Universit´e Denis Diderot 04 novembre 2003
U.F.R. de Math´ematiques M. Fouquet, L. Merel
Licence de Math´ematiques et d’Informatique : Alg`ebre et G´eom´etrie TEST No 2
NOM : Pr´enom :
1) Quelle est la liste, `a isomorphisme pr`es, des groupes ab´eliens d’ordre 700 ? 2) SoitR un anneau commutatif de caract´eristique p. Montrer que l’application
de R dans R qui `a x∈R associe xp est un homomorphisme d’anneaux.
3) D´ecrire le groupe des unit´es de M2(Z).
4) SoientI et J deux id´eaux bilat`eres d’un anneauR. Montrer que IJ ⊆I∩J.
5) Soit R un anneau. Montrer que si pour tout a ∈ R, a2 = a alors R est de caract´eristique 2.
6) L’ensemble des fonction f : R → R qui v´erifient f(1) = 1 est-il un id´eal de l’anneau des fonctions de R dans R?
7) Soitπ la surjection canonique de S4 dans S4/A4. Quel est l’ordre de π((12))?
R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant aussi bri`evement que possible.
