Alg` ebre lin´ eaire

Pr´eparation `a l’oral : partie II

Alg` ebre lin´ eaire

Table des mati` eres

1 Oral (I) de Math´ematiques se d´eroulant `a l’ENS Paris-Saclay 1 2 Oral (II) de Math´ematiques se d´eroulant `a l’´ecole des Arts et M´etiers 7

Les sujets d’interrogations orales qui suivent portent sur le programme d’alg`ebre lin´eaire des deux ann´ees de pr´eparation PTSI/PT. Avant de s’entraˆıner, il est conseill´e de r´eviser les cours des chapitres 5−6−7−11−12−18 ´etudi´es cette ann´ee. Quelques conseils pour les oraux :

1. Pr´esenter bri`evement le type d’exercice sur lequel on travaille pour identifier et mobiliser les connaissances en jeu, entamer le dialogue avec le jury (tr`es appr´eci´e).

2. Inutile d’´ecrire de longues phrases et encore moins de recopier l’´enonc´e ; les justifications et commentaires doivent ˆetre donn´es au moment o`u l’on est interrog´e ;

3. Lorsqu’une indication est donn´ee pour aider le candidat, l’´ecouter et r´eagir `a celle-ci ; la passivit´e ou l’obstination dans une voie infructueuse sont fortement d´econseill´ees.

1 Oral (I) de Math´ ematiques se d´ eroulant ` a l’ENS Paris-Saclay

Exercice 1 (2017) On posex_k= kπ

2n+ 1 et cotan (x) = 1

tanx pour x∈]0, π/2[.

1. Montrer quee^2ix = cotan (x) +i cotan (x)−i.

2. Soit zk = (cotan (xk) +i)²ⁿ⁺¹. Calculer zk

z_k et en d´eduire quezk est r´eel.

3. Soit le polynˆomeP(X) =

n

X

p=0

(−1)^p

2n+ 1 2p+ 1

X^n−p. Montrer queP(t²) = Im((t+i)²ⁿ⁺¹).

4. En d´eduire que toutes les racines de P s’expriment sous la forme cotan²(x_k).

Cours : lois binomiale et de Poisson (loi, esp´erance,variance), approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson.

Soit P ∈C[X], unitaire, scind´e `a racines simples a0, a1, . . . , an−1 et soit Q=

n−1

X

k=0

P X−a_k. 1. Montrer queQ est un polynˆome de degr´e n−1.

2. Montrer que : P⁰ P =

n−1

X

k=0

1 X−a_k.

3. Soit le polynˆome Xⁿ+ 1. Trouver ses racines z₀, z₁, . . . , zn−1. 4. Calculer

n−1

X

k=0

z_k z_k−1 et

n−1

X

k=0

z_k (z_k−1)². Cours : Loi de Poisson, calcul de sa variance.

Exercice 3 (2017)

Soient A, B∈ M₂(R) telles queAB=

1 2 0 −1

etBA=

x −2

0 y

. 1. Trouver xet y en utilisant la trace et le d´eterminant.

2. Soit F ={M ∈ M₂(R)/ M BA=ABM}.

Prouver que F est un sous-espace vectoriel de M₂(R).

3. On suppose que Tr(A) = 0 et det(A) = 1.

Prouver que Ane peut ˆetre seulement que deux matrices.

Cours : loi g´eom´etrique (loi, esp´erance, variance, s´erie g´en´eratrice, loi sans m´emoire).

Exercice 4 (2018)

1. Calculer le polynˆome caract´eristique de A=





2a b c b 0 0 c 0 0



, o`ua, b, c∈R.

Est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres.

2. Soit B =













a₁ · · · a_n ... 0 · · · 0 ... ... ... a_n 0 · · · 0













, o`un≥2 et a₁, . . . , a_n∈R.

(a) La matriceB est-elle diagonalisable ?

(b) Montrer que rg(B)≤2 et queB admet au plus trois valeurs propres.

(c) Pour cette question, on suppose que rg(B) = 2. On note λetµdeux valeurs propres non nulles deB.

i. Calculer λ+µ etλ²+µ².

ii. En d´eduire le polynˆome caract´eristique deB.

Cours : In´egalit´es de Markov et de Bienaym´e-Tch´ebichev, loi faible des grands nombres.

Exercice 5 (2017)

Soit α < β etE={f :x7−→P(x)e^αx+Q(x)e^βx, (P, Q)∈Rn[X]²}.

1. Montrer queE est un espace vectoriel.

2. Donner la dimension et une base de E.

3. Soit l’applicationϕ:f 7−→f⁰. Montrer queϕ∈ L(E).

4. ´Ecrire la matrice de ϕ dans la base pr´ec´edente, donner la trace, le d´eterminant et le polynˆome caract´eristique de ϕ. Cette matrice est-elle diagonalisable ?

Cours : loi g´eom´etrique (loi, esp´erance, variance, s´erie g´en´eratrice, loi sans m´emoire).

