Montrer que ρ([ij][kl

ENS Lyon Alg`ebre 1

L3 2007-2008

TD 9 : Repr´esentations de groupes

Exercice 1

D´eterminer la table des caract`eres de Z/2Z×Z/2Z. Exercice 2

1. Soit V une repr´esentation d’un groupe fini G, de caract`ere χ. Montrer que χ(g⁻¹) =χ(g) pour tout g ∈G.

2. Montrer que le caract`ere associ´e `a une repr´esentation de S_n est r´eel.

3. Montrer que les seuls caract`eres lin´eaires de S_n sont 1 et .

Exercice 3

On se propose de d´eterminer l’unique repr´esentation irr´eductible ρde dimension 2 de S₄ (cf. table des caract`eres).

1. Montrer que ρ([ij][kl]) = Id pour tout {i, j, k, l}={1,2,3,4}.

2. Montrer que le sous-groupeH engendr´e par les [ij][kl] est distingu´e d’indice 6 dans S₄. En d´eduire un morphisme surjectif p:S₄ →S₃.

3. Montrer que ρ est isomorphe `a ρ3◦p o`uρ3 est la repr´esentation H3 de S₃.

Exercice 4

Montrer que le groupe G = A₄ a 4 classes de conjugaison. Soit H le sous- groupe de Gd´ecrit dans l’exercice 3. En consid´erant le quotient G/H, trouver trois caract`eres lin´eaires deG. En d´eduire la table des caract`eres de G.

Exercice 5

Soit Dⁿ=hr, si le groupe di´edral d’ordre 2n (avec n≥3). On pose ζⁿ =e^2niπ. 1. Si n est pair (resp. impair), montrer que Dn poss`ede 4 (resp. 2) caract`eres

lin´eaires.

2. Pour h ∈ Z on d´efinit ρ^h : Dⁿ → GL2(C) par ρ^h(r^k) =

ζn^hk 0

0 ζn^−hk

et ρ^h(r^ks) =

0 ζn^hk

ζn^−hk 0

. Montrer que ρ^h est une repr´esentation de Dⁿ. 3. Montrer que ρ^h,ρ^h+n etρⁿ₋^h sont isomorphes.

4. Montrer que ρh est irr´eductible pour 0 < h < ⁿ₂ et en d´eduire la table des caract`eres de Dn.

Exercice 6

SoitT un t´etra`edre r´egulier deR³de barycentre l’origine. On noteS(resp.A,F) l’ensemble des sommets (resp. arˆetes, faces) deT. SoitG^T ={g ∈O3(R), g(T) =T}.

1

1. Montrer que l’inclusion naturelle ρ^T : G^T → GL3(R) ⊂ GL3(C) est une repr´esentation irr´eductible deGT.

2. Montrer que tout ´el´ement de GT laisse stable S, puis que GT est isomorphe `a S<sub>4</sub>. Quel est le caract`ere de ρ^T vue comme repr´esentation de S₄?

3. Montrer de mˆeme que G^T agit par permutation sur A et sur F.

4. On note ρS (resp. ρA, ρF) la repr´esentation associ´ee `a l’action de GT sur S (resp. A, F). Montrer que ρS et ρF sont isomorphes `a la repr´esentation de permutation deS₄ sur C⁴.

5. Quelle est la d´ecomposition de ρ^A en irr´eductibles ?

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