Le polynˆome caract´eristique est χ= X2−√ 2 X + 1

MT241. Cours n^o 14, vendredi 15 novembre 2002.

Rappel : vecteurs propres, valeurs propres.

Exemple: rotation d’angle π/4 dans R². Il est g´eom´etriquement ´evident que l’endomor- phismerde rotation d’angle π/4 dansR² n’a aucun vecteur propre, car r(v) n’est jamais proportionnel `a v quand le vecteur v est non nul. Cet endomorphisme r a pour matrice

R = Ã ₁

√2 −^√1₂

√1 2

√1 2

!

dans la base canonique. Le polynˆome caract´eristique est χ= X²−√

2 X + 1. Ce trinˆome n’a pas de racine r´eelle, ce qui confirme le fait que l’endomorphisme r n’a aucune valeur propre et aucun vecteur propre.

En revanche, l’endomorphisme de C² d´efini par u(z1, z2) = ((z1−z2)/√

2,(z1+z2)/√ 2)

dont la matrice dans la base canonique deC² est la mˆeme matrice R, admet les vecteurs (1, i) et (1,−i) comme vecteurs propres, avec (1−i)/√

2 et (1 +i)/√

2 comme valeurs propres. Dans ces deux exemples la matrice (dans la base canonique de R² ouC²) est la mˆeme, la diff´erence vient du changement de corps de base.

Compl´ements sur les d´eterminants

Surface orient´ee et volume orient´e. J’ai indiqu´e des arguments physiques pour convaincre que la surface orient´ee S(x1, x2) du parall´elogramme construit sur deux vecteurs x1, x2

de R² doit v´erifier les trois propri´et´es suivantes:

– elle est lin´eaire par rapport `a chacun de deux vecteurs – S(x, x) = 0 pour tout vecteur x∈R²

– S(e1, e2) = 1.

J’ai ensuite montr´e que ces propri´et´es la caract´erisent compl`etement, et que le r´esultat est le d´eterminant des deux vecteurs dans la base canonique.

J’ai indiqu´e la g´en´eralisation aux volumes orient´es dans R³. Le d´eterminant du syst`eme de vecteurs (X<sub>1</sub>,X<sub>2</sub>,X<sub>3</sub>) est ´egal au volume orient´e du parall´el´epip`ede construit sur ces trois vecteurs.

Fonction multilin´eaire altern´ee. Unicit´e

On consid`ere un espace vectoriel E surK.

D´efinition 4.4.1. Une forme p-lin´eaire altern´ee sur E est une applicationϕ de E^p dans K telle que

1. Pour toutj = 1, . . . , pet pour tous vecteurs (x1, . . . , xp) fix´es dans E, l’application x∈E→ϕ(x1, . . . , xj−1, x, xj+1, . . . , xp) est lin´eaire de E dans K.

2. S’il existe i6=j tel que xi =xj, alors ϕ(x1, . . . , xp) = 0.

Il en r´esulte que sii6=j, la fonctionϕchange de signe quand on ´echange les variables x_i et x_j,

ϕ(x₁, . . . , x_i−1, x_i, x_i+1, . . . , x_j, . . . , x_p) =−ϕ(x₁, . . . , x_i−1, x_j, x_i+1, . . . , x_i, . . . , x_p).

Proposition. Si ψ1 et ψ2 sont deux formes n-lin´eaires altern´ees sur E de dimension n et si ψ1(e1, . . . , en) =ψ2(e1, . . . , en), alors ψ1 =ψ2.

On veut montrer que ϕ= ψ1−ψ2 est nulle, `a partir de ϕ(e1, . . . , en) = 0. J’ai rappel´e que toute permutation π peut s’´ecrire τ₁◦. . .◦τ_q, produit de transpositions, et qu’en cons´equence

ϕ(e_π(1), . . . , e_π(n)) = (−1)^qϕ(e1, . . . , en) = 0

et d’autre part ϕ(e_i1, . . . , e_in) = 0 quand on n’a pas une permutation, donc ϕ(ei1, . . . , ein) = 0

dans tous les cas. Ensuite j’ai ´ecrit sans m´enagements ϕ(x1, . . . , xn) = X

i1,...,in

xi1,1. . . xin,nϕ(ei1, . . . , ein) = 0.

