le polynˆome caract´eristique de la restriction de a divise χa

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MT241. Cours n^o 16, vendredi 22 novembre 2002.

Rappels: sous-espace stable, restriction d’un endomorphisme; le polynˆome caract´eristique de la restriction de a divise χa.

Exemples.

1. Si ba = ab, le noyau kerb est stable par l’endomorphisme a; en particulier ceci s’applique `a b = a − λ Id_E et aux puissances de b (si b commute avec a, toutes les puissances de b commutent avec a).

Si b=a−λIdE, avec λ valeur propre de a, le noyau kerb est le sous-espace propre E_λ de a correspondant à la valeur propre λ; les noyaux kerb^k sont croissants avec k et finissent par stationner puisque la dimension est finie; la valeur stationnaire est le sous-espace caractéristique de a correspondant à la valeur propreλ.

Cas d’une matrice de Jordan 3×3. On a vu qu’il n’existe qu’une seule direction propre pour la matrice

A =



µ 1 0

0 µ 1

0 0 µ





dont le polynôme caractéristique est χA = (µ−X)³; la seule valeur propre est λ =µ et les seuls vecteurs propres sont de la forme (s,0,0). Le noyau de (A−µI3)² est formé de tous les vecteurs de la forme (s, t,0); le noyau de (A−µI3)³ est égal àK³.

2. Un exemple un peu long: Sous-espace stable engendré par un vecteur non nul Soit x un vecteur non nul d’un espace vectoriel E de dimension finie n sur K, et soit a ∈ L(E) ; on va décrire le plus petit sous-espace stable par a contenant le vecteur x. Puisque E est de dimension n, il n’est pas possible que les n+ 1 vecteurs du système (x, a(x), . . . , aⁿ(x)) soient linéairement indépendants ; il existe donc un entier k ≤ n qui est le premier tel que (x, a(x), . . . , a^k(x)) soit lié; on a 0 < k ≤ n et par construction (x, a(x), . . . , a^k−1(x)) est libre, base de F = Vect(x, a(x), . . . , a^k−1(x)). On posera fj =a^j−1(x), pourj = 1, . . . , k. Par ailleurs il existe des coefficients (cj) dans K, non tous nuls, tels que

c₀x+c₁a(x) +· · ·+c_ka^k(x) = 0_E

et nécessairement c_k 6= 0 puisque les k premiers vecteurs sont libres. En divisant par c_k on se ramène à une relation de la forme

b0x+b1a(x) +· · ·+bk−1a^k−1(x) +a^k(x) = 0E. Si nous ´ecrivons ceci comme

¡b0IdE+b1a+· · ·+bk−1a^k−1+a^k¢

(x) = 0E

et si nous posons

P =b₀X⁰+b₁X +· · ·+b_k−1X^k−1+ X^k ∈K[X], nous voyons qu’il est raisonnable d’´ecrire

P(a) =b₀Id_E+b₁a+· · ·+b_k−1a^k−1+a^k ∈ L(E)

(2)

(avec la convention a⁰ = IdE) et la relation précédente s’écrit alors P(a)(x) = 0.

Montrons que F est stable par a. Pour cela, consid´erons un vecteur quelconque y =s1f1+· · ·+skfk ∈F ;

pour 0 ≤ j ≤ k−1 on a a(fj) =fj+1 ∈ F, et pour le dernier g´en´erateur fk = a^k−1(x) on a a(fk) =a^k(x) =−P_k

j=1 bj−1fj donc a(y) =

k−1X

j=1

sjfj+1−sk

³X^k

j=1

bj−1fj

´

∈F.

Dans la base (f1, . . . , fk) = (x, a(x), . . . , a^k−1(x)) du sous-espace F, la matrice de la restriction de a `a F a la forme

M(P) =







0 0 . . . 0 −b0

1 0 . . . 0 −b₁

... . .. ... ... ... 0 0 . .. 0 −bk−2

0 0 . . . 1 −bk−1





 ,

c’est à dire qu’elle est égale à la matrice compagnon M(P) du polynôme P. D’après ce qu’on a vu précédemment, le polynôme caractéristique de cette matrice est (−1)^kP, et il divise χa. On a ainsi obtenu

il existe un polynˆome P∈K[X] qui divise χa et tel que P(a)(x) = 0E.

On vient de faire un grand pas en direction du th´eor`eme de Cayley-Hamilton, qui affirme que χa(a) = 0L(E) pour tout endomorphisme a d’un espace vectoriel de dimension finie.