Exercice 6 (2019)

1. Donner le rang de la matrice A=





0 a 1 a 0 1 a 1 0



.

2. Donner son polynˆome caract´eristique et ses valeurs propres.

3. Pour quelles valeurs de aest-elle diagonalisable ? 4. On choisit a= 1 etX=



 x y z



, o`ux, y, z :R−→Rsont d´erivables.

Donner la forme g´en´erale des solutions du syst`eme diff´erentielX⁰ =AX.

Cours : Donner la d´efinition d’une s´erie g´eom´etrique, calculer sa s´erie d´eriv´ee, calculer

+∞

X

n=1

2n+ 3 5ⁿ .

Exercice 7 (2017) Soit M_a=





0 0 −2 1 0 3a²

0 1 0



, o`u aest un r´eel strictement positif.

1. Donner le rang de Ma.

2. Montrer que ses sous-espaces propres sont de dimension 1.

3. ´Etudier l’application x7−→x³−3a²x+ 2 et montrer qu’il existe un r´eel a0 v´erifiant : (a) sia > a0, Ma est diagonalisable dansR.

(b) sia < a0,Ma est diagonalisable dansC mais pas dansR.

4. Montrer que M_a0 est semblable `a A=





1 0 0

0 −2 1 0 0 a0



. Donner une matrice de passage.

Cours : Somme g´eom´etrique finie et s´erie g´eom´etrique, calcul de

n

X

k=0

cos(kx).

Soit E=R²ⁿ⁺¹ ettl’endomorphisme de E d´efini dans la base canoniqueB par t(e₁) =· · ·=t(e_2n) =e₁ et t(e_2n+1) =e₁+· · ·+e_2n+1. 1. ´Ecrire la matrice de tdans la base B

2. D´eterminer les valeurs propres et les espaces propres detdans le cas o`u n= 1.

L’endomorphismet est-il diagonalisable ? bijectif ? 3. Soit etl’endomorphisme de Im(t) induit part.

(a) Justifier queet est bien d´efini.

(b) ´Ecrire sa matrice dans une base de Im(t) bien choisie.

(c) Donner toutes les valeurs propres det.

Cours : formule de Taylor-Young `a l’ordre nen 0 de √

1 +x, simplifierα(α−1)· · ·(α−n+ 1)

`

a l’aide de factorielles lorsque α= 1/2.

Exercice 9 (2017)

Pour A∈ M_n(R), on note A^T la transpos´ee deA. PourX ∈ M_n,1(R) on pose (X|Y) =X^TY. On consid`ere la propri´et´e (?) : ∃k∈N^∗, A^T =A^k.

Soit A v´erifiant (?), B =A^TA etf (resp. g) l’endomorphisme deRⁿ canoniquement associ´e `a A (resp. B).

1. Donner une matrice A qui est inversible et une autre qui n’est pas inversible.

2. Justifier que (·|·) est un produit scalaire surM_n,1(R).

3. Montrer que les valeurs propres de B appariennent `a R. 4. On suppose quek >1.

(a) Montrer queB^k=B. Qu’en d´eduit-on pour les valeurs propres deB? (b) Montrer queg est un projecteur.

(c) Montrer que Ker(f) = Ker(g), que Im(g) est stable par f et que l’endomorphisme induit parf sur Im(g) est une isom´etrie.

Cours : d´efinir arccos(x), comparaison entre s´erie et int´egrale (´enonc´e et preuve succinte).

Exercice 10 (2019, Mines-T´el´ecom)

Soit E={f ∈ C¹([0,1],R), f(0) = 0} etϕd´efinie par ϕ(f, g) =f(1)g(1) + Z ₁

0

f⁰(t)g⁰(t)ft.

1. Montrer queϕest un produit scalaire sur E.

2. Soit F le sous espace vectoriel de E ne contenant que des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. D´eterminer le projet´e orthogonal sur F de f :t7−→e^t−1.

Cours : Justifier l’existence de S =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n² et calculer sa valeur sachant que

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 .

Exercice 11 (2019, Mines-T´el´ecom, trois questions manquantes)

1. Dans un espace pr´ehilbertienE, rappeler la d´efinition de la distance d’un vecteur u`a un sous espace F de dimension finie.

2. (a) Montrer que (A, B)7−→Tr(A^TB) munit M₂(R) d’un produit scalaire.

(b) D´eterminer une base orthonorm´ee deF = Vect

1 0 0 −1

,

0 1 1 0

. (c) D´eterminer le projet´e orthogonal de A=

−1 1

2 2

sur F et la distance de A`a F. Cours : D´efinir la s´erie g´en´eratrice Gd’une variable al´eatoire Y `a valeurs dans N, montrer que G⁰(1) = E(Y) (en cas d’existence) et que pour toutz∈C tel que|z| ≤1,|G(z)| ≤1.