D´eterminant d’un syst`eme de vecteurs dans une base de E

Soite = (e1, . . . , en) une base de E ; on appelle d´eterminant par rapport `a la basee l’unique forme n-lin´eaire altern´ee ϕe telle que ϕe(e1, . . . , en) = 1. On le notera dete. D´eterminant d’un endomorphisme

Soit E un espace vectoriel de dimension finie > 0 sur le corps K; on va montrer qu’on peut d´efinir le d´eterminant d’un endomorphisme a ∈ L(E), ind´ependamment du choix d’une base de E.

Soit e une base de E, et notons A_e = mat(a,e,e) = mat_e(a) la matrice de a par rapport `a la base e; consid´erons le d´eterminant det Ae de cette matrice. Si on change de base, on aura A_f = V⁻¹A_eV, donc

det Af = det V⁻¹det Aedet V = det Ae,

ce qui montre que le d´eterminant de la matrice de a ne d´epend pas de la base choisie, donc il est raisonnable de dire que c’est le d´eterminant de a.

D´efinition 5.1.1. Soit E un espace vectoriel de dimension n > 0 ; le d´eterminant d’un endomorphisme a∈ L(E) est donn´e par

deta= dete(a(e1), . . . , a(en)), o`u e est une base quelconque de E.

Si e est une base de E, le d´eterminant d’un endomorphisme a de E est ´egal au d´eterminant de la matrice A de a par rapport `a la base e.

Injectivit´e, surjectivit´e, rang

Proposition 4.2.1. Soitu une application lin´eaire de E dans F. Si E est de dimension finie, on a

dim E = dim keru+ dimu(E) = dim keru+ rangu.

En particulier, si dim F = dim E, une application lin´eaire de E dans F est injective si et seulement si elle est surjective.

Polynˆome caract´eristique

Si E est de dimension n et a ∈ L(E), le d´eterminant de a−λId_E est une fonction polynomiale de degr´e n en λ (voir plus loin); il existe un polynˆome χa ∈ K[X], de la forme

χa = det(a) +c1X +· · ·+cn−1Xⁿ⁻¹+ (−1)ⁿXⁿ

tel que det(a−λIdE) =χa(λ) pour tout λ ∈K. C’est le polynˆome caract´eristiquede a.

On note que degχ_a = dim E =n.

Corollaire 5.1.1.SoientEun espace vectoriel de dimension finie>0sur Keta∈ L(E); les valeurs propres de a sont les racines de χ_a qui sont dans K.

Si A est une matrice n×n`a coefficients dans K, on d´esigne par χA le polynˆome tel que pour tout λ∈K

χ_A(λ) = det(A−λI_n).

Si E est un espace vectoriel de dimensionnsur K, si on choisit une base de E et si A est la matrice d’un endomorphisme a de E dans cette base, on auraχa=χA.

Exemple de polynˆome caract´eristique

Cas d’une matrice triangulaire sup´erieure A = (a_i,j) : on voit directement dans ce cas queχA=Q_n

i=1(ai,i−X) puisque le d´eterminant caract´eristique est triangulaire. Les valeurs propres de A sont donc les coefficients diagonaux de la matrice triangulaire A.

Cours n^o 15, lundi 18 novembre 2002.

Rappel: forme k-lin´eaire altern´ee; on consid`ere un espace vectoriel E sur K. Une forme k-lin´eaire altern´eesur E est une application ϕ de E^k dans K telle que

1. elle est lin´eaire par rapport `a chacun des k vecteurs, les autres ´etant fix´es;

2. s’il existe i6=j tel que x_i =x_j, alors ϕ(x₁, . . . , x_k) = 0.

Cons´equence: si on ´echange deux des k vecteurs, l’expression change de signe.

Exemple d’une forme 2-lin´eaire sur K³.

A tout couple (x₁, x₂) de deux vecteurs de K³ associons le d´eterminant du mineur {1,2} × {1,2} de la matrice 3×2 dont les deux colonnes sont les coordonn´ees de x1 et x₂,

ϕ(x1, x2) =x11x22−x21x21. C’est une forme 2-lin´eaire altern´ee sur K³.

Proposition 4.4.1. Formes altern´ees et ind´ependance. Si un syst`eme (x₁, . . . , x_k) de vecteurs de E est li´e, toute fonction k-lin´eaire altern´ee sur E s’annule sur (x1, . . . , xk).