Existence de sous-espaces stables de dimension 1 ou 2 Valeurs propres, vecteurs propres : le cas complexe

Lorsque E est un espace vectoriel de dimension n sur C, toutes les racines du polynôme caractéristique sont automatiquement dans K = C, donc toutes les racines de χa sont des valeurs propres de a dans ce cas. De plus, on sait d’après le théorème de d’Alembert que tout polynôme de degré ≥ 1 à coefficients complexes a au moins une racine complexe (et en fait, exactement n quand on les compte avec leur ordre de multiplicité) donc tout endomorphisme de E admet au moins un vecteur propre.

Donc : sur C, tout endomorphisme a une droite stable.

M´ethodes matricielles. Valeurs propres d’une matrice

Une matrice A de taillen×nà coefficients dansK(sous-corps deC) est en particulier une matrice à coefficients dans C et définit donc un endomorphisme A^C de Cⁿ auquel la discussion du paragraphe précédent s’applique. L’endomorphisme A^C est défini par le calcul matriciel,

∀Z∈Cⁿ, A^C(Z) = AZ.

(3)

D’après le théorème de d’Alembert, on peut factoriser dans C[X] le polynôme ca- ractéristique χA en facteurs de degré 1,

χA= (λ1 −X). . .(λn−X),

où chaque λi est une des valeurs propres de A. Chaque valeur propre peut apparaˆıtre plusieurs fois, c’est à dire que certaines valeurs propres peuvent être racines multiples du polynôme caractéristique. Si on compte les valeurs propres avec leur ordre de multiplicité comme racines de χA, on trouve par identification que det A est égal au produit des valeurs propres,

det A = λ1. . . λn.

Exemple. Si a ∈ L(E) v´erifie a^k = 0_L(E) pour un certain k, et si E est de dimension n sur K, alors χ_a = (−1)ⁿXⁿ.

Il suffit de montrer que 0 est la seule racine complexe du polynˆome caract´eristique de a; si A est la matrice de a dans une base de E, on aura A^k = 0; si AZ = µZ avec Z6= 0, on aura 0 = A^kZ =µ^kZ, donc µ= 0.

Cas r´eel en dimension impaire

On sait que tout polynôme à coefficients réels de degré impair admet une racine réelle (théorème des valeurs intermédiaires). Un endomorphisme d’un espace réel de dimension impaire a donc toujours au moins un vecteur propre.

Exemple. On peut montrer qu’une isom´etrie T deR³ fixant 0 est lin´eaire. Si on suppose de plus que det T>0, on montre qu’il existe un vecteur x6= 0 tel que T(x) =x.

Le caract`ere isom´etrique de T entraˆıne que les seules valeurs propres possibles sont

±1. SiχT admet une racine complexe non réelle γ, il admet aussi γ, et une racine réelle λ égale à ±1; alors det(T) =λ|γ|² >0 montre que λ= 1; si les trois racines sont réelles

égales à ±1, il en faut au moins une égale à 1 pour que le produit soit>0.

Cas r´eel pair

Proposition 5.1.5.SoitE un espace vectoriel sur R, de dimension finie paire >0; tout endomorphisme a de l’espace E qui n’a pas de vecteur propre admet un plan vectoriel stable.

Démonstration. En passant à la matrice (réelle) A de a dans une base e = (e1, . . . , en) de E on trouve une valeur propre complexe λ = s+it de la matrice, s, t ∈ R, et t 6= 0 puisque a n’a pas de valeur propre. On peut trouver un vecteur propre Z = X +iY ∈Cⁿ de la matrice A, où X,Y ∈ Rⁿ. On voit que X et Y sont R-indépendants (sinon, si Y =µX, µ réel, on aurait (1 +iµ)AX = (1 +iµ)(s+it)X, donc AX =sX +itX, ce qui est impossible puisque AX est réel et t 6= 0, X 6= 0), donc X et Y engendrent un plan passant par 0. La relation

A(X +iY) = (s+it)(X +iY) = (sX−tY) +i(tX +sY)

montre par identification que AX = sX − tY et AY = tX + sY. Si on ´ecrit X = (c1, . . . , cn)∈Rⁿ et Y = (d1, . . . , dn)∈Rⁿ et si on pose

x= Xn

i=1

c_ie_i ∈E ; y= Xn

i=1

d_ie_i ∈E,

(4)

on aura aussi a(x) =sx−ty et a(y) =tx+sy, donc le plan Vect(x, y) est stable par a.

Exemple. R´eduction sur R de la matrice





0 0 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0





Le polynôme caractéristique est X⁴+1, on trouve quatre racines complexesλ=α(±1±i) où α = √

2/2. Pour chaque racine λ le vecteur (λ³, λ², λ,1) ∈ C⁴ est vecteur propre et on obtient un plan stable en s´eparant partie r´eelle et imaginaire.

