d’une famille de sous-corps est un sous-corps. Cela permet de parler de sous-corps engendr´ e par une partie (c’est l’intersection des corps contenant cette partie).

Notation : si L\K est une extension, et si S ⊂ L, K (S) d´ esigne le sous corps engendr´ e par K et S.

Observation 1.1.2. “K(T ) est bien K(T ).”

Exemple 1.1.2. : R \ Q ( √ 2)\ Q . R \ Q (π)\ Q .

Sp´ ecialisation (ou ´ evaluation). Soit L\K. Si α ∈ L, on note K [α] le sous-anneau engendr´ e par K et α.

Oublions un instant que L et K sont des corps, et ne voyons que les anneaux.

Lemme 1.1.1. Soit B un anneau et A un sous-anneau de B , et α dans B. Soit A[X] l’anneau des polynˆ omes ` a une ind´ etermin´ ee, ` a coefficients dans A. Il existe un unique morphisme A[X] → B induisant l’identit´ e sur A et envoyant X sur α. On le note spe

_α

.

Sans les notations pr´ ec´ edentes A[α] est l’image de A[X] par spe

_α

. D´ emonstration. Un unique morphisme est ainsi bien d´ efini.

Par ailleurs, spe

_α

(A[X]) ⊂ T

{α}∪A⊂A⁰

A

⁰

car si y = P (α), y est dans tout A

⁰

de cette forme.

Aussi, T

{α}∪A⊂A⁰

A

⁰

⊂ spe

α

(A[X]), car spe

α

(A[X]) est l’un de ces anneaux A

⁰

dont il est

question.

Revenons ` a nos corps. Nous avions L\K, et α ∈ L.

Un tel ´ enonc´ e est plus probl´ ematique pour les corps K (X) a la place des anneaux K[X]

(pourquoi ?).

On peut cependant d´ ecrire les ´ el´ ements de K(α) comme ceux de la forme x = P (α) Q(α) , avec P et Q des ´ el´ ements de K [X], et Q n’ayant pas α pour racine.

(Tout element de cette forme est dans K (α), et on verifie sans peine que l’ensemble de ces

´

el´ ements forme un sous-corps de L.)

D´ efinition 1.1.2. Soit L\K, et α ∈ L. On dit que α est transcendant sur K si spe

_α

: K[X] → L est injective.

On dit que α est alg´ ebrique sur L sinon.

Remarque : Si α est alg´ ebrique, comme K [X] est principal (K est un corps !) il existe un unique polynome unitaire P

α

∈ K[X] tel que ker(spe

α

) = (P

α

). On l’appelle le polynˆ ome minimal de α sur K. Son degr´ e est aussi appell´ e degr´ e de α sur K .

1.1.2 Le point de vue vectoriel

Remarque cl´ e : si L\K, alors L est un K -ev. On dit que sa dimension est le degr´ e de L sur K, et on la note [L : K].

Si le degr´ e est fini, on dit, leg` erement abusivement que l’extension est finie.

Exemple 1.1.3. si L est fini, |L| = |K|

^[L:K]

. On verra bientot des exemples de corps finis.

Th´ eor` eme 1.1.1. (Base t´ el´ escopique) Soient M\L et L\K des extensions.

Soit (e

_i

)

i∈I

une base de M sur L et (f

_j

)

j∈J

une base de L sur K.

Alors (e

i

f

j

)

(i,j)∈I×J

est une base de M sur K.

D´ emonstration. Libert´ e : Si P

λ

_i,j

e

_i

f

_j

= 0 (avec λ

_i,j

∈ K), factorisons :

X

i

( X

j

λ

_i,j

f

_j

)e

_i

chaque coefficient ( P

j

λ

_i,j

f

_j

) est dans L, et (e

_i

) est une base de M sur L, donc chaque coefficient ( X

j

λ

_i,j

f

_j

)

(j fix´ e) est nul. Comme λ

_i,j

∈ K et (f

_i

) base de L sur K, chaque λ

_i,j

est nul.

G´ en´ eration : si x ∈ M ecrivons

x = X µ

_i

e

_i

avec µ

_i

∈ L. Ecrivons pour chaque µ

_i

:

mu

_i

= X

j

ν

_i,j

f

_j

avec ν

_i,j

∈ K. On a bien

x = X X

ν

_i,j

f

_j

e

_i

.

Corollaire 1.1.1. Si M \L et L\K des extensions finies, alors M \K aussi, et [M : L][L : K] = [M : K].

Th´ eor` eme 1.1.2. Si L\K est une extension et si α ∈ L, LASSE : 1. α est alg´ ebrique sur K

2. K[α] = K(α) 3. [K[α] : K] est fini.

Et dans ce cas, [K[α] : K] vaut le degr´ e du polynˆ ome minimal de α sur K.

D´ emonstration. (1 = ⇒ 2). Si P

α

est le polynome minimal ; on a

K[X]/(P

_α

) →

^'

K[α].

Or ` a droite c’est integre, donc ` a gauche aussi,

donc (P ) est un ideal premier,

donc P est irreductible dans K [T ]

donc (P ) est aussi maximal, et donc ` a gauche, c’est un corps.

Donc K[α] aussi est un corps. Donc c’est K (α).

(2 = ⇒ 1). Si α est transcendant,

K[α] ' K[X]/ ker(spe) = K[X]

et ce n’est pas un corps.

(3 = ⇒ 1). Si α est transcendant, K [α] ' K[X] est de dimension infinie sur K .

(1 = ⇒ 3). On affirme que {1, α, α

²

, . . . , α

^deg(Pα)−1

} est une base de K [α] sur K. Cette famille est libre, sinon, on trouve un polynome de degr´ e < deg(P

_α

) qui annule α. Elle est g´ en´ eratrice, car pour tout polynˆ ome P , P (α) est aussi r´ ealis´ e par un polynˆ ome de bas degr´ e (si la division Euclidienne donne P = QP

_α

+ R, on a P (α) = R(α)).

D´ efinition 1.1.3. Une extension est finie si son degr´ e est fini.

Une extension est alg´ ebrique si tous ses ´ el´ ements sont alg´ ebriques.

Observation 1.1.3. le th´ eor` eme pr´ ec´ edent (en fait une partie facile de celui-ci) donne le corollaire suivant.

Corollaire 1.1.2. Toute extension finie de K est alg´ ebrique sur K.

En effet, tout element β engendre un sous-K-ev K[β] encore de dimension finie, et (1 = ⇒ 3) s’applique. La r´ eciproque est fausse comme nous allons le voir (une extension alg´ ebrique peut ˆ etre non-finie.

Th´ eor` eme 1.1.3. Si M \K est une extension, et L = {x ∈ M, x alg. sur K}, alors L est un corps (et L\K est une extension alg´ ebrique).

La partie entre parenth` ese est tautologique une fois que le fait que L est un corps est ´ etabli.

