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Fonction caract´eristique

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Fonction caract´ eristique

D´edou

Avril 2013

(2)

Fonction caract´ eristique

La fonction caract´eristique d’une partieAde R a la carte de visite suivante

χA: R → B

x 7→ x ∈A

Exemple

La fonction caract´eristique de I := [0,+∞[ est la fonction

χI := if x ≥0 then V else F.

(3)

Fonction caract´ eristique et op´ erations

La fonction caract´eristique d’une intersection est la conjonction des fonctions caract´eristiques :

Exo corrig´e

Formaliser et prouver ¸ca.

(4)

Fonction caract´ eristique et op´ erations

La fonction caract´eristique d’une r´eunion est la disjonction des fonctions caract´eristiques :

Exo 4

Formaliser et prouver ¸ca.

La fonction caract´eristique d’un compl´ementaire est la n´egation de la fonction caract´eristique initiale.

(5)

La construction support

Voici la carte de visite de la construction support supp: (R→B) → Ens

P 7→ supp(P) P 7→ {x:R|P(x)}

{x :R|P(x)} se lit

“l’ensemble des x deR v´erifiant (ou tels que) P(x)”

les ´el´ements de cet ensemble sont les r´eels v´erifiantP dans {x :R|P(x)}, la variablex est li´ee

on a donc{x:R|P(x)}={y :R|P(y)}.

Exemple

On a{x :R|x >e etx < π}=]e, π[.

(6)

Les ´ el´ ements d’un support

Comme son nom l’indique

Les ´el´ements de{x:R|P(x)} sont les r´eels v´erifiant P

On a donc la r`egle d’explicitation :

∀a:R,∀P :R→B,

a∈ {x:R|P(x)} ⇔P(a).

Exemple

On ae+π ∈ {x :R|x2 ≤x} ssi (e+π)2 ≤e+π.

Exo 5

Explicitez 1 +√

2∈ {x :R|x2−x−1 = 0}.

(7)

Support et fonction caract´ eristique

L’application support : (R→B)→ P(R)

est bijective et sa r´eciproque est l’application “fonction caract´eristique :P(R)→(R→B).

Preuve : SoitAune partie de R,χA sa fonction caract´eristique et x dans le support de cette derni`ere. On a doncχA(x) =V ce qui veut dire quex est dansA. Et inversement, si x est dansAalors χA(x) est Vrai et donc x est dans le support deχA. Dans l’autre sens, soitf une fonction quelconque surR `a valeurs dans ,S son support,c la fonction caract´eristique de ce dernier, et x un r´eel quelconque. Sif(x) est vrai, alors x est dansS etc(x) est vrai. Si au contrairef(x) est faux, alorsx n’est pas dansS et c(x) est faux.

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