Cours n^o 17, lundi 25 novembre 2002.

Suite et fin de l’exemple pr´ec´edent.

Décomposition de R⁴ en deux plans stables: en travaillant avec les deux paires de racines complexes conjuguées, on obtient une interprétation de l’endomorphisme, qui agit par rotation dans deux plans supplémentaires.

Sommes et sommes directes de sous-espaces

Etant donn´es deux sous-espaces vectoriels F1 et F2 de E, on d´efinit la somme des deux sous-espaces par

F1+ F2 ={y1+y2 :y1 ∈F1, y2 ∈F2}.

On d´efinit de mˆeme la somme F1+· · ·+ Fk d’une famille finie F1, . . . ,Fk de sous-espaces vectoriels de E

F1+ F2+· · ·+ Fk ={y1+y2 +· · ·+yk :yj ∈Fj, j = 1. . . , k}.

On a v´erifi´e que c’est un sous-espace vectoriel de E.

Exemple: somme de trois droites dans R². Consid´erons les trois vecteurs v₁ = (1,0), v2 = (−1/2,1/√

2) et v3 = (−1/2,−1/√

2). Les trois droites Dj = Rvj v´erifient D1 + D2+ D3 =R².

On remarque que la somme de deux des droites est déjà égale à R². Générateurs, dimension pour une somme

Si on choisit pour chaque j = 1, . . . , k une base de Fj, contenant dj = dim(Fj) vecteurs, le syst`eme de d = P_k

j=1 dj vecteurs obtenus en rassemblant ces différentes bases est générateur pour F =P_k

j=1 Fj. En particulier dim

³X^k

j=1

Fj

´

≤ Xk

j=1

dim(Fj).

V´erifions le lorsquek = 3; soient F,G,H trois sous-espaces de E, (f₁, . . . , f_p) une base de F, (g1, . . . , gq) une base de G et (h1, . . . , hr) une base de H; tout vecteur v∈F + G + H s’´ecrit v=x+y+z, avec

x= Xp

i=1

aifi ∈F, y = Xq

j=1

bjgj ∈G, z = Xr

k=1

ckhk ∈H,

(5)

donc

v = Xp

i=1

aifi+ Xq

j=1

bjgj + Xr

k=1

ckhk

est engendr´e par les vecteurs (f₁, . . . , f_p, g₁, . . . , g_q, h₁, . . . , h_r).

4.3. Sommes directes

Exemple. Consid´erons un espace de dimension 12, avec une base (e₁, . . . , e₁₂). Posons F = Vect(e1, e2, e3), G = Vect(e4, e5, e6), H = Vect(e7, e8, e9). La somme F + G + H est

égale à Vect(e1, . . . , e9), mais en plus, il y a unicité de la représentation des vecteurs v∈F + G + H comme x+y+z, x∈F,y ∈G et z ∈H.

D´efinition. La somme F1 + · · · + Fk est une somme directe si pour tout choix de vecteurs (y1, . . . , yk) ∈ F1 × · · · × Fk, la condition y1 + · · · + yk = 0E implique les

´egalit´es y1 =y2 =· · ·=yk = 0E.

On en déduit l’unicité de la décomposition des vecteurs v de la somme.

Notation pour une somme directe: F1⊕ · · · ⊕Fk.

ATTENTION. La somme F1+ F2 est une somme directesi F1∩F2 ={0E}. Mais lorsque k ≥3, IL NE SUFFIT PAS que Fi∩Fj ={0E} pour tousi6=j: l’exemple D1+ D2+ D3

le démontre. Les intersections 2 à 2 sont réduites à {0}, mais on a v1+v2+v3 = 0.

Base d’une somme directe

Soit F1⊕· · ·⊕Fkune somme directe de sous-espaces de dimension finie ; pour obtenir une base de F1⊕ · · · ⊕Fk, il suffit de prendre un système de vecteurs formé d’une base de F1, suivie d’une base de F2, ainsi de suite jusqu’à une base de Fk.

Lemme. Soient F1, . . . ,Fk des sous-espaces de dimension finie d’un espace vectoriel E; la somme F1+· · ·+ Fk est une somme directe si et seulement si

dim(F1+· · ·+ Fk) = dim F1+· · ·+ dim Fk.

