Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires II Alg` ebre lin´ eaire
Op´ erateurs lin´ eaires
Nous allons commencer par d´ efinir cette notion g´ en´ erale (il s’agit d’´ etudier les applications entre espaces vectoriels qui ”respectent” cette structure d’espace vectoriel).
1 Applications lin´ eaires.
On se donne deux espaces vectoriels (r´ eels) E = R
met F = R
n. Rappelons que l’on appelle application f de E dans F le fait d’associer ` a tout vecteur u de E un vecteur v de F , not´ e en g´ en´ eral f (u) .
D´ efinition 1.1. On dira que l’application f de E dans F est lin´ eaire si l’image par f de toute combi- naison lin´ eaire est cette combinaison lin´ eaire des images :
∀(λ
1, λ
2) ∈ R
2, ∀(u
1, u
2) ∈ E
2f (λ
1u
1+ λ
2u
2) = λ
1f (u
1) + λ
2f (u
2) .
On notera L(E, F ) = L( R
n, R
m) l’ensemble des applications lin´ eaires de E dans F . On parle ´ egalement d’op´ erateur lin´ eaire ou de morphisme.
Exemple 1.2. L’application nulle (qui ` a tout vecteur u de R
massocie le vecteur nul de R
n) est
´
evidemment une application lin´ eaire. L’application qui, au vecteur u = (x, y) de R
2associe le vec- teur f (u) = (x + y, x − y) de R
2est une application lin´ eaire de mˆ eme que celle qui associe ` a ce vecteur de R
2le vecteur g(u) = (x + y, x, x − y, −y) de R
4.
Remarque 1.3. On a imm´ ediatement les propri´ et´ es suivantes :
— Pour toute application lin´ eaire f de E dans F f (0) = 0 ; En effet on a
∀u ∈ E f (0
E) = f (0u) = 0f (u) = 0
F.
— Pour toute application lin´ eaire f de E dans F
∀u ∈ E , f(−u) = −f (u) ; En effet
∀(u) ∈ E 0
F= f (0
E) = f (u − u) = f (u + (−1)u) = f(u) + f (−u) .
— Pour toute application lin´ eaire f
∀r ∈ N
∗, ∀(λ
1, . . . , λ
r) ∈ E
r, ∀(u
1, . . . , u
r) ∈ E
r, f
r
X
i=1
λ
iu
i!
=
r
X
i=1
λ
if (u
i) ;
il suffit en effet de raisonner par r´ ecurrence sur le nombre r de vecteurs de cette combinaison lin´ eaire.
D´ efinition 1.4. Soit E = R
mun espace vectoriel r´ eel. On appelle forme lin´ eaire sur E toute application lin´ eaire de E dans R . On note L(E; R ) l’ensemble des formes lin´ eaires.
Exemple 1.5. L’application qui, ` a u = (x
1, . . . , x
n) de R
n, associe l(u) = P
mj=1
x
jest une forme lin´ eaire. Mais on pourrait affecter de coefficients arbitraires chaque x
jet associer ` a u l’expression P
mj=1
α
jx
j.
D´ efinition 1.6. Soit E un espace vectoriel r´ eel. Une application lin´ eaire de E dans E est appel´ ee aussi endomorphisme de E . On note alors L(E) ou End(E) l’ensemble correspondant.
Exemple 1.7. L’application Identit´ e qui associe ` a tout vecteur u de R
mlui-mˆ eme est ´ evidemment lin´ eaire.
Exemple 1.8. Donnons des exemples d’application lin´ eaires dans l’espace S des suites num´ eriques r´ eelles. L’application f qui, ` a toute suite u , associe la suite v = f (u) d´ efinie par
∀n ∈ N v
n= u
n+ u
n+1est une application lin´ eaire. De mˆ eme l’application g qui, ` a toute suite u , associe la suite v = g(u) d´ efinie par
∀n ∈ N v
n= u
n+2est une application lin´ eaire (op´ erateur de troncation). Il est donc donn´ e par u = (u
0, . . . , u
n, . . .) 7→ (u
2, . . . , u
n+2, . . .)
et consiste donc ` a ”oublier” les deux premiers termes de la suite initiale. On peut enfin remarquer que les suites de Fibonacci sont les suites qui v´ erifient f (u) = g(u) avec ces notations.
Nous verrons bientˆ ot les ´ el´ ements permettant de donner les exemples suivants :
Exemple 1.9. Soit E = R [X] l’espace des fonctions polynomiales r´ eelles. Soit P
0un ´ el´ ement de E . Alors l’application qui, ` a toute fonction polynomiale x 7→ P (x) , associe la fonction polynomiale x 7→
P
0(x)P (x) est une application lin´ eaire.
Exemple 1.10. Soit E = R [X] l’espace des fonctions polynomiales r´ eelles. Soient P
0et Q
0deux
´
el´ ements de E . Alors l’application qui, ` a toute fonction polynomiale x 7→ P(x) , associe la fonction polynomiale x 7→ P
0(x)P (x) − Q
0(x)P
0(x) est une application lin´ eaire.