D´ emonstration. Si α, α

⁰

sont alg´ ebriques (non nuls), α

⁻¹

, αα

⁰

et α + α

⁰

le sont-ils ?

Pour α

⁻¹

c’est clair car il est dans l’extension finie K[α] (l’observation precedente s’ap-

plique).

Les deux autres sont ailleurs. Ils sont dans (K[α])[α

⁰

] (ici K [α] est un corps). Comme α

⁰

est alg´ ebrique sur K, il l’est sur K[α], et donc, (K[α])[α

⁰

] est une extension de finie de K[α].

Par ailleurs, K[α] est une extension finie de K. Par th´ eor` eme “t´ el´ escopique”, (K [α])[α

⁰

] est une extension finie de K et le tour est jou´ e, on peut ` a nouveau appliquer le corollaire pr´ ec´ edent pour chacun des ´ el´ ements αα

⁰

et α + α

⁰

.

Observation 1.1.4. il n’est en principe pas facile (ou pas agr´ eable ?) de trouver le polynˆ ome minimal de α + α

⁰

et de αα

⁰

.

Exemple 1.1.4. Polynˆ ome minimal de 5

^1/7

+ 7

^1/3

× 3

^1/5

?...

Observation 1.1.5. Q ¯ = {x ∈ C , x alg. sur Q } est un corps, c’est une extension alg´ ebrique de Q , amis ce n’est pas une extension finie, car on y trouve des ´ el´ ements de tout degr´ e.

D´ efinition 1.1.4. On dit qu’un corps est alg´ ebriquement clos quand sa seule extension alg´ ebrique est celle de degr´ e 1.

Proposition 1.1.1. LASSE.

– K est alg. clos.

– Pour tout P ∈ K[X] de degr´ e ≥ 1, P a une racine dans K.

– Pour tout P ∈ K[X] de degr´ e ≥ 1, P est un produit de polynomes de K[X] de degr´ e 1.

– Si P ∈ K [X] est irreductible, son degr´ e est 1.

(exercice)

Fait : C et ¯ Q sont alg. clos.

1.1.3 Regle et compas

1

D´ efinition 1.1.5. Soit A ⊂ R

²

et M ∈ R

²

.

On dit que M est constructible ` a la r` egle et au compas (“CALREAC”, ou “construc- tible” dans la suite) en un coup ` a partir de A si :

il existe A

₁

, . . . A

₆

dans A tels que l’une des trois situations suivante est vraie :

1. Utiliser une couleur pour les traits de construction, et une autre pour les points construits

– A

₁

6= A

₂

, et A

₃

6= A

₄

et {M} = (A

₁

A

₂

) ∩ (A

₃

A

₄

).

– A

₁

6= A

₄

et {M } ∈ C

_A1,d(A2,A3)

∩ C

_A4,d(A5,A6)

. – {M } ∈ C

_A1,d(A2,A3)

∩ (A

₄

A

₅

).

En clair : c’est quand M est ` a l’intersection de droites et/ou cercles distincts d´ efinis grace

` a A.

D´ efinition 1.1.6. On dit que M ∈ R

²

est CALREAC s’il existe des ensembles (finis)

{(0, 0)(1, 0)} = A

₀

⊂ A

₁

⊂ A

₂

· · · ⊂ A

_n

avec M ∈ A

_n

et A

_i+1

ne contient que des points CALREAC en un coup ` a partir de A

_i

.

Exercice : l’hypoth` ese de finitude des ensembles est superflue : si on l’enleve, on ne change pas la classe.

D´ efinition 1.1.7. On dit qu’un r´ eel x est CALREAC si (x, 0) ∈ R

²

l’est.

Proposition 1.1.2. Sont CALREAC les points suivants : – (n, 0) si n ∈ Z

– (0, n) si n ∈ Z

– (0, x) si x CALREAC ‡

– (x + y, 0) si x, y CALREAC (ex.) – (−x, 0) si x CALREAC (ex.) – (x, 0) si x ∈ Q

– (

^x_y

, 0) si x, y CALREAC y 6= 0 ‡ – (xy, 0) si x, y CALREAC (ex.) – ( √

x, 0) si x > 0 CALREAC ‡ – (x, 0) si (x, y) CALREAC.

D´ emonstration. On sait tracer la mediatrice d’un segment (et donc de [−(1, 0), (1, 0)]). Donc on a (3).

Pour (7), on considere le triangle (0, 0, (0, y), (x, 0). Si on sait tracer la parallele au 3eme

cot´ e passant par (0, 1), on a fini, car Thales nous dit qu’elle intersecte l’axe des (t, 0) en (x/y, 0).

Construire la parallele a une droite D passant par un point (A) : on constuit une perpen- diculaire ∆ (cf avant), puis un cercle de centre A de rayon assez grand intersecte ∆ en deux points. La m´ ediatrice de ce segment est la droite cherch´ ee (ex.).

xy = x/(1/y) (ou bien 0...) Pour √

x, il s’agit de considerer le point (0,

^x−1₂

) et le cercle centr´ e en ce point de rayon

^x+1₂

. Il intersecte l’axe des (t, 0) en (±y, 0) (avec y > 0 disons). Pythagore nous dit que y = √

x.

Le dernier point est une projection orthogonale, ce qu’on a d´ ej` a fait.

Th´ eor` eme 1.1.4. L’ensemble des nombres CALREACS est un sous-corps de R , alg´ ebrique, et tout ´ el´ ement a pour degr´ e une pouissance de 2.

(Reciproque fausse)

D´ emonstration. C’est un corps d’apres la proposition.

Soit x CALREAC. Soit une famille A

₀

⊂ . . . A

_n

adapt´ e ` a (x, 0). On peut supposer (quitte

`

a rajouter des ensembles intermediaires, que chauqe A

_i

ne contient que un point de plus que A

i−1

.

Soit K

i

le sous-corps de R engendr´ e par Q et les coordonn´ ees des points de A

i

. Lemme 1.1.1. Dans ces conditions, [K

_i

; K

_i−1

] de degr´ e 1 ou 2.

D´ emonstration.

Observation 1.1.6. (pr´ eliminaire) une equation unitaire d’une droite entre deux points de A

_i−1

est ` a coefficients dans K

_i−1

(il s’agit de det( −→

AB, (x − x

_A

, y − y

_A

)) = 0). L’equation unitaire d’un cercle defini par A

i−1

est ` a coefficients dans K

i−1

(il s’agit de k −−−−→

(x, y)Ak

²

= k − − → BCk

²

).