Exercice 12 (2019)

Soit E=Rn[X] etf_n:P 7−→ X²−1

2 P⁰⁰+XP⁰−P.

1. Montrer quef_n est un endomorphisme deE. 2. Dans cette question,n= 3.

(a) ´Ecrire la matrice def₃ dans la base canonique deE.

(b) D´eterminer Ker(f3) et Im(f3). Ces deux sous espaces sont-ils suppl´ementaires ? (c) L’endomorphismef3 est-il diagonalisable ?

3. Montrer que (P|Q) = Z ₁

0

P(t)Q(t)dt d´efinit un produit scalaire surE.

Montrer que (fn(P)|Q) = (P|f_n(Q)). Que peut-on en d´eduire ?

Cours : fonction ch , courbe repr´esentative, bijection r´eciproque de sa restriction `a [0,+∞[.

Exercice 13 (2019)

On note F un sous espace vectoriel deRⁿ,sF la sym´etrie orthogonale par rapport `a F etpF le projecteur orthogonal sur F.

1. Que dire de l’application sF ◦pF −pF ◦sF?

2. sF etpF sont-ils des automorphismes orthogonaux ? En donner la trace et le d´eterminant.

3. Pour n = 4, on donne F d´efini par X∈F ⇐⇒

4

X

i=1

xi =

4

X

i=1

(−1)ⁱxi, o`u les xi sont les coordonn´ees de X dans la base canonique. D´eterminer la matrice de s_F, de p_F et de s_F ◦p_F +p_F ◦s_F dans la base canonique. Quel est ce dernier endomorphisme ?

Cours : Donner les d´eveloppements en s´erie enti`ere de cos(x) et cos²(x). Justifier que le rayon de convergence est infini.

Soit A une matrice carr´ee de taillen, de coefficients r´eels non tous nuls et sym´etrique.

1. Justifier l’existence d’une matrice diagonale Det d’une matrice orthogonaleP telles que A=P DP^T.

2. Montrer que Tr(A) = Tr(D) et que Tr(A²)>0.

3. Montrer que :∀(x₁, . . . , xm)∈R^m, (x1+· · ·+xm)² ≤m(x²₁+· · ·+x²_m).

4. En d´eduire que : rg(A)≥ (Tr(A))²

Tr(A²) . ´Etudier le cas d’´egalit´e.

Cours : Expliquer la m´ethode des rectangles ; quelle est la somme obtenue ? Calculer

n

X

k=1

1 k²+n².

Exercice 15 (2019)

1. Montrer que (A|B) = Tr(A^TB) munitM_n(R) d’un produit scalaire.

2. Montrer que toute matrice sym´etrique r´eelle est orthogonale `a toute matrice antisym´e- trique r´eelle, puis que S_n(R) et A_n(R) sont suppl´ementaires et orthogonaux.

3. En d´eduire que, pour A∈ M_n(R), on a : A^TA=A² ⇐⇒A∈ S_n(R).

4. Pour n ≥3, montrer qu’il existe des matrices de M_n(C) non sym´etriques et telles que A^TA=A² (on les cherchera sous la formeV U^T , o`uU etV sont des matrices colonnes).

5. Montrer que toute solution A∈ M₂(C) de A^TA=A² est sym´etrique.

Cours : Soit S une surface d’´equation f(x, y, z) = 0. Former une ´equation du plan tangent `aS en M0(x0, y0, z0)∈ S.

Exercice 16 (2017)

1. SiA∈ M_n(R), comparer les spectres deA et de A^T. 2. On choisit A=

0 1 0 0

. Montrer que les sous espaces propres associ´es `a une mˆeme valeur propre de Aet de A^T sont distincts.

3. On munitRⁿde son produit scalaire usuel et on noteAune matrice telle que :∀X∈Rⁿ, kAXk ≤ kXk.

(a) Montrer que :∀(X, Y)∈(Rⁿ)², (X|A^TY)≤ kXkkYk.

(b) Montrer que :∀X∈Rⁿ,kA^TXk ≤ kXk.

(c) Montrer que toute valeur propre deA est de module au plus 1.

(d) On suppose que 1 est valeur propre deAetXun vecteur propre associ´e `a cette valeur propre. Calculer kA^TX−Xk.

Cours : d´eveloppement en s´erie enti`ere de cos(x), rayon de convergence, primitive de 1/√ 1−x².

Exercice 17 (2017, une question manquante) Soit An∈ M_n(R) telle que ai,j = min{i, j}.

1. Calculer det(A₃) puis det(A_n).

2. Pour X=





 x₁

... x_n





, montrer que X^TAnX =

n

X

i=1





n

X

p=i

xp





2

.

3. Montrer que les valeurs propres de A_n sont r´eelles et strictement positives.

Cours : continuit´e et d´erivabilite sous le signe int´egral.

Exercice 18 (2016)

1. D´efinir un produit scalaire sur un espace vectoriel.

2. Montrer que (P, Q)7−→

Z 1 0

P(t)Q(t)dtd´efinit un produit scalaire sur R[X].