Exemple 1.11. Soit E l’espace des fonctions de classe C
∞sur R (c’est ` a dire les fonctions ind´ efiniment d´ erivables sur R ). Alors l’application f 7→ f ” − 2f
0+ f est une application lin´ eaire de E dans E . Proposition 1.12. Soit (e
1, . . . , e
m) une base d’un espace vectoriel r´ eel E (par exemple la base canonique de R
n). Soit F un espace vectoriel r´ eel quelconque. Soient (f
1, . . . , f
m) des vecteurs de F quelconques. il existe une et une seule application lin´ eaire de E dans F telle que ∀j ∈ {1, . . . , m} f (e
j) = f
j.
D´ emonstration. Si f est une application lin´ eaire, elle v´ erifie
f
m
X
j=1
x
je
j
=
m
X
j=1
x
jf (e
j)
et, par cons´ equent, il existe au plus une application lin´ eaire v´ erifiant ∀j ∈ {1, . . . , m} f (e
j) = f
j(puisque tout vecteur admet alors une image bien d´ efinie).
Il nous suffit donc maintenant de v´ erifier que l’application ϕ qui, ` a tout vecteur u de E , associe le vecteur P
mj=1
x
jf
j(o` u les (x
j)
j=1,...,msont les coordonn´ ees du vecteur u dans la base (e
j)
j=1,...,m) est une application lin´ eaire. Appliquons la d´ efinition et consid´ erons un couple (λ, µ) de param` etres r´ eels ainsi qu’un couple (u, v) de vecteurs de E . D´ eterminons alors ϕ(λ.u + µ.v) . Pour cela, introduisons les coordonn´ ees des vecteurs concern´ es. Soient u = P
mj=1
x
je
jet v = P
mj=1
y
je
j. Alors le vecteur λ.u + µ.v s’´ ecrit P
mj=1
(λx
j+ µy
j)e
j. Et ϕ(λ.u + µ.v) =
m
X
j=1
(λx
j+ µy
j)f
j= λ
m
X
j=1
x
jf
j+ µ
m
X
j=1
y
jf
j= λ.ϕ(u) + µ.ϕ(v) .
Ce que nous cherchions ` a v´ erifier.
Exemple 1.13. Soit E = R
n[X] l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´ e au plus n (n entier non nul).
Soient (Q
0, . . . , Q
n) n + 1 polynˆ omes. Alors il existe une unique application lin´ eaire ϕ de E dans E telle que
∀i ∈ {0, . . . , n} ϕ(X
i) = Q
i.
En effet, l’espace E admet pour base, la base des monˆ omes X
i(i = 0, . . . , n).
Proposition 1.14. Soient E et F deux espaces vectoriels r´ eels. Alors L(E, F ) est lui-mˆ eme un espace vectoriel r´ eel. De plus, si E et F sont de dimension finie, alors L(E, F ) est de dimension finie ´ egale ` a Dim(E) × Dim(F) .
D´ emonstration. Les lois d´ efinies respectivement par ∀u ∈ E, ∀(l, l
0) ∈ L(E, F )
2(l + l
0)(u) = u et
∀u ∈ E, ∀λ ∈ R ∀l ∈ L(E, F ) (λ.l)(u) = λ.l(u) en font imm´ ediatement un espace vectoriel r´ eel. C’est d’ailleurs un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de E dans F (parfois not´ e F
E) pour ces mˆ emes op´ erations.
Introduisons les n × m applications lin´ eaires suivantes (o` u m = Dim(E) et n = Dim(F )) :
∀j ∈ {1, . . . , m} ∀i ∈ {1, . . . , n} l
ij(e
k) = δ
jkf
i. En particulier, cela signifie que
∀u ∈ E l
ij(u) = x
jf
isi u =
m
X
h=1
x
he
h.
Ces applications lin´ eaires existent d’apr` es la proposition pr´ ec´ edente.
Il nous reste ` a v´ erifier qu’elles forment un syst` eme libre et g´ en´ erateur.
Prenons une combinaison lin´ eaire nulle de ces applications lin´ eaires. Soit
m
X
j=1 n
X
i=1
α
ijl
ij= 0 .
Alors cette somme est nulle quelque soit le vecteur u de E . En particulier, si u = e
h(h = 1 . . . m) , on a
m
X
j=1 n
X
i=1
α
ijl
ij(e
h) =
n
X
i=1
α
ihl
ih(e
h) =
n
X
i=1
α
ihf
i= 0 .
Mais les vecteurs f
iforment une base de F donc tous les coefficients α
ih(i = 1 . . . n) sont nuls (et ce, quelque soit h). Bref la combinaison lin´ eaire est triviale car tous les coefficients α
ihsont nuls et le syst` eme d’applications lin´ eaires est bien libre.