Supposons pour commencer qu’il n’y a aucune construction faisant intervenir l’intersection

de deux cercles. Soit M

_i

= (x

_i

, y

_i

) le nouveau point de A

_i

. Ses coordonn´ ees sont solutions

d’un systeme lin´ eaire (si M

_i

est l’intersection de 2 droites) ou d’un systeme d’une equation

quadratique et d’une lin´ eaire ` a coefficients dans K

i−1

. Dans ce dernier cas, l’equation lin´ eaire

permet d’´ eliminer au choix une inconnue de l’equation quadratique, et ainsi un polynome de

degr´ e 2 annule x

_i

ou y

_i

(et l’autre lui est lin´ eairement li´ ee).

Le Lemme est aussi vrai quand on obtient M

_i

par intersection de deux cercles : le systeme est alors

x

²

+ ax + y

²

+ by + c = 0, x

²

+ dx + y

²

+ ey + f = 0 il equivaut ` a

x

²

+ ax + y

²

+ by + c = 0, (d − a)x + (e − b)y + (f − c) = 0

et comme tous les coefficients sont dans K

i−1

, on est dans le cas precedent.

Fin de la preuve : par th´ eor` eme de la base telescopique [ Q [x], Q ] divise [K

_n

, Q ]. Par ailleurs, le Lemme montre que [K

_n

, Q ] est une puissance de 2 ; on a fini.

Applications :

– 2

^1/3

n’est pas CALREAC (cf probleme du temple de Delos)

– cos(π/9) n’est pas CALREAC (il est annul´ e par 8x

³

− 6x − 1 grace ` a la formule bien connue cos(3θ) = 4 cos

³

θ − 3 cos θ. En consequence, on ne pourra pas trissecter tous les angles “constructibles”.

– √

π n’est pas CALREAC (car π est transcendant (Lindemannn)). En consequence, on ne pourra pas “construire” un carr´ e de mˆ eme aire que le disque unit´ e.

1.1.4 Corps de rupture, corps de d´ ecomposition

D´ efinition 1.1.8. Soit P ∈ K[X] irreductible, et une extension L\K. On dit que L est un corps de rupture pour P (sur K) si L = K(α) pour un certain α ∈ L annulant P .

Th´ eor` eme 1.1.5. Etant donn´ e P ∈ K[X] irreductible, il existe un corps de rupture de P sur K, unique ` a isomorphisme (non unique) pr` es.

D´ emonstration. ∃ : le corps K[X]/(P ) convient car P ( ¯ X) = ¯ 0 (c’est bien un corps car P est irreductible).

∃! :

Lemme 1.1.2. Soit i : K → K

⁰

un isomorphisme de corps (il induit i : K[X] → K

⁰

[X]

qui envoie P sur un polynˆ ome que l’on note P

⁰

). Prenons L un corps de rupture de P sur K (L = K (α), pour P (α = 0), et L

⁰

un corps de rupture de P

⁰

sur L

⁰

(L

⁰

= K

⁰

(β

⁰

) pour P

⁰

(β

⁰

) = 0, mais en principe β

⁰

n’a encore rien ` a voir avec α).

Alors il existe un unique isomorphisme L → L

⁰

induisant i sur K et envoyant α sur β

⁰

. Observation 1.1.7. On utilisera tres souvent le morphisme induit sur l’anneau des polynomes, sans mentionner cette induction specifiquement ` a chaque fois.

Avant de montrer le lemme, remarquons qu’il donne l’unicit´ e que l’on veut, et donnons deux exemples.

Exemple 1.1.5. K = K

⁰

= Q , P = X

³

− 2, et L = Q (2

^1/3

) et L

⁰

= Q (e

^2iπ/3

2

^1/3

)... Ce sont tous les deux des corps de ruptures de P sur Q .

Exemple 1.1.6. (ou l’isomorphisme est non unique) : K = K

⁰

= Q , P = X

²

− 2 et L = Q ( √

2) = Q (− √

2) = L

⁰

.

Prouvons le lemme. L’unicit´ e est ´ evidente, il nous faut l’existence.

Notons ¯ spe

_α

: K[X]/(P ) → L le factoris´ e de spe

_α

. C’est un isomorphisme (surjectif par definition, et injectif car P est polynome minimal de α (ou parce qu’on est sur des corps).

On a le diagramme commutatif :

K[X] →

ⁱ

K

⁰

[X]

↓ ↓

K[X]/(P ) →

^¯i

K

⁰

[X]/(P

⁰

) car i(P ) = P

⁰

↓' ↓'

L L

⁰

Les fleches verticales du bas sont spe

_α

et spe

⁰_α

. Ce sont des isomorphismes, et donc ` a la ligne du bas on a un isomorphisme par composition.

D´ efinition 1.1.9. Soit P ∈ K[X] de degr´ e ≥ 1 (irreductible ou non), et L\K une extension.

On dit que L est un corps de d´ ecomposition de P sur K si, dans L[X], P est un produit de

polynˆ omes de degr´ e 1, et si L est minimal pour cette propri´ et´ e.

Observation 1.1.8. la minimalit´ e veut dire alors que L est engendr´ e par K et les racines de P .

Th´ eor` eme 1.1.6. Pour tout P ∈ K[X] de degr´ e ≥ 1, il existe une extension L\K pour laqsuelle L est un corps de d´ ecomposition de P sur K. Cette extension est unique ` a isomorphisme (non unique) pr` es pour cette propri´ et´ e. On note L = D

_K

(P ).

D´ emonstration. ∃. Recurrence sur le degr´ e de P (le corps n’etant pas fix´ e). S’il vaut 1, il n’y a rien ` a dire. S’il vaut n, soit L

₁

un corps de rupture d’un facteur irreductible quelconque de P . Dans L

₁

[X], P a une racine α, et on peut ecrire par division Euclidienne P (X) = (X − α)Q(X) avec Q ∈ L

₁

[X] de degr´ e n − 1. Par hypoth` ese de r´ ecurrence, il existe un corps de d´ ecomposition de Q sur L

₁

, et on verifie sans peine que c’est un corps de d´ ecomposition de P sur K.

∃!. Paraphrasons.

Lemme 1.1.3. Si i : K → K

⁰

, i(P ) ∈ K

⁰

[X], et L, L

⁰

corps de decompositions respectifs, alors il existe un isomorphisme φ : L →

^'

L

⁰

prolongeant i.

La preuve est une r´ ecurrence sur le degr´ e [L; K ] (ou de P directement).

Si L = K, cela veut dire que P est scind´ e sur K, donc i(P ) scind´ e sur K

⁰

, donc K

⁰

est un corps de d´ ecomposition de i(P ) sur K

⁰

, et φ = i...

Si [L; K] > 1, soit α ∈ L une racine de P , prise hors de K (c’est possible).

Soit Q le polynˆ ome minimal de α sur K . Enfin soit M = K(α) un corps de rupture de Q sur K .

En face, on a i(Q) qui divise i(P ), et si l’on choisit α

⁰

racine de i(Q) dans L

⁰

, alors K

⁰

(α

⁰

) est un corps de rupture (de i(Q) sur K

⁰

).