Vérification quand k = 3, pour une somme directe F⊕G⊕H. Avec les notations déjà employées, montrons que le système (f1, . . . , fp, g1, . . . , gq, h1, . . . , hr) est libre (on a vu qu’il est générateur pour F + G + H). Si

Xp

i=1

aifi+ Xq

j=1

bjgj+ Xr

k=1

ckhk = 0E

consid´erons

x= Xp

i=1

a_if_i ∈F, y= Xq

j=1

b_jg_j ∈G, z = Xr

k=1

c_kh_k ∈H ;

on a x+ y+ z = 0E, donc x = y = z = 0E puisque la somme est directe. Puisque (f1, . . . , fp) est une base de F, on en déduit que tous les (ai) sont nuls, et de même pour les (bj) et les (ck). Il en résulte que F⊕G⊕H possède une base avec p+q+r = dim(F) + dim(G) + dim(H) éléments.

Réciproquement, si on a une somme F + G + H telle que dim(F + G + H) = dim(F) + dim(G) + dim(H), le système (f₁, . . . , f_p, g₁, . . . , g_q, h₁, . . . , h_r) est un système générateur

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dont le nombre d’éléments est égal à la dimension du sous-espace engendré, donc c’est une base de F + G + H. Si on a x+y+z = 0E avec x∈F, y∈G et z ∈H, on écrira

x= Xp

i=1

aifi, y= Xq

j=1

bjgj, z = Xr

k=1

ckhk

et alors

Xp

i=1

aifi+ Xq

j=1

bjgj + Xr

k=1

ckhk = 0E.

Puisque ce système est libre, tous les coefficients sont nuls, et il en résulte que x =y = z = 0_E. On a ainsi montré que la somme est directe.

5.2. Sous-espaces propres d’un endomorphisme

Si a∈ L(E) et si µ∈K est une valeur propre de a, le sous-espace vectoriel E_µ= ker(a−µId_E) ={x∈E : a(x) =µx}

est différent de {0E}. Tout vecteur x 6= 0E de Eµ est un vecteur propre de a de valeur propre µ. On appelle Eµ le sous-espace propre de a associé à la valeur propre µ. Il est clair que Eµ est un sous-espace stable pour a.

Proposition 5.2.1.Les sous-espaces propres d’un endomorphismeaforment une somme directe.

Il suffit de montrer le lemme qui suit.

Lemme. Si x1, . . . xk sont des vecteurs de E tels que a(xj) = µjxj pour j = 1, . . . k, et si µi 6=µj pour i 6=j, la condition

x1+· · ·+xk = 0E

implique x1 =x2 =· · ·=xk = 0E.

Démonstration. On démontre cette propriété par récurrence sur k ≥1.

C’est clair lorsque k = 1.

Supposons donc la propri´et´e vraie pour k−1 ≥ 1 vecteurs, et montrons que cela reste vrai pour k. Supposons

x₁+· · ·+x_k = 0_E.

Nous devons montrer que x1 =x2 =· · ·=xk = 0E. On d´eduit en appliquant a, puisque a(x_j) =µ_jx_j pour j = 1, . . . , k

µ1x1+· · ·+µkxk= 0E, donc en retranchantµk(x1+· · ·+xk) = 0E on obtient

(µ1−µk)x1+· · ·+ (µk−1−µk)xk−1 = 0E,

relation qui fait intervenir seulementk−1 vecteurs, ce qui entraˆıne que (µ_j−µ_k)x_j = 0_E pour j = 1, . . . , k−1 par l’hypoth`ese de r´ecurrence, donc x1 =· · ·=xk−1 = 0E puisque µ_j 6=µ_k pour j < k, donc x_k= 0_E aussi.

(7)

Définition 5.2.1. Soit a un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur K; on dit que a est diagonalisable si E est égal à la somme directe des sous-espaces propres de a.

Si µ1, . . . , µp est la liste des valeurs propres de a (sans r´ep´etition) et si E = Eµ1 ⊕ · · · ⊕Eµp,

on obtiendra une base de E en prenant une base de chaque sous-espace Eµj, puis en rassemblant tous les vecteurs ainsi obtenus ; une telle base de E est form´ee de vecteurs propres de a.

Proposition 5.2.2. Si dim E = n et si a ∈ L(E) admet n valeurs propres distinctes, a est diagonalisable.

Démonstration. Soientλ₁, . . . , λ_n les valeurs propres (supposées distinctes) ; pour chaque j = 1, . . . , n on peut trouver un vecteur propre fj tel que u(fj) = λjfj. Le système (f1, . . . , fn) est libre d’après le lemme, donc c’est une base de E puisque n= dim E. On a donc trouvé une base de E formée de vecteurs propres de u.

Soit µ ∈ K une valeur propre de a, et soit r l’ordre de multiplicit´e de µ comme racine de χa; alorsdim Eµ≤r.

En effet, la restriction aµ de a au sous-espace propre Eµ est égale à µ IdEµ, et le polynômeχaµ = (µ−X)^d (oùd= dim(Eµ)) divise le polynômeχa, donc dim Eµ =d≤r.