Montrons qu’il est g´ en´ erateur. Soit f une application lin´ eaire quelconque. On sait qu’elle est enti` erement d´ efinie par les vecteurs f (e
j) (j = 1, . . . , m) dans F . Posons
f (e
j) =
n
X
k=1
a
kjf
k(o` u les a
kjsont les coordonn´ ees de f (e
j) sur la base f
k). Remarquons alors que
f (u) = l
m
X
j=1
x
je
j
=
m
X
j=1
x
jf (e
j) =
m
X
j=1 n
X
k=1
a
kjx
jf
ksoit
f (u) =
m
X
j=1 n
X
k=1
a
kjl
k,j(u) et f =
m
X
j=1 n
X
k=1
a
kjl
k,j.
Ce que nous cherchions ` a d´ emontrer.
Proposition 1.15. Soient E et F deux espaces vectoriels r´ eels. Soient (e
i)
i=1,...,met (f
j)
j=1,...,ndeux bases respectives de ces espaces vectoriels. Une application lin´ eaire f de E dans F est donc uniquement d´ etermin´ ee par
∀j ∈ {1, . . . , m} l(e
j) =
n
X
i=1
a
ijf
io` u A = (a
ij) est une matrice ayant n lignes et m colonnes. On dira que la matrice A est la matrice associ´ ee ` a l’application f dans les bases (e
i)
i=1,...,met (f
j)
j=1,...,u. Si u ∈ E ; u = (e
1, . . . , e
m)X o` u X est une matrice colonne ayant m lignes et v ∈ F ; v = (f
1, . . . , f
n)Y o` u Y est une matrice colonne ayant n lignes, alors v = f (u) si et seulement si Y = AX .
D´ emonstration. Soit f une application lin´ eaire de E dans F . Alors comme tout vecteur u de E a des coordonn´ ees uniques sur la base (e
i) , on a
f (u) = f
m
X
j=1
x
je
j
=
m
X
j=1
x
jl(e
j) ;
mais les f (e
j) sont des vecteurs de F et ils ont donc des coordonn´ ees uniques sur la base (f
i) de F soit :
f (u) =
m
X
j=1
x
j nX
i=1
a
ijf
i!
=
n
X
i=1
m
X
j=1
a
ijx
j
f
i.
Bref si le vecteur u a pour coordonn´ ees les (x
1, . . . , x
m) dans la base (e
j) , le vecteur f (u) a pour coordonn´ ees
P
mj=1
a
1jx
j, . . . , P
mj=1
a
mjx
j. On note parfois
u = (e
1, . . . , e
m)
x
1.. . x
m
et f (u) = (f
1, . . . , f
n)
a
11. . . a
1m.. . .. . a
n1. . . a
nm
x
1.. . x
m
.
A toute application lin´ eaire f , on peut donc associer une matrice ayant n colonnes et m lignes dont les colonnes sont donn´ ees par les coordonn´ ees dans la base de F choisie des images par l de la base de E choisie. Bref l’application u 7→ v = f(u) correspond ` a l’application de R
mdans R
ndonn´ ee par X 7→ Y = AX .
Exemple 1.16. Ainsi l’application (x, y) 7→ (x + y, −y, x, x − y) de R
2dans R
4a pour matrice (dans les bases canoniques)
1 1
0 −1
1 0
1 −1
.
2 Th´ eor` eme du rang
Rappelons maintenant l’importance des notions d’injectivit´ e, de surjectivit´ e et de bijectivit´ e pour les applications.
D´ efinition 2.1 (Rappel). On appelle image de l’application f de E dans F la partie de F form´ ee des
´
el´ ements de F ayant un ant´ ec´ edent par f . Soit encore
Im(f ) = {v ∈ F ; ∃u ∈ E , v = f (u)} .
Plus g´ en´ eralement l’image d’une partie H de E par f est form´ ee des ´ el´ ements de F ayant un ant´ ec´ edent par f dans H . Soit encore
Im(H ) = {v ∈ F ; ∃u ∈ H , v = f (u)} .
D´ efinition 2.2 (Rappel). Soit f une application f de E dans F et G une partie de F . On appelle image r´ eciproque de la partie G la partie de E form´ ee des ´ el´ ements de E ayant pour image par f un
´
el´ ement de G. Soit encore
Im
−1(G) = {u ∈ E ; f (u) ∈ G} . D´ efinition 2.3. On dit que l’application lin´ eaire f de E dans F est
— surjective si et seulement si Im(f ) = F . Bref une application surjective est une application pour laquelle tout ´ el´ ement de l’espace d’arriv´ ee a (au moins) un ant´ ec´ edent.
— injective si et seulement si ∀(u, v) ∈ E
2, f(u) = f (v) ⇒ u = v . Bref une application surjective est une application pour laquelle, si deux vecteurs ont la mˆ eme image, ils sont ´ egaux.
— bijective si et seulement si elle est injective et surjective.