Par unicit´ e des corps de rupture : il exite ψ : M →

^'

M

⁰

envoyant α sur α

⁰

et induisant i.

Dans M [X] : P (X) = S(X) × (X − α).

Dans M

⁰

[X] : i(P )(X) = ψ(P )(X) = ψ(S)(X) × (X − α

⁰

) (premiere ´ egalit´ e : car P est a coefficients dans K).

Soit alors L\M un corps de d´ ecomposition de S sur M . Et soit L

⁰

\M

⁰

un corps de d´ ecomposition de ψ(S) sur M

⁰

. Utilisons l’hypothese de r´ ecurrence du Lemme : ∃φ : L → →

^'

L

⁰

prolongeant ψ.

Il prolonge donc i, ce qu’on voulait.

Exemple 1.1.7. Sur K = Q , si P (X) = X

³

− 2, on a D

_K

(P ) = Q (2

^1/3

, j ).

Si P (X) = X

⁴

− 2, D

_K

(P ) = Q (2

^1/4

, i).

D´ efinition 1.1.10. Une cloture alg´ ebrique d’un corps K est une extension alg´ ebriquement close, et alg´ ebrique.

(Plus ` a ce sujet plus tard.)

1.2 Corps finis

1.2.1 Caracteristique et cardinal

D´ efinition 1.2.1. Soit K un coprs. Le sous corps premier de K est l’intersection de tous les sous corps.

C’est le “sous-corps engendr´ e par 1”

Observation 1.2.1. Soit φ

_nat

: Z → K morphisme de groupe (d’anneau !) envoyant 1 sur 1.

Son noyau est un ideal de Z , premier car K est integre. S’il est trivial, φ est injective, et le corps de fractions de Z se plonge dans K, et est donc le sous corps premier. S’il n’est pas trivial, il est de la forme (p) avec p premier et =( Z ) ' Z /p Z qui est un coprs, et c’est donc le sous corps premier de K.

D´ efinition 1.2.2. La caracteristique de K est 0 si son sous-corps premier est ' Q ; et p si son sous-corps premier est ' Z /p Z .

D’apr` es l’observation, il n’y a pas d’autre cas possible.

Proposition 1.2.1. Soit K de caracteristique p > 0. L’application : F : K → K d´ efinie par F (x) = x

^p

est un endomorphisme de corps, qu’on appelle l’endomorphisme de “Frobenius”.

Si K est fini c’est un automorphisme induisant l’identit´ e sur le sous-corps premier.

D´ emonstration. Pour la premi` ere assertion, il suffit de montrer que c’est un morphisme de corps (l’injectivit´ e est alors automatique).

Ecrivons : F (xy) = (xy)

^p

= x

^p

y

^p

par commutativit´ e.

F (x + y) = (x + y)

^p

= P

C

_p^k

x

^k

y

^p−k

, mais p|C

_p^k

si k 6= 0, p.

F (1/x) = (1/x)

^p

= 1/x

^p

= 1/F (x) (en fait verification inutile car F (1) = 1).

Si K est fini et la surjectivit´ e se suit de l’injectivit´ e.

Enfin si K = Z /p Z , et x 6= 0, son ordre (multiplicatif) divise | Z /p Z

^∗

| = p − 1. Ainsi x

^p

= x

^p−1

× x = x.

1.2.2 Existence et unicit´ e des corps finis

Observation vectorielle : si F est fini, | F | = (car( F ))

ⁿ

, car c’est un ( Z /car( F ) Z )-espace vectoriel.

Th´ eor` eme 1.2.1. Soit un nombre premier p et un entier n ≥ 1. Notons q = p

ⁿ

.

Il existe un corps de cardinal q, unique ` a isomorphisme (non-unique) pr` es. Il est de carac- teristique p. On le note F

q

.

D´ emonstration. Soit P (X) = X

^q

− X dans Z /p Z [X]. Consid´ erons D

_Z/pZ

(P ).

Affirmation : L’ensemble des racines de P forme un corps. (observation : si c’est vrai, par minimalit´ e du corps de d´ ecomposition, cela veut dire que ce corps est K).

Preuve de l’affirmation.

0 est racine ; 1 est racine.

Si x et y sont des racines, P (xy) = x

^q

y

^q

− xy = xy − xy = 0, donc xy aussi ; P (x + y) = (x + y)

^q

− x − y = F

ⁿ

(x + y) − x − y = F

ⁿ

(x) − x − F

ⁿ

(y) − y = x

^q

− x + y

^q

− y = 0. Enfin, P (1/x) = 1

x

^q

− 1

x = x − x

^q

x

^q+1

= 0.

Nous savons donc que D

_Z/pZ

(P ) est precisement l’ensemble des racines de P dans D

_Z/pZ

(P ).

2` eme affirmation : P n’a pas de racine double dans D

_Z/pZ

(P ).

En effet, s’il avait une racine double, sa d´ eriv´ ee P

⁰

partagerait cette racine, or P

⁰

= qX

^q−1

− 1 = −1 dans Z /p Z [X].

Consequence des deux affirmations : D

_Z/pZ

(P ) contient precisement deg(P ) elements, ce qu’on voulait pour l’existence.

Unicit´ e. Si K poss` ede q elements, K

^∗

est d’ordre (multiplicatif) q − 1 dont tout element

non nul x de K verifie x

^q−1

= 1, et donc est racine de P . Comme 0 aussi est racine de P , le

polynˆ ome P est scind´ e dans K (il y trouve q racines) et K est minimal pour cela, c’est donc D

_Z/pZ

(P ). On applique l’unicit´ e des corps de d´ ecomposition.

1.2.3 F

^∗q

Th´ eor` eme 1.2.2. F

^∗q

est un groupe cyclique.

1.2.4 Carr´ es

Th´ eor` eme 1.2.3. Si p est un nombre premier impair, et q = p

ⁿ

, alors −1 est un carr´ e de F

q

si et seulement si q ≡ 1 [mod 4].

cf. Partiel 2013.

1.3 Cloture alg´ ebrique

Rappel : ¯ K\K est une cloture alg´ ebrique de K si c’est une extension alg´ ebrique, et si ¯ K est alg´ ebriquement clos.

Observation 1.3.1. L est alg. clos si et seulement si tout polynˆ ome dans L[X] de degr´ e ≥ 1 a une racine dans L.

Dans cette partie, on admet l’axiome du choix.

Th´ eor` eme 1.3.1. Si K est un corps, il existe une cloture alg´ ebrique de K .

Deux cloture alg´ ebriques de K sont isomorphes par un isomorphisme induisant l’identit´ e sur K.

Lemme 1.3.1. (Zorn) Soit un ensemble non vide, inductivement ordonn´ e (toute partie totale- ment ordonn´ ee non-vide admet un majorant).

Alors il existe un ´ el´ ement maximal.

Preuve : cf. S. Lang, Algebra, Appendice 2 (Set theory). C’est equivalent ` a l’axiome du

choix.