3. Construire une base orthonorm´ee de R1[X].

4. Trouver P ∈R1[X] tel que Z 1

0

(t²+P(t))²dt= inf Z 1

0

(t²+Q(t))²dt, Q∈R1[X]

. Ce polynˆome est-il unique ?

Cours : loi g´eom´etrique, formule de Taylor avec reste int´egral, d´efinition de la courbure.

2 Oral (II) de Math´ ematiques se d´ eroulant ` a l’´ ecole des Arts et M´ etiers

Exercice 1 (2019)

Soit P = (X+i)⁷+ (X−i)⁷.

1. Prouver que P est `a coefficients r´eels.

2. Trouver les racines de P.

3. Montrer qu’elles sont r´eelles et les exprimer `a l’aide de fonctions trigonom´etriques.

Exercice 2 (2019) Soit S_n=

P ∈R[X], deg(P) =netP(X) =XⁿP 1

X

. 1. Soit P =a₀+a₁X+· · ·+a_nXⁿ,a_n6= 0. Montrer que :

P ∈ S_n⇐⇒ ∀k∈ 0, n

, ak=an−k. 2. Soit P ∈ S_netα une racine r´eelle deP. Montrer queα6= 0.

3. On suppose queα /∈ {−1,1}. Montrer qu’il existeQ∈ S_n−2 tel que P =

X²−

α+ 1

α

X+ 1

Q.

4. Montrer que si 1 est une racine de P alors c’est une racine d’ordre pair deP.

Soit n≥2 etθ∈R. On consid`ere les polynˆomes

P = sin(θ)Xⁿ−sin(nθ)X+ sin((n−1)θ) et Q=X²−2 cosθX+ 1.

1. Trouver les racines de Q.

2. Montrer queQ divise P.

3. ´Ecrire le quotient.

Exercice 4 (2017)

1. Soit x₀, x₁ et x₂ trois r´eels distincts. Donnerg polynˆome de degr´e 2 v´erifiant g(x0) =g(x1) = 0 et g(x2) = 1.

2. Soit n un entier naturel et x₁, x₂, . . . , x_n,n r´eels distincts. Soit (f₁, f₂, . . . , f_n), n poly- nˆomes de degr´e n−1 v´erifiant fi(xi) = 1 etfi(xj) = 0 pourj 6=i. ´Ecrire fi.

3. Montrer que la famille (f1, f2, . . . , fn) est une base de l’ensemble des polynˆomes de degr´e strictement inf´erieur `a n.

4. Reconnaˆıtref1+. . .+fn.

Exercice 5 (2017)

Soit nun entier impair, P un polynˆome deC[X] v´erifiant : (E) : (Xⁿ+ 1)P(X) =P(X²).

1. Montrer que le polynˆomeXⁿ−1 est solution de (E).

2. D´eterminer le degr´e deP.

3. Soit ω une racinen-i`eme de−1. Montrer que−ω est une racine de P.

4. D´eterminer tous les polynˆomes v´erifiant (E).

Exercice 6 (2016, une question manquante) Soit f(x) = 1

√

x²+ 1.

1. Montrer que, pour tout n∈N, il existeP_n∈R[X] tel quef⁽ⁿ⁾(x) = P_n(x) (1 +x²)^n+1/2. Donner le degr´e et le coefficient dominant de Pn.

2. Trouver une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1 v´erifi´ee parf. En d´eduire une relation entreP_n+1,P_n etPn−1.

3. Exprimer P_n⁰ en fonction de Pn−1.

Exercice 7 (2018)

1. On poseQ(X) =XP(X) o`uP est un polynˆome scind´e `a racines simples.

Montrer queQ⁰ est un polynˆome scind´e `a racines simples.

2. Montrer queX²P⁰⁰(X)+3XP⁰(X)+P(X) est aussi un polynˆome scind´e `a racines simples.

Exercice 8 (2015)

Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 et E=Rn[X]. On consid`ere l’application ϕ:P 7−→Q o`u Q(X) =P(X+ 1)−P(X).

1. Montrer queϕest un endomorphisme de E.

2. Donner le noyau et l’image deϕ.

3. ´Ecrire la matrice de ϕdans la base canonique deRn[X].

4. L’endomorphismeϕest-il diagonalisable ?

Exercice 9 (2018)

Soit E=Rn[X] etϕ l’application d´efinie surE parϕ(P) = ((X²+ 1)P)⁰⁰. 1. Montrer queϕest un endomorphisme de E.

2. Donner la matrice de ϕdans la base canonique de E.

3. ϕest-elle bijective ? 4. ϕest-elle diagonalisable ?

5. On note λ₀ < λ₁ < . . . < λ_n les valeurs propres de ϕetP_i un polynˆome non nul tel que ϕ(Pi) =λiPi. Montrer que deg(Pi) =i.

Exercice 10 (2018)

Soit E=Rn[X] et soitu d´efini sur E paru(P) =XP⁰⁰+ (1−X)P⁰. 1. Montrer queu est un endomorphisme deE.

