Corrig´e LM345.
Exercice 1.
1) f(t) = cosb t est une fonction caract´eristique d’une v.a. X, o`u P(X =
−1) =P(X = 1) =12.
2)fb(t) = cost+sint n’est pas une fonction caract´eristique parce que f(t)b
>
1 pour certaines valeurs det.
3)fb(t) = (t+ 1)1[−1,0]+ (1−2t)1[0,1] n’est pas une fonction caract´eristique parce que fonction caract´eristique r´eelle doit ˆetre sym´etrique.
4) f(t) =b ϕb1(t)−ϕb2(t) n’est pas une fonction caract´eristique parce que fb(0) =ϕ1(0)−ϕ2(0) = 1−1 = 06= 1.
Exercice 2.
1. L’usager doit arriver `a l’arrˆet de bus soit dans l’intervale 8h10 - 8h15 soit dans l’intervale 8h25-8h30. Probabilit´e P1 de cet ´ev´enement est ´egale `a P1= 5+530 =13.Si l’usager arrive `a l’arrˆet de bus dans l’intervale 8h00 - 8h05 ou 8h15-8h20 il attend plus que 10 minutes. Probabilit´e P2 de cet ´ev´enement est
´egale `aP2=5+530 =13. 2.
(a)
Z 30
0
(30−y)2dy= Z 30
0
t2dt= 9000, a= 1 9000. (b)
P1= 1 9000
Z 15
10
(30−y)2dy+ 1 9000
Z 30
25
(30−y)2dy
= 1
9000 Z 5
0
t2dt+ Z 20
15
t2dt
= 19
108 ≈0,176 P2= 1
9000 Z 5
0
(30−y)2dy+ 1 9000
Z 20
15
(30−y)2dy
= 1
9000 Z 15
10
t2dt+ Z 30
25
t2dt
= 55
108 ≈0,509.
Exercice 3.
1. Le couple (U, V) prend les valeurs dans le triangle T ={(u, v) : 0≤u≤ a, u≤v≤a}.Pour (u, v)∈T
P(U ≤u, V ≤v) =P((X, Y)∈A) +P((X, Y)∈B) +P((X, Y)∈C) o`u A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤u, u ≤ y ≤ v}, B ={(x, y) : 0 ≤x ≤ u,0 ≤ y ≤ u}, C={(x, y) :u≤x≤v,0≤y≤u}.On a
P((X, Y)∈A) +P((X, Y)∈B) +P((X, Y)∈C) = (v−u)u a2 +u2
a2+(v−u)u a2
=(2v−u)u a2 . 1
est la densit´e du v.a. (U, V) est ´egale `a fU,V(u, v) = ∂2
∂u∂vP(U ≤u, V ≤v) = 2
a21[T](u, v).
2. Les v.a. U et V sont d´ependantes parce queU ≤V.
3. Pourz∈[−a,0]
P(Z≤z) =P(U−z≤V) = Z
A
fU,V(u, v)dudv = 2 a2 ×SA
o`u le triangle A est d`efinie comme {(u, v) : u−z ≤ v,(u, v)∈ T} et SA est l’aire de ce triangle. On a
SA=(a+z)2
2 , P(Z ≤z) = (1 +z
a)2, z∈[−a,0].
On a aussi pour 0< t≤1
P(T ≤t) =P(U ≤tV) = Z
B
fU,V(u, v)dudv= 2 a2 ×SB
o`u le triangle B est d`efinie comme{(u, v) : ut ≤v,(u, v)∈T} etSB est l’aire de ce triangle. On a
SB =a2t
2 , P(T ≤t) =t, t∈[0,1].
Exercice 4.
1. (a) L’espace d’arriv´ee de X est{1,2, ...,20}.L’espace d’arriv´ee de Y est {1,2,3,4}et de Z est{0,1,2,3,4,6,8}.
(b)
P(Z= 0) = 11
20, P(Z= 1) =P(12≤X <20, Y = 1) = 1 4× 8
20 = 1 10, P(Z= 2) =P(12≤X <20, Y = 2) +P(X = 20, Y = 1) = 1
10 + 1 80 = 9
80, P(Z = 3) =P(12≤X <20, Y = 3) = 1
10, P(Z= 4) =P(12≤X <20, Y = 4) +P(X = 20, Y = 2) = 1
10 + 1 80 = 9
80, P(Z = 6) =P(X = 20, Y = 3) = 1
80, P(Z = 8) =P(X = 20, Y = 4) = 1 80. 2. (a) EX = 201(1 + 2 +...+ 20) = 10,5. EY = 14(1 + 2 + 3 + 4) = 2,5.
EZ= 9+18+24+36+6+8
80 = 10080 = 54.
(b) σ2 = EZ2 −(EZ)2, EZ2 = 8+36+72+144+36+64
80 = 92, EZ = 54, σ2=7216−2516 =4716.
3. (a)P(Z1= 8, Z2= 8, ..., Z10= 8) = 80110 . (b)EVn=nEZ1=54n.
(c) La cons´equence directe du TCL.
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