D´ efinition 2.4. Soit f une application lin´ eaire de E dans F . On appelle noyau de f l’image r´ eciproque du vecteur 0
F. C’est un sous-espace vectoriel de E que l’on note Ker(f ) .
V´ erification. Il nous suffit de v´ erifier que le noyau de f est stable par combinaison lin´ eaire. Soient donc (u
1, u
2) deux vecteurs de Ker(l) et deux scalaires (λ
1, λ
2) de R
2. Calculons f (λ
1u
1+ λ
2u
2) . On a
f (λ
1u
1+ λ
2u
2) = λ
1f (u
1) + λ
2f (u
2) = 0
Fpuisque u
1et u
2sont dans le noyau de f .
Th´ eor` eme 1. Une application lin´ eaire f de E dans F est injective si et seulement si son noyau est r´ eduit ` a {0
E} .
D´ emonstration. Si l est injective, on a, en particulier,
∀u ∈ E , l(u) = 0
F⇒ lu) = l(0
E) ⇒ u = 0
Ebref
l
−1({0
F}) = {0
E} . R´ eciproquement, supposons que l
−1({0
F}) = {0
E} . Alors
l(u) = l(v) ⇒ l(u) − l(v) = 0
F⇒ l(u − v) = l(0
E) ⇒ u − v ∈ l
−1({0
F}) ⇒ u − v = 0
E⇒ u = v . Bref l est injective.
Exemple 2.5. Reprenons l’exemple donn´ e plus haut. Soit E = R [X ] l’espace des fonctions polynomiales r´ eelles. Soit P
0un ´ el´ ement de E et soit ϕ l’application qui, ` a toute fonction polynomiale x 7→ P (x) , associe la fonction polynomiale x 7→ P
0(x)P (x) est une application lin´ eaire.
Soit P
0= 0 et l’application associ´ ee est nulle. Son noyau est alors E tout entier.
Soit P
0est non nul et l’application associ´ ee est injective (on dit que l’anneau des polynˆ omes est int` egre) car
∀x ∈ R , P
0(x)P(x) = 0 ⇒ P
0P = 0 ⇒ P = 0
(tout polynˆ ome non nul admet un degr´ e).
Exemple 2.6. Reprenons l’exemple de l’op´ erateur g de troncation d’une suite num´ erique. On a v = g(u) avec v
n= u
n+2.
Les ´ el´ ements du noyau sont donc les suites dont les termes sont nuls ` a partir du troisi` eme (u
n+2= 0).
C’est donc le plan engendr´ e par les suites (1, 0, . . . , 0, . . .) et (0, 1, 0, . . . , 0, . . .) . Cet op´ erateur n’est pas injectif. Par contre toute suite u = (u
n)
n∈Nest atteinte comme image de (0, 0, u
0, u
1, . . . , u
n, . . .) . Donc g est surjectif.
Exemple 2.7. Reprenons l’exemple de l’op´ erateur f (de l’espace des suites num´ eriques dans lui-mˆ eme) donn´ e par
v = f (u) avec v
n= u
n+ u
n+1.
Cherchons les ´ el´ ements du noyau. Ce sont les suites u telles ∀n ∈ N u
n+ u
n+1= 0 soit u
n+1= −u
n. Par une simple r´ ecurrence, on voit qu’il s’agit des suites u = (u
0, −u
0, u
0, . . . , (−1)
nu
0, . . .) . Elles sont toutes multiples de la suite (1, −1, 1, . . . , (−1)
n, . . .) . Le noyau est une droite vectorielle. Il n’est pas difficile de v´ erifier que toute suite v = (v
0, . . . , v
n, . . .) est image d’une suite u par f . Prenez la suite u o` u u
n= (−1)
nu
0+ P
n−1h=0
(−1)
n−1−hv
h.
Proposition 2.8. Soit f une application lin´ eaire de E dans F . On rappelle que l’image de f est l’ensemble des vecteurs de F qui ont un ant´ ec´ edent par f dans E . On note Im(f ) ou f (E) cette partie de F et on a donc
Im(f ) = f (E) = {v ∈ F ; ∃u ∈ E f(u) = v} .
Alors Im(f ) est un sous-espace vectoriel de F . Lorsque Im(f ) est de dimension finie, on appelle rang de f la dimension de Im(f ) . Plus g´ en´ eralement, si G est un sous-espace vectoriel de E , alors l’image f (G) de G est un sous-espace vectoriel deIm(f ) donc de F dont la dimension est limit´ ee par le rang de f .
V´ erification. Il nous suffit de v´ erifier que l’image de f est stable par combinaison lin´ eaire. Soient donc (v
1, v
2) deux vecteurs de Im(f ) et deux scalaires (λ
1, λ
2) de R
2. Alors il existe u
1et u
2tels que f (u
i) = v
i(i = 1, 2). Et l’on a
λ
1v
1+ λ
2v
2= λ
1f (u
1) + λ
2f (u
2) = f (λ
1u
1+ λ
2u
2) ∈ Im(f ) . Bref λ
1v
1+ λ
2v
2a bien un ant´ ec´ edent dans E .