2. Montrer queu est diagonalisable.

3. D´eterminer ses sous-espaces propres.

Exercice 11 (2016, CCP)

Soit f un endomorphisme de E tel quef² = 1

2(f +id_E).

1. Montrer qu’il existe deux suites (a_n) et (b_n) telles que :∀n∈N,fⁿ=a_n.f+b_n.id_E. 2. `A quelle condition a-t-on unicit´e de (a_n) et (b_n) ?

3. Prouver la convergence des deux suites (a_n) et (b_n) et d´eterminer leurs limites.

4. Soit p=A.f+B.id_E o`uA etB d´esignent les limites respectives des suites (a_n) et (b_n).

Prouver que pest un projecteur de E.

Exercice 12 (2017)

Trouver les endomorphismes f de R² tels que Kerf = Imf.

Soitr ∈ L(E) d´efini parr=p+q−q◦p o`upetqsont deux projecteurs deE tels quep◦q = 0.

1. Montrer quer est un projecteur.

2. Montrer que Ker(r) = Ker(p) ∩Ker(q).

3. Montrer que Im(r) = Im(p) + Im (q).

Exercice 14 (2018)

Soit E =L_R(C) l’ensemble des endomorphismes de Cconsid´er´e comme unR-espace vectoriel.

Pour (a, b)∈C², on consid`ere l’application f_a,b:z7−→az+bz.

1. Montrer queE ={f_a,b, (a, b)∈C²}.

2. Donner en fonction de aet de ble d´eterminant et la trace def_a,b.

3. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour quef_a,b soit diagonalisable.

Exercice 15 (2015 et Mines-T´el´ecom 2016)

Soit E un R-espace vectoriel de dimension netf etg deux endomorphismes deE tels que : f +g=idE et rg(f) + rg(g)≤n.

1. Montrer que Kergest inclus dans Imf puis montrer l’´egalit´e. Que peut-on dire deg◦f? 2. Montrer quef etgsont des projecteurs.

Exercice 16 (2019)

Soit A=









0 1 0 0 1 k 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0







 .

1. On suppose quek∈R. La matrice A est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

2. Pour quelles valeurs de k∈Cla matrice Aest-elle diagonalisable ?

Exercice 17 (2016) Soit A=





0 0 1 2 1 0 0 0 1



 etM ∈ M₃(R) telle que M² =A.

1. Montrer queA est trigonalisable mais n’est pas diagonalisable.

2. Montrer que sp(M)⊂ {−1,0,1}.

3. Que peut-on dire de la dimension des sous-espaces propres deM? 4. Montrer que 0 est valeur propre de M.

5. D´eterminer toutes les matricesM solutions.

Exercice 18 (2016, reconstitu´e) Soit M =





1 0 −2

−4 5 11

2 −2 −5



 la matrice deu∈ L(R³) dans une base (e₁, e₂, e₃).

1. Calculer le polynˆome caract´eristique de M.

2. Montrer queM est diagonalisable sur C, mais pas surR. 3. D´eterminer les ´el´ements propres r´eels deu.

4. D´eterminerF = ker(u²+ id).

5. Donner une base (ε₁, ε₂) deF telle que u(ε₁) =ε₂.

6. Donner une base deR³ dans laquelle la matrice de uadmet exactement trois coefficients non nuls.

Exercice 19 (2016)

1. Soit A la matrice d’ordre 3 dont tous les coefficients sont ´egaux `a 1 sauf ceux sur la diagonale, ´egaux `a 2. A est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

2. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel :







x⁰⁰ = 2x+y+z y⁰⁰=x+ 2y+z z⁰⁰ =x+y+ 2z

Exercice 20 (2017) Soit ϕ:P ∈Rn[X]7−→

Z X+1 X

P(t)dt.

1. Montrer queϕest une application lin´eaire.

2. Calculer ϕ(X^k). ϕest-il un endomorphisme de Rn[X] ?

3. D´eterminer la matrice deϕ dans la base canonique deRn[X]. Est-elle diagonalisable ? 4. Montrer que pour tout polynˆome P ∈Rn[X], (ϕ(P))⁰=ϕ(P⁰).

Exercice 21 (2016) 1. Montrer quez_n=

1 +iα n

n

´equivaut `a e^iα quandn tend vers l’infini.

2. Diagonaliser A_n=

1 ^α_n

−^α_n 1

.

3. D´eterminer la limite de Aⁿ_n quandn tend vers l’infini.

Exercice 22 (2016) 1. D´emontrer que

n

X

k=1

k³ = (n(n+ 1))²

4 .

2. Soit A= (a_ij) o`ua_ij =ij². Quel est le rang de A?

Qu’en d´eduire quant `a ses valeurs propres ?A est-elle diagonalisable ?

Soit E un espace vectoriel de dimensionn≥1,f ∈ L(E) et kun entier.

On poseNk = Kerf^k etIk = Imf^k.

