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Quelle est la caract´eristique de l’anneau Z/3Z×Z/5Z ? 4

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Academic year: 2022

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Nom : Alg`ebre

Universit´e Paris Diderot Ann´ee 2015-16

Licence de Math´ematiques M. Livernet, L. Merel

INTERROGATION du 3 d´ecembre 2015

Dur´ee : 30 minutes. Tout appareil ´electronique et tout document est interdit. R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant bri`evement.

1. L’ensemble {(a, b)∈Z2/a−b∈2Z} est-il un sous-anneau deZ2 ? 2. L’anneau Z/9Z est-il int`egre ?

3. Quelle est la caract´eristique de l’anneau Z/3Z×Z/5Z ?

4. Soit A un anneau. Soit a∈A tel que a2 = 0. Montrer que 1 +a est inversible dans A.

5. Indiquer les ´el´ements inversibles deZ/15Z.

6. Un anneau A de caract´eristique 5 peut-il poss´eder un id´eal I tel que l’anneau quotient A/I est de caract´eristique 3 ?

7. Quel est l’id´eal de Z/15Z engendr´e par {¯3,¯5}, o`u ¯3 et ¯5 sont les classes de 3 et 5 respectivement modulo 15?

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