Exemple 2.9. Reprenons l’application (x, y) 7→ (x + y, −y, x, x − y) de R
2dans R
4qui a pour matrice (dans les bases canoniques)
1 1
0 −1
1 0
1 −1
.
Il est facile de voir qu’elle est injective, son noyau ´ etant r´ eduit ` a {0} . Mais quelle est son image ? Par d´ efinition ce sont les vecteurs v = (X, Y, Z, T ) de R
4pour lesquels il existe un vecteur u = (x, y) tel que
1 1
0 −1
1 0
1 −1
x
y
=
X Y Z T
.
Bref nous avons ` a ´ echelonner le syst` eme
1 1 X
0 −1 Y
1 0 Z
1 −1 T
↔
1 0 Z
0 1 −Y
1 1 X
1 −1 T
↔
1 0 Z
0 1 −Y
0 0 X + Y − Z 0 0 −Y − Z + T
.
Bref les vecteurs de l’image de f sont donc les vecteurs de R
4qui v´ erifient les deux ´ equations (ind´ ependantes) X + Y − Z = 0 et Y − Z + T . C’est un plan vectoriel de R
4.
Corollaire 2.10. Si la famille (u
1, . . . , u
m) (m ∈ N
∗) engendre E alors la famille {f (u
1), . . . , f(u
m)}
engendre Im(l) .
Remarque 2.11. Soit f une application lin´ eaire injective de E dans F . Alors l’image par f d’un syst` eme libre est un syst` eme libre.
Remarque 2.12. Soit f une application lin´ eaire surjective de E dans F . Alors l’image par f d’un syst` eme g´ en´ erateur de E est un syst` eme g´ en´ erateur de F .
Th´ eor` eme 2. Th´ eor` eme du Rang. Soit f une application lin´ eaire de E dans F . On suppose que E est de dimension finie. Alors
Dim(E) = Dim(Ker)(f ) + rg(f ) = Dim(Ker)(f) + Dim(Im)(f ) .
D´ emonstration. Soit (e
1, . . . , e
m) une base de E . Comme E est de dimension finie m , le noyau de f est aussi de dimension finie p ≤ m (puisqu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de E) et choisissons {f
i; i = 1 . . . p} une base de ce noyau. Tout vecteur v de Im(f ) s’´ ecrit alors
v = f (u) = f
m
X
j=1
x
je
j
=
m
X
j=1
x
jf (e
j)
c’est ` a dire que le syst` eme {f (e
j) ; (j = 1 . . . m)} engendre Im(f ) . On remarque donc que Im(f ) est de type fini. D’apr` es le th´ eor` eme de la base incompl` ete, on peut extraire de ce syst` eme un syst` eme libre form´ e de r vecteurs (o` u r est la dimension de Im(f )). On les notera f (e
jh) ; h = 1 . . . r . Consid´ erons alors la famille des vecteurs {f
i}
pi=1∪ {e
jh}
rj=1. Cette famille est de cardinal
p + r = Dim(Ker)(f ) + Dim(Im)(f ) .
Il nous suffit donc de v´ erifier que p + r = m pour d´ emontrer le th´ eor` eme du rang.
Cette famille est-elle libre ? Consid´ erons une combinaison lin´ eaire et supposons qu’elle s’annule :
0
E=
p
X
i=1
λ
if
i+
r
X
h=1
µ
he
jh⇒ 0
F= f
p
X
i=1
λ
if
i+
r
X
h=1
µ
he
jh!
mais f ( P
pi=1
λ
if
i) = P
pi=1
λ
if (f
i) = 0
F. D’o` u 0
F=
r
X
h=1
µ
hf (e
jh) .
Or, par construction, les l(e
jh) forment un syst` eme libre. Donc les scalaires µ
hsont tous nuls. Notre identit´ e initiale devient donc 0
E= P
pi=1
λ
if
iet, comme les f
iforment une base du noyau, on en d´ eduit
´
egalement que les λ
isont tous nuls. Notre famille est donc libre et, donc, p + r ≤ m .
Reste ` a v´ erifier que notre famille est bien g´ en´ eratrice. Soit donc u un vecteur quelconque de E . Comme f (u) est un vecteur de l’image de l , on sait qu’il s’´ ecrit lf (u) = P
rh=1
y
hf (e
jh) . Consid´ erons alors
u −
r
X
h=1
y
he
jh.
Par construction ce vecteur appartient au noyau de f puisque
f u −
r
X
h=1
y
he
jh!
= f(u) −
r
X
h=1
y
hf (e
jh) = O
F.
Donc on a
u −
r
X
h=1
y
he
jh=
p
X
i=1
x
if
iet u =
p
X
i=1
x
if
i+
r
X
h=1
y
he
jh.
C’est ce qui nous restait ` a v´ erifier.