1. Montrer queN_k ⊂N_k+1 et que si N_k=N_k+1 alorsN_k+1=N_k+2. 2. Montrer qu’il existe un entier k tel queNk=Nk+1.

Indication : utiliser la suite des dimensions des N_k.

3. Soit p le plus petit entier tel queNp =Np+1. Montrer queE =Np⊕Ip.

Exercice 24 (2016)

Soit f etg deux endomorphismes d’un espace vectoriel E.

1. Montrer quef ◦getg◦f ont les mˆemes valeurs propres non nulles.

2. On suppose dans cette question que E est de dimension finie.

Montrer quef ◦getg◦f ont le mˆeme spectre.

3. En dimension infinie, montrer que 0 peut ˆetre valeur propre de g◦f sans ˆetre valeur propre de f◦g. On pourra consid´ererf :P ∈R[X]7−→P⁰ etg:P ∈R[X]7−→XP.

Exercice 25 (2017)

Soit α∈R^+∗, β∈R,P ∈R[X] etf :P 7−→((αX+β)P)⁰. 1. Montrer quef est un endomorphisme deR[X].

2. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de f. 3. Justifier que Rn[X] est stable par f.

4. ´Ecrire la matriceA de l’endomorphisme induit parf surRn[X], dans la base canonique.

5. Diagonaliser A.

Exercice 26 (2015, tronqu´e)

On consid`ere la matrice carr´ee Mn de taille n avec 2 cosθ sur la diagonale et des 1 de part et d’autre de cette diagonale.

1. ´Ecrire la formule donnant le coefficient g´en´erique de cette matrice.

2. Montrer que le d´eterminant Dn de Mnv´erifie une relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre 2 que l’on pr´ecisera.

3. En d´eduire une expression de D_n en fonction de net de θ.

Exercice 27 (2007)

A∈ M_n(C) est dite nilpotente s’il existe un entierm strictement positif tel queA^m = 0.

1. Quelles sont les valeurs propres possibles de l’endomorphisme associ´e `a Anilpotente ? 2. Que vaut son polynˆome caract´eristique ? En d´eduire la valeur de det(A) et de Tr(A).

3. A est-elle diagonalisable ? trigonalisable ? 4. Soit A=





−4 a 1

−12 a+b 3

−4 1 a



. D´eterminer aetb de telle sorte queA soit nilpotente.

Exercice 28 (2018, 2015)

1. Combien y a-t-il de vecteurs de R⁴ dont deux coordonn´ees valent 1 et les deux autres

−1 ?

2. Montrer qu’ils sont tous vecteurs propres deM =









0 X Y Z

X 0 Z Y

Y Z 0 X

Z Y X 0







 . Donner les valeurs propres associ´ees.

3. Trouver les quatre valeurs propres de M.

4. Donner une expression factoris´ee du d´eterminant de M.

5. Montrer que l’ensemble des triplets (X, Y, Z) pour lesquelsM n’est pas inversible est la r´eunion de quatre plans.

6. D´eterminer les triplets (X, Y, Z) pour lesquelsM est une matrice de sym´etrie.

Exercice 29 (2015)

Soit f un endomorphisme de C² tel que Tr(f) = 0.

1. Montrer quef² est une homoth´etie. On noteλson rapport.

2. On suppose queλn’est pas nul.

(a) Montrer qu’il existe un nombre complexeα et une sym´etrie sdeC² tels quef =αs.

(b) Justifier qu’il existe une base de C² dans laquelle la matrice de f est

0 α α 0

. 3. On suppose queλest nul et f non nul.

Montrer qu’il existe une base de C² dans laquelle la matrice de f est

0 1 0 0

.

Exercice 30 (2015)

Soit A∈ M_3,2(R) et B ∈ M_2,3(R) telles queAB=





0 0 0 0 9 0 0 0 9



.

1. Montrer que (AB)²= 9AB.

2. Justifier que rg(BA)≤2 et d´eduire de ce qui pr´ec`ede queBAest inversible.

3. Montrer que la matrice BA annule le polynˆome X³−9X². En d´eduire l’expression de BA.

Exercice 31 (2015, 2013)

Soit E un R-espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f³=id.

1. Montrer que Im(f −id)⊂Ker(f²+f+id).

2. En d´eduire que Ker(f −id)⊕Im(f −id) =E.

3. Chercher les valeurs propres dans Cde f.

4. Montrer queE = Ker(f−id)⊕Ker(f²+f +id).

Soit φl’application d´efinie surM_n(R) par φ(M) =M+ Tr(M)A, o`u A∈ M_n(R) est non nulle donn´ee.

1. Montrer queφ∈ L(M_n(R)).

2. Montrer queφ est bijectif lorsque Tr(A)6=−1.

3. Donner le rang de φlorsque Tr(A) =−1.

4. Retrouver directement le r´esultat de la question 2 lorsquen= 2.

Exercice 33 (2015)

1. Montrer que l’ensembleGdes matrices complexes de la forme

a −b b a

aveca²+b²6= 0 est stable pour le produit matriciel.