1.3.1 Existence

Lemme 1.3.2. Il existe une extension de K dans laquelle tout polynˆ ome de K[X] de degr´ e ≥ 1 poss` ede une racine.

D´ emonstration. Soit S = {X

_P

, P ∈ K[X] \ K}. (o` u K est vu comme les polynˆ omes de degr´ e 0 dans K[X]).

Soit K [S] l’anneau des polynˆ omes ` a indetermin´ ees (commutatives) dans S.

Lemme 1.3.3. I = ({P (X

_P

), P ∈ K[X] \ K}) 6= K[S].

Sinon : il existe Q

₁

, . . . Q

_n

, P

₁

, . . . P

_n

∈ K[S] tels que

n

X

i=1

Q

_i

P

_i

(X

_Pi

) = 1 (∗)

Notons X

_Pi

= X

_i

pour plus de commodit´ e. Completons en X

_n+1

, . . . , X

_N

pour obtenir la liste (finie) de toutes les indetermin´ ees apparaissant dans les Q

_i

.

Prenons F un corps de rupture pour tous les P

i

, i = 1 . . . n.

Nous avons, par telescopie, [F ; K] < ∞.

Soit α

_i

une racine de P

_i

dans F , si i 6= n et α

_i

= 0 si i > n.

Observons (∗) speciali´ e en X

_i

7→ α

_i

.

X Q

_i

(X

₁

, . . . , X

_N

) × P

_i

(X

_i

) = 1 (∗) X Q

_i

(α

₁

, . . . , α

_N

) × P

_i

(α

_i

) = 1

0 = 1, une contradiction. Nous avons donc le sous-lemme.

Par Zorn, il existe un ideal maximal de K[S] contenant I. Notons le m. Maintenant K [S]/m est un corps, et il convient manifestement.

Lemme 1.3.4. Il existe une extension M \K telle que tout polynˆ ome dans M [X] (de degr´ e

≥ 1) ait une racine dans M.

D´ emonstration. Soit L

₁

le corps donn´ e par le Lemme 1.3.2 pour K. Et soit L

_i+1

le corps donn´ e par le Lemme 1.3.2 pour L

_i

. On a

K = L

₀

⊂ L

₁

⊂ L

₂

· · · ⊂ L

_n

⊂ . . .

et prenons M l’union croissante des L

_i

. C’est un corps (car les operations se passent dans l’un des L

_i

). Tout polynˆ omes ` a coefficients dans M a ses coefficients dans un certain L

_i

, donc poss` ede une racine dans L

_i+1

donc dans M .

Nous pouvons maintenant prouver l’existence d’une cloture alg´ ebrique. Soit M\K donn´ ee par le lemme pr´ ec´ edent, et soit ¯ K l’ensemble des ´ el´ ements de M alg´ ebriques sur K.

C’est un corps (on l’a d´ ej‘a vu).

Par ailleurs, pour tout polynˆ ome P dans ¯ K[X], si L est le corps engendr´ e par K et ses coefficients, [L; K] < ∞. Prenons une racine de P dans M . Son degr´ e sur L est fini, donc son degr´ e sur K aussi, et donc elle est alg´ ebrique sur K, et donc dans ¯ K.

1.3.2 Unicit´ e

Lemme 1.3.5. Si L\K et L = K(α) avec α alg´ ebrique sur K, et si σ : K → M avec M algebriquement clos, alors le nombre d’extensions possibles de σ ` a L est ´ egal au nombre de racines distinctes de P

_α

dans M .

(consequence de l’unicit´ e des corps de ruptures. )

Lemme 1.3.6. Si L\K est alg´ ebrique, et i : K → M avec M algebriquement clos, alors i s’etend ` a L.

Si M algebrique sur i(K ), et L alg. clos, alors ˜ i : L → M est un isomorphisme.

Soit {(F, σ), L\F \K, σ : F → M, σ|

_K

= i}.

C’est non vide, inductivement ordonn´ e. Par Zorn, il existe un element (F

₀

, σ

₀

) maximal.

Si F

0

6= L, soit α ∈ L\ F

0

. Il est algebrique sur F

0

. Comme M algebriquement clos, le lemme precedent dit que σ s’etend ` a F

₀

(α), contradiction.

Donc F

₀

= L.

Supposons M algebrique sur i(K). C’est aussi une extension alg´ ebrique de σ(L). Mais si L est alg´ ebriquement clos, M = σ(L) et ˜: L → M est surjective (donc un isomorphisme).

1.3.3 Compl´ ements, applications aux extensions normales.

Th´ eor` eme 1.3.2. Soit L\K une extension finie (ou encore alg´ ebrique avec K d´ enombrable).

Soit K ¯ \L une cloture alg´ ebrique.

LASSE :

1. Pour tout φ : L → K ¯ induisant Id

_K

, on a φ(L) = L.

2. L est un corps de d´ ecomposition sur K d’une famille de polynˆ omes de K[X].

3. Tout P ∈ K[X] ayant une racine dans L y est scind´ e.

Dans ce cas, on dit que l’extension L\K est normale.

D´ emonstration. (1 = ⇒ 3). Soit α ∈ L, et P

_α

son polynˆ ome minimal.

Soit β ∈ K ¯ une autre racine de P

_α

. Nous voulons montrer que β ∈ L.

On utilise l’unicit´ e des corps de rupture : ∃σ : K(α) → K(β) induisant l’identit´ e sur K . Il nous suffit de savoir ´ etendre σ ` a L, car alors le point (1) garantie que l’image de L est dans L, et donc β ∈ L.

Soit alors (x

i

, i = 0, 1, 2 . . . ) engendrant L sur K(α) (famille finie, ou d´ enombrable), et P

i

le polynome minimal de x

_i

sur K (α, x

₁

, ..., x

_i−1

). Notons α = x

₀

, pour unifier.

y

₀

= β.

On d´ efini inductivement les y

_i

comme suit.

y

₁

est une racine (arbitraire) de σ(P

₁

) dans ¯ K.

On ´ etend σ ` a K(x

₀

, x

₁

) en envoyant x

₁

sur y

₁

. (toujours possible par unicit´ e des corps de rupture).

Si on a d´ ej` a d´ efini y

0

, . . . , y

i

, et σ sur K(x

0

, . . . , x

i

), on d´ efini y

i+1

comme ´ etant une racine (arbitraire) de σ(P

_i

) dans ¯ K, et on ´ etend σ ` a K (x

₀

, . . . , x

_i+1

) en envoyant x

_i+1

sur y

_i+1

.

Inductivement on a donc d´ efini σ sur tout K(x

₀

, x

₁

, . . . ) = L, ` a valeurs dans ¯ K , ce qu’il nous fallait.

(3 = ⇒ 2). L est le corps de d´ ecomposition de la famille des P

_α

, α ∈ L.