Exemple 2.13. Reprenons l’application (x, y) 7→ (x + y, −y, x, x − y) de R
2dans R
4qui a pour matrice (dans les bases canoniques)
1 1
0 −1
1 0
1 −1
.
Elle v´ erifie bien le th´ eor` eme du rang puisque
Dim(Ker)(f ) + Dim(Im)(f ) = 0 + 2 = Dim( R
2) .
Corollaire 2.14. Soit f une application lin´ eaire d’un espace vectoriel r´ eel E dans lui-mˆ eme. On parle parfois d’endomorphisme de E . On suppose que E est de dimension finie n . Alors f est bijective si et seulement si elle est injective si et seulement si elle est surjective.
V´ erification. Si f est bijective, elle est bien sˆ ur injective et surjective par d´ efinition. Si f est injective, par le th´ eor` eme du rang, la dimension de l’image de f est ´ egale ` a celle de E et donc E = Im(E) . De mˆ eme si f est surjective, alors E = Im(E) donc le rang de f est n et donc la dimension du noyau de f est ´ egale ` a 0 .
Corollaire 2.15. Soit f une application lin´ eaire d’un espace vectoriel r´ eel E dans lui-mˆ eme. On suppose que E est de dimension finie n . Alors f est bijective si et seulement si elle envoie une base de E sur une base de E.
V´ erification. Si f est bijective, elle est injective et l’image par f d’un syst` eme libre de E est un syst` eme libre puisque
f (
r
X
i=1
f
i) = 0
E⇔
r
X
i=1
f
i= 0
E.
En particulier l’image d’une base de E est libre dans E et forme donc une base de E . Mais on peut remarquer aussi que l’image de f est engendr´ ee par les f(e
i) . Si f est surjectif c’est donc que tout vecteur est engendr´ e par ce syst` eme de vecteurs qui est g´ en´ erateur et a pour cardinal la dimension de E . Il est donc libre.
R´ eciproquement, soit f
iune base de E . On suppose que que les f(f
i) forment une base de E . Alors l’image de f contient E dont f est surjective donc est bijective.
Corollaire 2.16. Soit f une application lin´ eaire d’un espace vectoriel r´ eel E dans lui-mˆ eme. On suppose que E est de dimension finie n . Alors f est bijective si et seulement si sa matrice associ´ ee est une matrice de passage.
D´ efinition 2.17. Soient E et F deux espaces vectoriels r´ eels. On appelle isomophisme de E sur F toute application lin´ eaire bijective de E sur F .
Proposition 2.18. Soit E un espace vectoriel r´ eel et {e
1, . . . , e
n} une base de E . Alors l’application qui
`
a tout vecteur u de E associe ses composantes (x
1, . . . , x
n) sur la base {e
1, . . . , e
n} est un isomorphisme
de E sur R
n.
V´ erification. On sait que u = P
ni=1
x
ie
iest une ´ ecriture unique. Elle est par ailleurs lin´ eaire en u puisque
∀(λ, µ) ∈ R
2λ.u + µ.v = λ.(
n
X
i=1
x
ie
i) + µ.(
n
X
i=1
y
ie
i) =
n
X
i=1
(λx
i+ µy
i)e
i.
D’o` u l’isomorphisme cherch´ e. Son injectivit´ e vient du caract` ere libre du syst` eme des e
i. Sa surjectivit´ e vient du caract` ere g´ en´ erateur du syst` eme des e
i.
Proposition 2.19. Soient E et F deux espaces vectoriels r´ eels. Soient (e
i)
i=1,...,met (f
j)
j=1,...,ndeux bases respectives de ces espaces vectoriels. Alors l’application qui, ` a tout ´ el´ ement f de L(E, F ) associe sa matrice A dans les bases choisies est un isomorphisme d’espace vectoriel de L(E, F ) sur M
n,m( R ) .
V´ erification. On laisse au lecteur le soin d’effectuer cette v´ erification.
Exemple 2.20. Nos deux applications travaillant dans l’espace des suites num´ eriques ´ etaient surjec- tives mais non injectives. Elles ne sont donc pas bijectives. Cela montre que la dimension finie est une hypoth` ese indispensable pour l’´ equivalence injection/surjection. Il est facile de trouver une application (lin´ eaire) injective mais pas surjective (prendre u 7→ (0, 0, u
0, . . . , u
n−2, . . .)).
D´ efinition 2.21. Soient E , F et G trois espaces vectoriels r´ eels. Soient f une application lin´ eaire de E dans F et f
0une application lin´ eaire de F dans G . On appelle compos´ ee de f par f
0l’application lin´ eaire de E dans G not´ ee f
0◦ f et d´ efinie par
∀u ∈ E (f
0◦ f )(u) = f
0(f (u)) .
Remarque 2.22. On d´ efinit ainsi sur l’espace L(E) des endomorphismes de E une multiplication qui n’est pas commutative.