2. Pour A∈G etz∈C, on pose :h_A(z) = az−b

bz+a. Montrer queh_A◦h_A⁰ =h_AA⁰. 3. On donne z₀ ∈C etz_n+1 =h_A(z_n). Exprimer z_n en fonction de a, b, z₀ etn.

Exercice 34 (2015)

1. Pour AetB de M₂(R) fix´ees, montrer quef :M 7−→AM−M B est un endomorphisme de M₂(R).

2. Donner sa matrice dans la base canonique.

3. `A quelle condition n´ecessaire et suffisante,f est-il nul ? L’endomorphismef peut-il ˆetre de rang 1 ?

Exercice 35 (2019, 2017, deux questions manquantes)

On dit que la matrice A= (a_ij)_ij ∈ M_n(C) est `a diagonale strictement dominante si :

∀i∈[[1, n]], |a_ii|>X

j6=i

|a_ij|.

1. Les matrices A=





4 0 2

0 2 0

2 −1 2



et B=





3 1 1 +i

1 +i 9/2 3

1 + 2i e 5



 sont-elles `a diagonale strictement dominante ?

2. Soit A∈ M₂(C) une matrice `a diagonale strictement dominante.

Montrer que det(A)6= 0. Qu’en d´eduit-on ?

3. Soit A∈ M_n(C) une matrice `a diagonale strictement dominante, et soitZ =





 z1

... zn





∈ M_n,1(C) tel que AZ = 0.

(a) On poseM = max

i∈[[1,n]]|z_i|. Montrer que :∀i∈[[1, n]],|a_ii||z_i| ≤MX

j6=i

|a_ij|.

(b) En d´eduire queZ est nul. Que peut-on en d´eduire sur A?

Exercice 36 (2017)

Soit M =



















1 1 0 · · · 0 0 . .. ... ... ...

... . .. ... ... 0 0 . .. ... 1 1 0 · · · 0 1



















de taillen.

1. D´eterminer le noyau deM (on pourra discuter selon la parit´e de n).

2. D´eterminer le rang deM et une base de son image.

Exercice 37 (2014)

Soit l’applicationϕ d´efinie par :∀M ∈ M₂(C), ϕ(M) = Tr(M)I₂−M.

1. Pour M =

a b c d

, calculerϕ(M).

2. Montrer queϕest un automorphisme deM₂(C). ´Ecrire sa matrice dans la base canonique.

3. D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deϕ.

Exercice 38 (2014)

Soit une colonne C `a nlignes, une ligne L `ancolonnes, non nulles, et A=CL−In. 1. Peut-on avoir A=−I_n? Montrer que A² = (LC−2)A+ (LC−1)I_n.

2. `A quelle conditionA est-elle la matrice d’une sym´etrie ?

3. D´eterminer une ´equation du second degr´e v´erifi´ee parλvaleur propre deAet ´etudier la diagonalisabilit´e de A.

Exercice 39 (2016)

1. Soit E l’ensemble des suites de p´eriode 4. Montrer que E est un espace vectoriel.

2. Soit ϕd´efinie surE×E parϕ(u, v) =

3

X

k=0

(u_k+ku_k+1)(v_k+kv_k+1).

Montrer queϕest un produit scalaire sur E.

3. Trouver une base de E.

Exercice 40 (2013)

Dans l’espace usuel euclidien R³, on consid`ere un vecteur w tel quekwk=a(a >0) et l’appli- cationf :x7−→w∧x.

1. Montrer quef est un endomorphisme deR³.

Donner une caract´erisation de son image et de son noyau en fonction dew.

orthogonaleP telle que :

A=P





0 −a 0 a 0 0

0 0 0



P⁻¹.

3. On poseUn=

n

X

k=0

1

k!A^k. D´eterminer la limite de Un lorsquentend vers +∞.

Exercice 41 (2018, une question manquante)

Soit M ∈ M₄(R) telle que M²=M−I₄, et soitf l’endomorphisme canoniquement associ´e.

1. Calculer M³.

2. D´eterminer les valeurs propres complexes deM. Pr´eciser leur ordre de multiplicit´e.

3. Soit U ∈R⁴ non nul. Montrer que (U, M U) engendre un plan stable parf.

Exercice 42 (2015)

Soit n∈NetE =Rn[X]. On consid`ere les applications suivantes : ϕ:

E −→ R

Q 7−→ Q(0) et (·|·) :

E² −→ R

(P, Q) 7−→

Z 1 0

P(x)Q(x)dx . 1. Montre que (·|·) est un produit scalaire surE.

2. Montrer queϕest lin´eaire. Est-elle injective ? surjective ? 3. Montrer que l’application

E −→ L(E,R) P 7−→

E −→ R

Q 7−→ (P|Q)

est un isomorphime.