En effet, si

a1x1+· · ·+akxk = 0E

avec par exemple a1 6= 0, on ´ecrit

0 =ϕ(0_E, x₂, . . . , x_k) = Xk

j=1

a_jϕ(x_j, x₂, . . . , x_k) =a₁ϕ(x₁, x₂, . . . , x_k).

Cas particulier: k = dim E

Reprise d’un fait g´en´eral sur le cas particulier de la dimension 3: si on connaˆıt ϕ(e₁, e₂, e₃) =a, on pourra d’abord calculer, avec un ´echange de deux vecteurs

ϕ(e₂, e₁, e₃) =ϕ(e₃, e₂, e₁) =ϕ(e₁, e₃, e₂) =−a puis apr`es un deuxi`eme ´echange

ϕ(e2, e3, e1) =ϕ(e3, e1, e2) =a.

Les 21 autres choix (sur 27 au total) d’un triplet d’indices (i1, i2, i3)∈ {1,2,3}³ contien- nent tous deux fois un mˆeme vecteur, donc ϕ= 0 pour tous ceux-la.

On sait donc calculer tous les ϕ(ei1, ei2, ei3); par lin´earit´e par rapport `a chaque variable on voit ensuite que toutes les valeurs ϕ(x1, x2, x3) se calculent `a partir des ϕ(ei1, ei2, ei3).

Rappel: on peut montrer plus g´en´eralement le r´esultat d’unicit´e suivant: Si dim E = n, si (e1, . . . en) est une base de E, si ϕ, ψ sont deux formes n-lin´eaires sur E, et si ϕ(e1, . . . , en) =ψ(e1, . . . , en), alors ϕ=ψ.

Exemples d’applications de l’unicit´e.

1. Une d´emonstration de la formule det(AB) = det A det B. Consid´erons l’endomor- phisme a de Cⁿ dont la matrice dans la base canonique est A. On a

det A = dete(a(e1), . . . , a(en)).

Consid´erons les deux formes n-lin´eaires altern´ees ϕ et ψ d´efinies sur Cⁿ par ϕ(x1, . . . , xn) = (det A) dete(x1, . . . , xn)

et

ψ(x1, . . . , xn) = dete(a(x1), . . . , a(xn)).

Ces deux formes co¨ıncident sur la base canonique (e₁, . . . , e_n) donc elles sont ´egales. Si B est une autre matrice, associ´ee `a l’endomorphisme b, on ´ecrira

det(AB) = dete(a(b(e1)), . . . , a(b(en))) =ψ(b(e1), . . . , b(en)) =

=ϕ(b(e1), . . . , b(en)) = det A det B.

2. D´eterminant par blocs. Consid´erons une matrice carr´ee M de la forme M =

µA B

0 D

¶

o`u A et Dsont des matrices carr´ees. Le d´eterminant de M est ´egal `a det A det D.

D´emonstration. Supposons que A soit de taille p×p et D de taille q ×q. Consid´erons lorsque B et D sont fix´ees la fonction

A →ϕ(A) = det

µA B

0 D

¶ .

C’est une forme p-lin´eaire altern´ee des colonnes de A, qui est donc proportionnelle `a la fonction A→det A, donc

ϕ(A) = ϕ(I_p) det A = det

µIp B

0 D

¶

det A.

Il est facile de terminer en montrant que ψ(D) = det

µIp B

0 D

¶

= det D

soit par le calcul (d´evelopper suivant la premi`ere colonne, puis r´ecurrence sur p), soit en consid´erant ce d´eterminant ψ(D) comme une fonction altern´ee des lignes de D et en raisonnant comme pour ϕ.

Lemme. Soient ϕune forme k-lin´eaire sur E et x₁, . . . , y_k, y₁, . . . , y_k des vecteurs de E fix´es ; la fonction

λ ∈K→ϕ(x₁+λy₁, . . . , x_k+λy_k)

est une fonction polynomiale de la variable λ, de degr´e ≤ k, `a coefficients dans K: il existe un polynˆome P∈K[X] de degr´e ≤k, de la forme

P =ϕ(x1, . . . , xk) +c1X +· · ·+ck−1X^k−1+ϕ(y1, . . . , yk) X^k et tel que ϕ(x1+λy1, . . . , xk+λyk) = P(λ) pour tout λ∈K.

D´emonstration. Par r´ecurrence sur k; pour passer dek `ak+ 1, on introduit la notation suivante: si ϕ est (k+ 1)-lin´eaire et si v∈E est fix´e on pose

ϕv(x2, . . . , xk+1) =ϕ(v, x2, . . . , xk+1).

