Montrer que les droites dont les repr´esentations param´etriques sont donn´ees ci-dessous sont perpendiculaires

L1 PCST

S2, Math´ematiques

Examen - Session 1 - 18 mai 2017

Dur´ee : 3h00. Aucun document ni calculatrice autoris´e Toute r´eponse non justifi´ee est consid´er´ee comme z´ero Questions :

1. Donner les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 de e^sinxcosy et les ´evaluer en (π,0).

2. Montrer que les droites dont les repr´esentations param´etriques sont donn´ees ci-dessous sont perpendiculaires.

D₁ :n_x=t

y=−2t

z=t D₂ :n_x=s

y=s z=s

3. SoitA =_{1 0 2}

0−1 1 1−2 0

. D´eterminer A⁻¹. Calculer A²−I₃. Que remarquez-vous ? 4. Dessiner la ligne de niveau k = 1 pour la fonction f(x, y) = cos (π(x+y)).

5. On suppose x > −1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle (1 +x)²y⁰ + (1 +x)y−2 = 0 avec la condition initiale y(0) =−1.

Exercice 1: Soit la fonctionf :R² →Rd´efinie par f(x, y) = xy²

x²+y², (x, y)6= (0,0) et f(0,0) = 0.

1. Montrer quef est continue en tout point deR².

2. D´eterminer f_x⁰(x, y) et f_y⁰(x, y) pour les points (x, y)6= (0,0).

3. D´eterminer les d´eriv´ees partielles f_x⁰(0,0) et f_y⁰(0,0) et montrer que f_x⁰ n’est pas continue en (0,0).

Exercice 2: Soient a etb des nombres r´eels et (u_n)n∈N la suite d´efinie par :







u₀ =a u₁ =b

u_n+2 =u_n+1+ 2u_n ∀n∈N

On consid`ere, pour tout entier n positif ou nul, le vecteur colonne X_n= (u^un+1ⁿ ).

1. Montrer qu’on a l’´egalit´e Xn+1 =AXn, o`uA est une matrice carr´ee d’ordre 2, `a d´eterminer.

2. Par r´ecurrence, en d´eduire l’´egalit´eX_n =AⁿX₀, pour tout entiern positif ou nul. Ici, on a pos´e A⁰ =I₂ etA^k+1=A^k×A.

3. Montrer queA est diagonalisable. Calculer Aⁿ.

4. En d´eduire une formule donnant la valeur de u_n en fonction de a, b etn.

Exercice 3: Soit f :R² →R l’application d´efinie par f(x, y) = 2x²+ 2y²+x²y²−x⁴−y⁴ pour tout (x, y)∈R².

1. D´eterminer les neuf points critiques de f.

2. D´eterminer la nature des points critiques suivants : (0,0) , (0,1) , (√

2,−√ 2) 3. Est-ce qu’un minimum global existe ?

Exercice 4: On consid`ere l’´equation diff´erentielle :

y⁰⁰+ 6y⁰+ 9y=d(x) (E)

1. Soit λ et µdes nombres r´eels. Montrer que si y₁(x) est une solution de y⁰⁰+ 6y⁰ + 9y =d₁(x) et y₂(x) une solution de y⁰⁰ + 6y⁰ + 9y = d₂(x), alors λy₁(x) + µy₂(x) est une solution de y⁰⁰+ 6y⁰+ 9y =λd₁(x) +µd₂(x).

2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle homog`ene y<sup>00</sup>+ 6y<sup>0</sup>+ 9y= 0, associ´ee `a (E).

3. Montrer que ¹₂x²e^−3x est une solution particuli`ere de (E) lorsqu’on pose d(x) = e^−3x.

4. Montrer que ₅₀⁴ cosx+₅₀³ sinxest une solution particuli`ere de (E) lorsqu’on posed(x) = cosx.

5. Donner la forme g´en´erale des solutions de (E) lorsque : d(x) = 2e^−3x+ 50 cosx.

Exercice 5: Soit f la fonction d´efinie sur R² par f(x, y) = x²−2y³.

1. Montrer que l’´equation du plan tangent PM0 `a la surface Sf de f en un point quelconque M₀ = (x₀, y₀, z₀) de S_f est

2x₀x−6y²₀y−z = 2x²₀−6y₀³−z₀.

2. Pour le point M₀ = (2,1,2), d´eterminer tous les points M tels que le plan tangent en M ∈S_f soit parall`ele `a PM0.

3. D´eterminer la repr´esentation param´etrique de la droite passant parM₀ = (2,1,2) et perpendic- ulaire `a P_M0.