4. Montrer que∀n∈N,∃!P_n∈Rn[X], ∀Q∈Rn[X],(P_n|Q) =Q(0).

5. D´eterminerP₀, P₁ etP₂.

Exercice 43 (2015)

On consid`ere la matrice S=





3 0 2 0 2 0 2 0 3



.

1. Existe-t-il une matriceP orthogonale et une matriceDdiagonale telles queS =P D^tP? 2. Trouver DetP telle que det(P) = 1.

3. Trouver toutes les matrices qui commutent avec D.

4. Trouver l’unique matrice sym´etriqueR dont les valeurs propres sont positives et telle que R²=S.

Exercice 44 (2019, 2018)

On note E l’ensemble des matrices M sym´etriques r´eelles d’ordre nv´erifiant :

∀X ∈ M_n,1(R), X 6= 0, ^tXM X >0.

1. Montrer que si M appartient `a E, alors les valeurs propres de M sont strictement posi- tives. Montrer la r´eciproque.

2. Montrer que la somme de deux matrices de E appartient aussi `aE.

3. Montrer que si M ∈E,M est inversible etM⁻¹ ∈E.

4. SoitA etB deux matrices de E. Montrer en la r´e´ecrivant sous la forme d’un produit que la matriceI +AB est inversible.

Exercice 45 (2017)

Soit E=R³ muni de sa structure usuelle, u=



 a b c



6= 0 etf d´efini parf(x) =x+u∧x.

1. V´erifier quef est un endomorphisme de E et donner sa matrice dans la base canonique.

2. Montrer que 1 est l’unique valeur propre r´eelle def. Donner le sous-espace propre associ´e.

3. f est-il diagonalisable ? bijectif ? Donner rg(f).

Exercice 46 (2018)

Soit n∈ N^∗, M ∈ M_n(R) une matrice antisym´etrique et orthogonale et f_M l’endomorphisme canoniquement associ´e `a M.

1. Calculer M² et en d´eduire quen ne peut pas ˆetre impair.

2. SoitU un vecteur non nul deRⁿ. Prouver queU etM U sont orthogonaux puis d´eterminer l’existence d’un unique plan P_U contenantU et stable parf_M.

3. Sin= 4, montrer qu’il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice defM est









0 −1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 1 0







 .

Exercice 47 (2019)

Soit (E,(·|·)) un espace euclidien de dimension 4 et B= (e1, e2, e3, e4) une base orthonorm´ee de E. Soit u∈ L(E) de trace nulle etA sa matrice dans la baseB.

1. Montrer que

4

X

k=1

(u(e_k)|e_k) = 0.

2. Montrer qu’il existe (i, j)∈ 1,42

tel que (u(e_i)|e_i)≥0 et (u(e_j)|e_j)≤0.

3. En consid´erant la fonctionf :t7−→(u(tei+ (1−t)ej)|te_i+ (1−t)ej), montrer qu’il existe un vecteur unitaire w tel que (u(w)|w) = 0.

4. En d´eduire l’existence d’une base orthonorm´eeB⁰ telle que le coefficient de la premi`ere ligne et la premi`ere colonne de la matrice de udans cette base soit nul.

5. Prouver enfin qu’il existe une base orthonorm´eeB⁰⁰ telle que les coefficients diagonaux de la matrice deu dans cette base soient tous nuls.

Soit (E,(·|·)) un espace euclidien de dimension n ≥ 1. Un endomorphisme f de E est dit antisym´etrique s’il v´erifie :∀(x, y)∈E², (f(x)|y) =−(x|f(y)).

1. Montrer quef est antisym´etrique si et seulement si il v´erifie :∀x∈E, (f(x)|x) = 0.

2. Soit f un endomorphisme antisym´etrique. Montrer que Ker f et Im f sont des suppl´e- mentaires orthogonaux.

3. On pose s=f◦f. Montrer que :∀(x, y)∈E², (s(x)|y) = (x|s(y)) (sest dit sym´etrique) et que ses valeurs propres sont n´egatives ou nulles.

4. Sin= 3, montrer qu’il existe un r´eel α et une base orthonorm´eeB de E tels que : MatB(f) =





0 0 0

0 0 −α

0 α 0



.

Exercice 49 (2019)

1. Montrer queE ={f ∈ C¹([0,+∞[,R), f(0) = 0, f born´ee}est un espace vectoriel.

2. Montrer que, pour (f, g)∈E², l’int´egrale Z +∞

0

f(t)g(t)

t² dt converge.

3. Montrer que (f, g)∈E²7−→

Z +∞

0

f(t)g(t)

t² dtest un produit scalaire surE.

4. Montrer que, pour (f, g)∈E², l’´egalit´e Z +∞

0

f(t)g(t) t² dt=

Z +∞

0

f⁰(t)g(t) +f(t)g⁰(t)

t dt.

5. SoitG= Vect(g₁, g₂), o`ug_k:t7−→1−e^−kt. On admet que Z +∞

0

e^−at−e^−bt

t dt= ln(b/a).

D´eterminer la projection orthogonale def ∈E sur G.