On voit queϕv est une formek-lin´eaire `a laquelle on appliquera l’hypoth`ese de r´ecurrence.

On ´ecrira

ϕ(x1+λy1, . . . , xk+1+λyk+1) =

=ϕ_x1(x₂+λy₂, . . . , x_k+1+λy_k+1) +λϕ_y1(x₂+λy₂, . . . , x_k+1+λy_k+1).

Application au polynˆome caract´eristique

Si E est de dimension n, le d´eterminant de a−λIdE est une fonction polynomiale de degr´e n enλ d’apr`es le lemme pr´ec´edent, puisque dans toute base e de E on a

det(a−λIdE) = dete(a(e1)−λe1, . . . , a(en)−λen), et il existe un polynˆome χa ∈K[X], de la forme

χa = det(a) +c1X +· · ·+cn−1Xⁿ⁻¹+ (−1)ⁿXⁿ

tel que det(a−λId_E) =χ_a(λ) pour tout λ ∈K. C’est le polynˆome caract´eristiquede a.

On note que degχa = dim E =n.

Exemple: matrice compagnon

Etant donn´e un polynˆome P = a₀ +a₁X +· · ·+a_n−1Xⁿ⁻¹+ Xⁿ de degr´en ≥1 `a coefficients dans K, on lui associe une matrice n×n appel´ee matrice compagnon de P,

M(P) =









0 0 . . . 0 −a0

1 0 . . . 0 −a1

0 . .. ... ... ... ... . .. ... 0 −a_n−2

0 . . . 0 1 −an−1







 .

Le calcul du polynˆome caract´eristique de la matrice M(P) se fait par r´ecurrence sur le degr´e n de P, en d´eveloppant par rapport `a la premi`ere ligne. On montre que

χM(P) = (−1)ⁿP.

Sous-espaces stables

D´efinition 5.1.3. Soit a un endomorphisme de E ; on dit qu’un sous-espace vectoriel F de E est stable par a si a(F)⊂F, c’est `a dire

∀x ∈F, a(x)∈F.

Exemples.

1. Les sous-espaces {0} et E sont toujours stables.

2. Si dim F = 1 et a(F)⊂F, les vecteurs non nuls de F sont vecteurs propres de a.

3. Soient a, b∈ L(E); si a◦b=b◦a alors kerbet b(E) sont stables par a.

D´emonstration. Supposons que b(x) = 0E. On voit que b(a(x)) = a(b(x)) = 0E, donc a(x)∈kerb, ce qui montre que kerbest stable par a. Si y=b(x) appartient `a l’image de b, on auraa(y) =a(b(x)) =b(a(x))∈b(E), donc l’image b(E) est stable par a.

Interpr´etation matricielle de la stabilit´e

Si F⊂E est stable par a ∈ L(E), si f = (f₁, . . . , f_p) est une base de F et si e = (f₁, . . . , f_p, g₁, . . . , g_q)

est une base de E obtenue en compl´etant la base f de F, la matrice dea dans la base e est triangulaire par blocs pour la d´ecomposition E = [f1, . . . , fp]⊕[g1, . . . , gq].

Restriction

Si un sous-espace F⊂E est stable par a∈ L(E), on peut d´efinir un endomorphisme a₁ de F en posant a₁(y) =a(y)∈F pour tout y ∈F.

D´efinition 5.1.4. Soient a un endomorphisme de E et F un sous-espace vectoriel de E stable par a; l’endomorphisme restriction de a au sous-espace F est l’endomorphisme a₁ =a_|F : F→F d´efini par

∀y∈F, a1(y) =a(y)∈F.

Polynˆome caract´eristique de la restriction `a un sous-espace stable

Supposons que a ∈ L(E) admette un sous-espace stable F, et d´esignons par a1 la restriction dea`a F. On a dit qu’en formant une base de E en prenant d’abord une basef de F, suivie d’une base d’un suppl´ementaire quelconque G de F dans E, on obtient pour a une matrice M triangulaire par blocs pour la d´ecomposition E = F⊕G, dont le coin

“nord-ouest” est la matrice A1 dea1 dans la base f. Cela implique d’apr`es la proposition 4.4.2 que le polynˆome caract´eristique de a₁ divise χ_a.