cost+sint n’est pas une fonction caract´eristique parce que f(t)b &gt

Corrig´e LM345.

Exercice 1.

1) f(t) = cosb t est une fonction caract´eristique d’une v.a. X, o`u P(X =

−1) =P(X = 1) =¹₂.

2)fb(t) = cost+sint n’est pas une fonction caract´eristique parce que f(t)b

>

1 pour certaines valeurs det.

3)fb(t) = (t+ 1)1_[−1,0]+ (1−2t)1_[0,1] n’est pas une fonction caract´eristique parce que fonction caract´eristique r´eelle doit ˆetre sym´etrique.

4) f(t) =b ϕb1(t)−ϕb2(t) n’est pas une fonction caract´eristique parce que fb(0) =ϕ1(0)−ϕ2(0) = 1−1 = 06= 1.

Exercice 2.

1. L’usager doit arriver `a l’arrˆet de bus soit dans l’intervale 8h10 - 8h15 soit dans l’intervale 8h25-8h30. Probabilit´e P1 de cet ´ev´enement est ´egale `a P₁= ⁵⁺⁵₃₀ =¹₃.Si l’usager arrive `a l’arrˆet de bus dans l’intervale 8h00 - 8h05 ou 8h15-8h20 il attend plus que 10 minutes. Probabilit´e P₂ de cet ´ev´enement est

´egale `aP₂=⁵⁺⁵₃₀ =¹₃. 2.

(a)

Z 30

0

(30−y)²dy= Z 30

0

t²dt= 9000, a= 1 9000. (b)

P1= 1 9000

Z 15

10

(30−y)²dy+ 1 9000

Z 30

25

(30−y)²dy

= 1

9000 Z 5

0

t²dt+ Z 20

15

t²dt

= 19

108 ≈0,176 P₂= 1

9000 Z 5

0

(30−y)²dy+ 1 9000

Z 20

15

(30−y)²dy

= 1

9000 Z 15

10

t²dt+ Z 30

25

t²dt

= 55

108 ≈0,509.

Exercice 3.

1. Le couple (U, V) prend les valeurs dans le triangle T ={(u, v) : 0≤u≤ a, u≤v≤a}.Pour (u, v)∈T

P(U ≤u, V ≤v) =P((X, Y)∈A) +P((X, Y)∈B) +P((X, Y)∈C) o`u A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤u, u ≤ y ≤ v}, B ={(x, y) : 0 ≤x ≤ u,0 ≤ y ≤ u}, C={(x, y) :u≤x≤v,0≤y≤u}.On a

P((X, Y)∈A) +P((X, Y)∈B) +P((X, Y)∈C) = (v−u)u a² +u²

a²+(v−u)u a²

=(2v−u)u a² . 1

est la densit´e du v.a. (U, V) est ´egale `a fU,V(u, v) = ∂²

∂u∂vP(U ≤u, V ≤v) = 2

a²1_[T](u, v).

2. Les v.a. U et V sont d´ependantes parce queU ≤V.

3. Pourz∈[−a,0]

P(Z≤z) =P(U−z≤V) = Z

A

fU,V(u, v)dudv = 2 a² ×SA

o`u le triangle A est d`efinie comme {(u, v) : u−z ≤ v,(u, v)∈ T} et S_A est l’aire de ce triangle. On a

S_A=(a+z)²

2 , P(Z ≤z) = (1 +z

a)², z∈[−a,0].

On a aussi pour 0< t≤1

P(T ≤t) =P(U ≤tV) = Z

B

f_U,V(u, v)dudv= 2 a² ×S_B

o`u le triangle B est d`efinie comme{(u, v) : ^u_t ≤v,(u, v)∈T} etSB est l’aire de ce triangle. On a

S_B =a²t

2 , P(T ≤t) =t, t∈[0,1].

Exercice 4.

1. (a) L’espace d’arriv´ee de X est{1,2, ...,20}.L’espace d’arriv´ee de Y est {1,2,3,4}et de Z est{0,1,2,3,4,6,8}.

(b)

P(Z= 0) = 11

20, P(Z= 1) =P(12≤X <20, Y = 1) = 1 4× 8

20 = 1 10, P(Z= 2) =P(12≤X <20, Y = 2) +P(X = 20, Y = 1) = 1

10 + 1 80 = 9

80, P(Z = 3) =P(12≤X <20, Y = 3) = 1

10, P(Z= 4) =P(12≤X <20, Y = 4) +P(X = 20, Y = 2) = 1

10 + 1 80 = 9

80, P(Z = 6) =P(X = 20, Y = 3) = 1

80, P(Z = 8) =P(X = 20, Y = 4) = 1 80. 2. (a) EX = ₂₀¹(1 + 2 +...+ 20) = 10,5. EY = ¹₄(1 + 2 + 3 + 4) = 2,5.

EZ= 9+18+24+36+6+8

80 = ¹⁰⁰₈₀ = ⁵₄.

(b) σ² = EZ² −(EZ)², EZ² = 8+36+72+144+36+64

80 = ⁹₂, EZ = ⁵₄, σ²=⁷²₁₆−²⁵₁₆ =⁴⁷₁₆.

3. (a)P(Z₁= 8, Z₂= 8, ..., Z₁₀= 8) = ₈₀¹¹⁰ . (b)EVn=nEZ1=⁵₄n.

(c) La cons´equence directe du TCL.

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