(2 = ⇒ 1) Disons que L est le corps de d´ ecoposition d’une famille (P

_i

, i = 0, 1, . . . ) dans K[X].

Soit S l’ensemble des racines de tous ces polynomes : S = (α ∈ K, ¯ ∃i, P

_i

(α) = 0).

On a par hypoth` ese L = K(S).

Soit σ : L → K ¯ induisant l’identit´ e sur K, et soit L

⁰

⊂ K ¯ son image. On doit montrer que L = L

⁰

. Montrons d´ ej` a que σ(S) ⊂ L. C’est facile : si α ∈ S, σ(α) est une racine de σ(P

i

) = P

i

(car σ|

_K

= Id

_K

).

On conclut par cette observation g´ en´ erale.

Lemme 1.3.7. Soit L\K alg´ ebrique. Si σ : L → L induit l’identit´ e sur K, c’est un automor- phisme de L.

C’est un endomorphisme. Si x / ∈ σ(L), soit P

_x

son polynˆ ome minimal sur K. Disons qu’il a k racines dans L. On a σ(P

_x

) a donc k racines dans σ(L). Mais c’est P

_x

et donc P

_x

a k racines dans σ(L). Comme x est l’une d’elles, x ∈ σ(L).

D´ efinition 1.3.1. Dans K\K, ¯ α est dit s´ eparable sur K si son polynˆ ome minimal sur K n’a pas de racine multiple dans K ¯ .

Une extension est dite s´ eparable si tous ses elements sont s´ eparables.

Exemple 1.3.1. En caracteristique 0, tout ´ el´ ement alg´ ebrique est s´ eparable. En effet, P

_α⁰

est alors non nul, et si P

_α⁰

∧ P

_α

6= 1, on peut calculer le pgcd sur K, et faire la division de P

_α

par ce pgcd, ce qui contredit l’irreductibilit´ e de P

_α

.

Proposition 1.3.1. Si L\K est s´ eparable de degr´ e n, il existe exactement n morphismes (dif- ferents) σ

₁

, . . . , σ

_n

: L → K ¯ induisant l’identit´ e sur K.

Si en plus l’extension est normale, il existe exactement n automorphismes de L induisant l’identit´ e sur K. Ces automorphismes forment un groupe, qu’on appelle le groupe de Galois de L\K.

D´ emonstration. Ecrivons L = K (x

1

, . . . x

m

), et P

i

le polynˆ ome minimal de x

i

sur K(x

1

, . . . x

i−1

) = L

_i−1

.

On a [L; K] = Q

deg(P

_i

).

Par ailleurs, le lemme 1.3.5 (premier lemme de l’unicit´ e des clotures alg´ ebriques) donne exactement deg(P

_i

) prolongement possible de tout morphisme L

i−1

→ K ¯ (induisant Id

_K

) ` a L

_i

. Cela donne ce que l’on veut.

La seconde assertion d´ ecoule de la d´ efinition d’extension normale (premier point du theo- reme).

Th´ eor` eme 1.3.3. (Element primitif )

Si L\K finie s´ eparable, il existe α ∈ L tel que L = K(α).

D´ emonstration. Si L est fini, c’est parce que L∗ est cyclique.

Supposons L infini. Soit ¯ K une cloture alg´ ebrique de K.

Soit σ

_i

: L → K, i ¯ = 1, . . . , n = [L; K] la collection de plongement dans ¯ K.

Notons E

_i,j

= {x ∈ L, σ

_i

(x) = σ

_j

(x)}.

Pour i 6= j, ce sont des s-e.v. stricts de L (sur K), et il n’y en a qu’un nombre fini.

Lemme 1.3.8. Si K un corps infini, et L un K-epace vectoriel (de dimension finie), et V

_i

une famille finie (i = 1, . . . , m) de sous-espaces stricts de L, alors l’union des V

_i

n’est pas L tout entier.

D´ emonstration. Disons que chaque V

_i

est un hyperplan (si ce n’est pas le cas, en compl´ etant une base de V

_i

, on le plonge dans un hyperplan de L, et il suffit de montrer que l’union des hyperplans n’est pas L tout entier). Soit α

_i

une forme lin´ eaire de noyau V

_i

. Prenons x

₁

∈ / V

₁

. Supposons par recurrence que x

_k

est construit de sorte que x

_k

n’est dans aucun V

_i

, i ≤ k. Si α

_k+1

(x

_k

) 6= 0, alors on pose x

_k+1

= x

_k

et x

_k+1

n’est dans aucun V

_i

, i ≤ k + 1. Si au contraire α

_k+1

(x

_k

) = 0, prenons v / ∈ V

_k+1

. Notons X = {α

_i

(x

_k

), i ≤ k (notons que 0 n’y est pas). C’est un sous ensemble fini de K. Notons α

_i,v

: K → K d´ efinie par α

_i,v

(λ) = α

_i

(λv). Ce sont des applications lin´ eaires qui sont soit nulles soit injectives. Ainsi α

⁻¹_i,v

(X) est fini, pour chaque i.

Aussi, il existe λ ∈ K

^∗

hors de chaque α

⁻¹_i,v

(X) (pour i ≤ k). Pour ce λ, et pour chaque i ≤ k, α

_i

(λv) ∈ / X et donc α

_i

(x

_k

− λv) 6= 0. Par ailleurs, α

_k+1

(x

_k

− λv) = λα

_k+1

(v) 6= 0. On peut poser x

_k+1

= x

_k

− λv, il verifie l’hypoth` ese de r´ ecurrence. Quand k = n, on a fini.

Gr` ace au lemme, on peut choisir : α / ∈ S

i6=j

E

_i,j

.

Soit P

_α

le polynˆ ome minimal de α sur K. Chaque σ

_i

(α) annule σ

_i

(P

_α

) = P

_α

. Cela force le degr´ e de P

_α

` a ˆ etre ≥ n = [L; K].

Ainsi [K(α); K] ≥ n = [L; K], mais comme K(α) ⊂ L, on a ´ egalit´ e, apr ´ egalit´ e des dimen- sions.

1.4 Cyclotomie

1.4.1 Racines de l’unit´ e, racines primitives On consid`re P (X) = X

ⁿ

− 1 dans K[X].

Observation 1.4.1. Si la caracteristique car(K ) ne divise pas n, P n’a que des racines simples dans D

_K

(P ).

En revanche si car(K) divise n, notons n = mp avec p la caracteristique p = car(K ). Dans ce cas, par le Frobenius sur le corps K (X), on a P (X) = (X

^m

− 1)

^p

. Ainsi, P n’a que des racines multiples.

Dans la suite, on suppose p ∧ n = 1.

Notation : µ

_n

(K) = {ζ ∈ K, P (ζ) = 0}.

Observation 1.4.2. sous nos hypoth` eses, |µ

_n

(D

_K

(P )| = n.

On notera K

_n

= D

_K

(P ), car on en aura souvent besoin.