Remarque 2.23. Soient E , F et G trois espaces vectoriels r´ eels. Soient (e
i)
i=1,...,n, (f
j)
j=1,...,met (g
j)
k=1,...,ptrois bases respectives de ces espaces vectoriels. Soient f et g deux applications lin´ eaires de E dans F et F dans G respectivement. On note A et B leurs matrices respectives dans ces bases.
L’application lin´ eaire associ´ ee ` a la matrice BA est l’application (de E dans G) compos´ ee de l’application f (de E dans F) par l’application g (de F dans G).
3 Exemples d’applications lin´ eaires.
Application nulle et identit´ e.
Remarque 3.1. On notera Id
El’application identit´ e de E (c’est ` a dire l’isomorphisme lin´ eaire qui, ` a tout vecteur u de E , associe le vecteur u).
Homoth´ eties.
D´ efinition 3.2. Soit λ un r´ eel et E un espace vectoriel. On appelle homoth´ etie h
λde rapport λ l’appli- cation u 7→ λ.u .
Proposition 3.3. Une homoth´ etie commute ` a toute application lin´ eaire. Autrement dit, pour tout ap- plication lin´ eaire f de E dans E , on a
∀u ∈ E , f(h
λ(u)) = h
λ(f (u)) .
D´ emonstration. En effet
∀u ∈ E , f(h
λ(u)) = l(λ.u) = λ.f (u) = h
λ(f (u)) .
Proposition 3.4. Une homoth´ etie de rapport λ est soit nulle (si λ = 0) soit est un isomorphisme de E (si λ 6= 0).
V´ erification. Si λ 6= 0 , on a h
λ◦ h
1 λ= h
1λ
◦ h
λ= Id
E. Formes lin´ eaires.
D´ efinition 3.5. Soit E un espace vectoriel r´ eel. On appelle forme lin´ eaire sur E toute application lin´ eaire de E dans R . On note parfois E
0= L(E, R ) ou E
∗= L(E, R ) l’espace vectoriel des formes lin´ eaires.
Proposition 3.6. Soit l une forme lin´ eaire sur E , espace vectoriel fini. Alors soit l est nulle soit son noyau est un hyperplan H de E . R´ eciproquement tout hyperplan H de E peut ˆ etre consid´ er´ e comme le noyau d’une forme linaire sur E .
D´ emonstration. On supposera donc que l est une forme lin´ eaire non nulle. Alors son image n’est pas r´ eduite ` a {0} donc est R tout entier. Par le th´ eor` eme du rang, le noyau de l est de dimension Dim(E) − 1 et c’est donc bien un hyperplan.
R´ eciproquement soit H un hyperplan de E . On sait que toute droite D non contenue dans H en est un suppl´ ementaire dans E soit E = H ⊕ D . Soit w
0un vecteur non nul de D . Donc tout vecteur u de E s’´ ecrit h + w = h + αw
0o` u h ∈ H et v = αw
0∈ D . Alors l’application qui, ` a u , associe α est une forme lin´ eaire (non nulle) de noyau H .
Elle est lin´ eaire puisque
∀(u, v) ∈ E
2, ∀(λ, µ) ∈ R
2, λu + µv = λ(h + αw
0) + µ(k + βw
0) = (λh + µk) + (λα + µβ)w
0. C’est ´ evidemment une forme lin´ eaire non nulle. Par ailleurs u ∈ H ⇔ α = 0 .
Remarque 3.7. On retrouve la notion d’´ equation d’un hyperplan.
Projections (ou projecteurs).
D´ efinition 3.8. Soit E un espace vectoriel r´ eel. Soient F
1et F
2deux sous-espaces vectoriels suppl´ ementaires dans E . On appelle projection de E sur F
2parall` element ` a F
1l’application lin´ eaire qui ` a tout vecteur u de E associe sa composante u
2sur F
2o` u on a u = u
1+ u
2, d´ ecomposition unique sur la somme directe E = F
1⊕ F
2.
V´ erification. L’application est bien d´ efinie puisque les composantes d’un vecteur U sont uniques. Il s’agit bien d’une application lin´ eaire puisque l’on a
∀(u, v) ∈ E
2, ∀(λ, µ) ∈ R
2, λu + µv = λ(u
1+ u
2) + µ(v
1+ v
2) = (λu
1+ µv
1) + (λu
2+ µv
2) . Proposition 3.9. Soit E un espace vectoriel r´ eel et E = F
1⊕F
2une somme directe. Soit p
1la projection de E sur F
1parall` element ` a F
2et p
2la projection de E sur F
2parall` element ` a F
1. Alors
— Le noyau de p
1(resp. p
2) est le sous-espace F
2(resp. F
1) et son image est F
1(resp. F
2).
— p
1◦ p
1= p
1et p
2◦ p
2= p
2.
— p
1◦ p
2= p
2◦ p
1= 0 .
D´ emonstration.
