5) Soientxety des ´el´ements d’ordre 2 dans un groupeG

Universit´e Denis Diderot 14 octobre 2003

U.F.R. de Math´ematiques M. Fouquet, L. Merel

Licence de Math´ematiques et d’Informatique : Alg`ebre et G´eom´etrie TEST N^o 1

NOM : Pr´enom :

1) Donner trois exemples de groupes sans sous-groupe propre (un sous-groupe propre d’un groupe G est un sous-groupe distinct deG et de {e}).

2) Indiquer un groupe d’ordre 16 dont tous les ´el´ements sont d’ordre ≤4.

3) Soientx ety des ´el´ements d’ordre 3 et 5 respectivement d’un groupe G. Quel est l’ordre de (x, y)∈G×G?

4) Montrer que dansG=GL_n(R), le sous-ensembleHdes matrices de d´eterminant positif forme un sous-groupe distingu´e de G.

5) Soientxety des ´el´ements d’ordre 2 dans un groupeG. Montrer que si t=xy alors tx =xt⁻¹.

6) Indiquer tous les ´el´ements d’ordre 3 du groupe sym´etrique S₄. 7) Quel est l’ordre de la classe 9/5 dans le groupe Q/Z ?

R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant aussi bri`evement que possible.