Observation 1.4.3. µ

n

(K) < K∗ (sous-groupe). Ainsi, il est cyclique, et isomorphe ` a un certain Z /d Z , pour d|n.

D´ efinition 1.4.1. Une racine primitive n-i` eme de l’unit´ e dans K

_n

est un g´ en´ erateur du groupe µ

_n

(K

_n

).

Observation 1.4.4. ζ ∈ K

_n

est une racine primitive n-i` eme de l’unit´ e dans K si et seulement si (ζ

ⁿ

= 1 et ∀d < n, d > 0, d|n, ζ

^d

6= 1.

Observation 1.4.5. K

n

poss` de ϕ(n) racine primitives n-i` emes distinctes. On note µ

n

(K)

^∗

leur ensemble.

D´ efinition 1.4.2. Φ

_n,K

(X) = Y

ζ∈µ_n(K)^∗

(X − ζ) ∈ K

_n

[X] est le n-i` eme polynˆ ome cyclotomique

“de” K. Il est de degr´ e ϕ(n).

On n’ose pas dire “sur” K.

Observation 1.4.6. (X

ⁿ

− 1) = Y

d|n,0<d<n

Φ

_d,K

simplement car µ

_n

(K) = F

µ

^∗_d

(K). Mais le cˆ ot´ e gauche ne d´ epend pas de K... Observer la relation produite au niveau des degr´ es des polynˆ omes.

Exemple 1.4.1. Disons sur Q . – Φ

1

(X) = X − 1.

– Φ

₂

v´ erifie Φ

₁

(X)Φ

₂

(X) = X

²

− 1, donc Φ

₂

(X) = X + 1.

– Φ

₃

(X) v´ erifie Φ

₁

(X)Φ

₃

(X) = X

³

− 1, donc Φ

₃

(X) = X

²

+ X + 1.

– Φ

₄

(X) = X

⁴

− 1

Φ

₁

(X)Φ

₂

(X) = X

⁴

− 1

X

²

− 1 = X

²

+ 1 – Φ

₅

(X) = X

⁵

− 1

Φ

₁

(X) = X

⁴

+ X

³

+ X

²

+ X + 1 – Φ

₆

(X) = X

⁶

− 1

Φ

1

(X)Φ

2

(X)Φ

3

(X) = X

²

− X + 1 – Φ

₇

(X) = X

⁶

+ X

⁵

+ X

⁴

+ X

³

+ X

²

+ X + 1 – Φ

₈

(X) = X

⁴

+ 1

– ad libidum. . .

Proposition 1.4.1. – Φ

_n,Q

est ` a coefficients entiers, unitaire.

– ∀K soit σ : Z → K le morphisme d’anneau, on a Φ

n,K

= σΦ

n,Q

. – En particulier, Φ

_n,Fp

= Φ

_n,Q

.

Observation 1.4.7. Ainsi, on oubliera souvent la mention du corps de base.

D´ emonstration. Comme illustr´ e dans l’exemple pr´ ec´ edent, Φ

_n,Q

s’obtient par division Eucli- dienne de X

ⁿ

− 1 par un produit de Φ

_n,Q

. On obtient donc le point 1 par r´ ecurrence sur n. (la division Euclidienne dans Z [X] peut se faire si le d´ enominateur est unitaire).

Le second point est aussi une r´ ecurrence. Le cas n = 1 est trivial. Ensuite, comme σ envoie X

ⁿ

− 1 sur X

ⁿ

− 1, on obtient que

X

ⁿ

− 1 = σ(Φ

_n,Q

) × Y

σ(Φ

_d,Q

) = σ(Φ

_n,Q

) × Y

Φ

_d,K

.

Or on a aussi X

ⁿ

− 1 = Φ

_n,K

× Q

Φ

_d,K

. Comme l’anneau des polynˆ omes est integre, BA = CA = ⇒ B = C, et on a ce qu’on veut.

1.4.2 Irr´ eductibilit´ e

Th´ eor` eme 1.4.1. Φ

_n

est irr´ eductible sur Z [X].

Cons´ equence imm´ ediate :

Corollaire 1.4.1. Si ζ est une racine primitive n-i` eme de l’unit´ e dans K de caracteristique 0, alors Φ

_n

est son polynˆ ome minimal sur Q et [ Q (ζ), Q ] = ϕ(n).

D´ emonstration. Soit K = D

_Q

(Φ

_n

), et ζ une racine primitive n-i` eme de l’unit´ e dans K.

Pour tout premier p ne divisant pas n, ζ

^p

est une autre racine primitive n-i` eme de l’unit´ e dans K.

On choisit un tel p. Soit F le polynˆ ome minimal de ζ sur Q et G celui de ζ

^p

. Comme F et G sont des facteurs irreductibles de Φ

_n

, ils sont dans Z [X].

Observation 1.4.8. Ici on a utilis´ e le lemme de Gauss : les facteurs irreductibles de Φ

n

dans Z [X] sont unitaires, donc (lemme de Gauss) irreductibles dans Q [X]. Ainsi, la decopositions en facturs irreductibles dans Z [X] donne celle dans Q [X].

Lemme 1.4.1. F = G.

Par l’absurde : On va montrer que si ce n’est pas le cas, ¯ Φ

_n

a une racine double. On a F (X)|G(X

^p

) car ce dernier annule ζ et est unitaire irr´ eductible. Disons que G(X

^p

) = F (X)H(X) dans Z [X].

Dans Z /p Z , on a ¯ G(X

^p

) = ¯ F (X) ¯ H(X) = G(X)

^p

(par le Frobenius).

Ainsi tout facteur irr´ eductible (disons Ψ) de ¯ F doit diviser ¯ G.

Mais si F 6= G, on a aussi F G|Φ

_n

, donc ¯ F G| ¯ Φ ¯

_n

et donc Ψ

²

| Φ ¯

_n

. Cela provoque une racine double pour Φ

_n,Fp

dans son corps de d´ ecomposition, et cela contredit une remarque pr´ ec´ edente (nous avons choisi p ne divisant pas n !). Le Lemme est montr´ e.

Finalement, toute racine primitive n-i` eme de l’unit´ e s’´ ecrit

ζ

⁰

= ζ

^{pα11pα22...pαkk}

donc en utilisant plusieurs fois le lemme precedent, on obtient qu’elles ont toutes le mˆ eme polynˆ ome minimal sur Q , et c’est F .

Ainsi deg(F ) ≥ |µ

^∗_n

(K

_n

) = deg(Φ

_n

). Comme par ailleurs F |Φ

_n

et que les deux sont unitaires, on a F = Φ

_n

.

Corollaire 1.4.2. (cf partiel 2013).

1.5 Extensions d’anneaux

Soit A un anneau commutatif, unif` ere (tous le seront !... ?)