— Par construction de p
1, le noyau de p
1est form´ e des ´ el´ ements u ayant une composante nulle sur F
1; il s’agit bien des vecteurs de F
2. Les ´ el´ ements de F
1appartiennent ` a l’image de p
1et, comme on a p
1(u
1) = u
1si u
1appartient ` a F
1, il est ´ evident que l’image de p
1est ´ egale ` a F
1.
— Comparons p
1◦ p
1et p
1. Soit u un vecteur quelconque de E . Alors on a u = u
1+ u
2o` u u
1∈ F
1et u
2∈ F
2. On a
p
1(u) = u
1et p
1(p
1(u)) = p
1(u
1) = u
1. Les deux applications sont bien ´ egales.
— Calculons p
1◦ p
2. Soit u un vecteur quelconque de E . Alors on a u = u
1+ u
2o` u u
1∈ F
1et u
2∈ F
2.
p
1(p
2(u)) = p
1(u
2) = 0 et p
2(p
1(u)) = p
2(u
1) = 0 .
Proposition 3.10. Soit E un espace vectoriel et p une application lin´ eaire non nulle de E dans E . On suppose que p v´ erifie p◦ p = p . Alors le noyau de p et l’image de p sont des sous-espaces suppl´ ementaires dans E et p est la projection de E sur Im(p) parall` element ` a Ker(p) .
Notons F
1= Ker(p) le noyau de p et F
2= Im(p) l’image de p . Montrons que tout vecteur u de E est engendr´ e par ces deux sous-espaces vectoriels. Par construction, le vecteur p(u) est un ´ el´ ement de F
2. Etudions le vecteur u − p(u) = v . On a
p(v) = p(u − p(u)) = p(u) − (p ◦ p)(u) = p(u) − p(u) = 0 . Donc v est bien un ´ el´ ement de F
1et u = p(u) + (u − p(u)) = v + p(u) .
Reste ` a ´ etudier l’intersection des deux sous-espaces-vectoriels. Soit w un vecteur de F
1∩ F
2. Alors on a 0 = p(w) puisque w est ´ el´ ement du noyau de p . Mais on a aussi w = p(v) puisque w est ´ el´ ement de l’image de p . Donc p(w) = (p ◦ p)(v) = p(v) = w . D’o` u w = 0 . On a donc bien F
1∩ F
2= {0} .
Sym´ etries vectorielles.
Proposition 3.11. Soit E un espace vectoriel r´ eel et E = F
1⊕ F
2une somme directe. On appelle sym´ etrie vectorielle par rapport ` a F
1parall` element ` a F
2l’application lin´ eaire qui, ` a u = u
1+ u
2(o` u u
i∈ F
i, i = 1, 2), associe le vecteur s(u) = u
1−u
2. C’est un isomorphisme involutif de E sur lui-mˆ eme (il v´ erifie s
2= s ◦ s = Id
E).
D´ emonstration. On va d´ ej` a d´ emontrer qu’il s’agit d’une application lin´ eaire. On a
∀(u, v) ∈ E
2, ∀(λ, µ) ∈ R
2, λu + µv = λ(u
1+ u
2) + µ(v
1+ v
2) = (λu
1+ µv
1) + (λu
2+ µv
2) . Donc
s(λu + µv) = (λu
1+ µv
1) − (λu
2+ µv
2) = λ.s(u) + µ.s(v) . Etudions alors s
2. Par d´ efinition
s
2(u) = s(s(u)) = s(u
1− u
2) = u
1+ u
2= u si u = u
1= u
2.
Remarque 3.12. Soit E = F
1⊕F
2un d´ ecomposition en suppl´ ementaires. Soit s la sym´ etrie par rapport
`
a F
1parall` element ` a F
2. Alors
F
1= {u ∈ E ; s(u) = u} et F
2= {u ∈ E ; s(u) = −u} .
V´ erification. Ecrivons u = u
1+ u
2. Alors s(u) = u ⇔ u
1− u
2= u
1+ u
2⇔ u
2= 0 ⇔ u ∈ F
1. De
mˆ eme s(u) = −u ⇔ u
1− u
2= −u
1− u
2⇔ u
1= 0 ⇔ u ∈ F
2.
4 Matrice de passage et changement de base.
On se donne dans ce paragraphe deux espaces vectoriels E et F , une application lin´ eaire f de E dans F ainsi que deux bases de E et F respectivement {e
1, . . . , e
n} et {f
1, . . . , f
m} . On note alors A la matrice associ´ ee ` a l’application lin´ eaire f dans ce choix de bases.
Consid´ erons alors deux nouvelles bases respectives de E et F soit {u
1, . . . , u
n} et {v
1, . . . , v
m} . L’application lin´ eaire f admet alors une matrice B dans ces nouvelles bases. Quel est le rapport entre A et B ?
Notations g´ en´ erales. Nous allons nous donner la ”nouvelle” base {u
1, . . . , u
n} en fonction de ses coordonn´ ees dans ”l’ancienne” base {e
1, . . . , e
n} soit
∀i ∈ {1, . . . , n} u
i=
n
X
j=1
