MPSI B 2008-2009 Énoncé du DM 14 24 avril 2020
Étant donné un entiernstrictement positif, on dénit les nombres réelsIn etSn par les formules suivantes1 :
Sn=
n−1
X
i=0
n−1
X
j=0
1 i+j+ 1
, In= Z n
0
Z n 0
dy x+y+ 1
dx
1. Donner une primitive de la fonctionx→lnxpuis dex→ln(x+K)oùK est un réel xé.
2. CalculerIn
3. Déterminer les constantes A, B, C, D gurant dans le développement de la suite (In)n∈N
In=An+Blnn+C+D n +o(1
n) 4. a. Montrer que :
∀(i, j)∈ {0,· · ·, n−1}2 : Z i+1
i
Z j+1 j
dy x+y+ 1
dx≤ 1 i+j+ 1 b. Montrer que :
∀(i, j)∈ {1,· · · , n}2 : 1 i+j+ 1 ≤
Z i i−1
Z j j−1
dy x+y+ 1
dx
c. En déduire
In ≤Sn≤In−1+ 2
n
X
k=1
1 k 5. Montrer que la suite(Sn)n∈Nest équivalente à l'inni à2nln 2. 6. SoitJn l'intégrale suivante :
Jn = Z 1
0 n−1
X
k=0
xk
!2 dx
Établir une relation liantJn etSn. En déduire un équivalent de Jn à l'inni.
1d'après Mines-Ponts 2003 MP1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0814E
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)