1.5.1 D´ efinitions

D´ efinition 1.5.1. (B, ρ) est une A-alg` bre si B est un anneau (pas forcement commutatif ) et ρ : A → B un morphisme d’anneau tel que ρ(a)b = bρ(a) pour tout a ∈ A et b ∈ B.

On appelle ρ le morphisme structural de l’anlg` ebre B .

Observation 1.5.1. B est alors muni d’une structure de A-module A × B → B donn´ ee par le produit ρ(a)b.

Mais il a une loi supplementaire, B × B → B (la multiplication dans B), qui est A-lin´ eaire.

Observation 1.5.2. L’observation ci-dessus est parfois prise comme d´ efinition. Dans ce cas, B n’est pas forcement associative ni unifere...

Exemple 1.5.1. A[X

₁

, . . . , X

_n

].

M

_n

(A).

Un morphisme de A-alg` bre est un morphisme d’anneau commutant aux morphismes struc- turaux.

Une sous-alg` bre est l’image d’un morphisme injectif.

Une extension de l’anneau A est une A-alg` ebre avec morphisme structural ρ injectif.

Observation 1.5.3. Une extension de corps est bien une extension d’anneau, d’un corps, qui

se trouve ˆ etre un corps.

1.5.2 Elements entiers

Comparez aux r´ esultats sur les ´ el´ ements alg´ ebriques.

Th´ eor` eme 1.5.1. Soit A un anneau commutatif, et (B, Id

A

) une extension de A. Soit α ∈ B.

LASSE.

– ∃P ∈ A[X] unitaire avec P (α) = 0.

– A[α] est un A-module de type fini.

– Il existe un sous-A[α]-module de B contenant 1 (donc A[α]) et qui est de type fini sur A.

On dit alors que α est entier sur A.

D´ emonstration. 1 = ⇒ 2. Par division Euclidienne dans A[X] par un unitaire (en l’occurence P ), la famille 1, α, . . . , α

^deg(P)−1

engendre A[α] comme A-module.

2 = ⇒ 3 trivial.

3 = ⇒ 1. Soit M ce module, et w

₁

, . . . w

_n

des g´ en´ erateurs sur A. Ecrivons

αw

_i

=

n

X

j=1

a

_i,j

w

_j

avec a

_i,j

∈ A (possible car αw

_i

∈ M ).

Observons la matrice (a

_i,j

) ainsi vendue.

On a

((a

_i,j

) − αI

_n

) ×











 w

₁

.. . w

_n













=











 0

.. . 0













(la matrice de gauche, disons N , etant dans M

_n

(A[α])).

Soit ˆ N =

^t

Com(N ) de sorte que ˆ N N = det(N )I

n

.

Comme ˆ N N ×











 w

1

.. . w

_n













=











 0

.. . 0











 , on a

∀i, det(N)w

_i

= 0

Comme 1 ∈ M par hypoth` ese, cela donne det N = 0.

Or on observe que det N est un polynˆ ome unitaire en α ` a coefficients dans A. Cela prouve ce qu’on voulait.

D´ efinition 1.5.2. Une extension est dite enti` ere si tous ses ´ el´ ements sont entiers.

Proposition 1.5.1. Une extension de type fini comme A-alg` egre, enti` ere, est toujours de type fini comme A-module.

D´ emonstration. Ecrivons B = A[α

₁

, . . . , α

_n

] avec α

_i

entier sur A.

Soit k ≤ n, sur lequel on proc` ede par r´ ecurrence. D’apres le th` eor` eme, A[α

₁

, . . . , α

_k

] est de type fini comme A[α

₁

, . . . , α

k−1

]-module, ainsi en combinant (t´ el´ escopiquement) les familles g´ en´ eratrices, par r´ ecurrence, il est de type fini comme A-module.

Proposition 1.5.2. Si C est une extension enti` ere de B (suppos´ e commutatif ) et B est une extension enti` ere de A, alors C est une extension enti` ere de A.

D´ emonstration. Si α ∈ C, soit b

₀

, . . . b

n−1

∈ B tels que (α

ⁿ

+ b

n−1

α

ⁿ⁻¹

+ · · · + b

₀

) = 0.

A[b

₀

, . . . , b

n−1

] est de type fini comme A-module par la proposition pr´ ec´ edente (1.5.1).

De mˆ eme A[b

₀

, . . . , b

n−1

, α] est de type fini comme A[b

₀

, . . . , b

n−1

]-module (Proposition pr´ ec´ edente (1.5.1) aussi).

Par telescopie (et commutativit´ e), A[b

0

, . . . , b

n−1

, α] est de type fini comme A module.

Le th´ eor` eme 1.5.1 (la partie (3 = ⇒ 1)) implique que α est entier sur A.

1.5.3 Cloture integrale

Proposition 1.5.3. Soit C\A une extension d’anneau, et B = {α ∈ C, α entier sur A}. Alors B est un anneau.

On l’appelle la cloture integrale de A dans C.

D´ emonstration. Soient α, β ∈ B (c.` a.d. entiers sur A), et M = A[α], N = A[β].

M et N sont de type fini comme A-modules.

A([α])[β] aussi (mˆ emes raisons t´ el´ escopiques que pr´ ec´ edemment).

Cependant, α + β et αβ sont dedans. Le th´ eor` eme 1.5.1 (la partie (3 = ⇒ 1)) s’applique encore.

Exemple 1.5.2. A = Z et K extension alg´ ebrique de Q (on dit que K est un “corps de nombres”). La cloture integrale de Z dans K est l’anneau des entiers alg´ ebriques de K (c’est une d´ efinition). On la note O

K

. On verra quelques exemples explicites dans le cas d’une extension quadratique.

D´ efinition 1.5.3. A (integre) est integralement clos si c’est lui-mˆ eme l’anneau des entiers de son corps de fractions.

Proposition 1.5.4. Si A est factoriel, il est integralement clos.

D´ emonstration. Soit

^a_b

un entier sur A, avec b 6= 0, non-inversible.

Soit p premier divisant b et pas a.

Si on a

a b

n

+ a

n−1

a b

n−1

+ · · · + a

₀

= 0 on obtient

a

ⁿ

+ ba

n−1

a

ⁿ⁻¹

+ · · · + b

ⁿ

a

₀

= 0.

Or p|b donc p|a

ⁿ

, donc p|a contradiction.

1.5.4 Exemples quadratiques

Dans cette partie A = Z , B = K = Q (ω) avec ω

²

∈ Z . Exemple 1.5.3. K = Q (i) ou encore K = Q ( √

2) ...

Observation 1.5.4. Nous avons une involution de K : ¯ : K → K qui fixe Q et envoie ω sur

−ω. C’est un automorphisme de corps, et c’est le seul !

Th´ eor` eme 1.5.2. Supposons d ∈ Z sans facteur carr´ e, diff´ erent de 1.

Soit ω ∈ Q ¯ tel que ω

²

= d.