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106 – Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous groupes de GL(E). A.

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106 – Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous groupes de GL(E). A.

« Ce qu’on a fait avant, c’est le prégénérique, comme dans les films de Tarantino.

Maintenant le film commence, on présente les stars : GL

n

… » Le plan :

I) Etude algébrique du groupe linéaire.

Isomorphisme canonique entre GL(E) et GL

n

( K ). Groupe spécial linéaire. Dévissage de GL

n

( K ) selon SL

n

( K ) x K *. Suite exacte. Générateurs et centre de GL(E) et SL(E).

Commutateurs. Groupes projectifs. Actions de GL

n

(exemples), algorithme du pivot de Gauss.

II) Corps particuliers.

1) Cas K = F

q

.

Cardinalité, Isomorphismes exceptionnels. Lien entre signature et déterminant (Frobenius- Zolotarev).

2) Cas K = R ou C .

Etude de la densité, topologie induite par celle de M

n

( K ). Connexité, application à l’étude de la connexité des orbites pour l’action par équivalence.

III) Sous-groupes remarquables.

Groupes orthogonaux. Topologie. Unitaires. Topologie. Sous-variétés. Décomposition polaire.

Décomposition de Bruhat.

Les développements :

A16 : Frobenius-Zolotarev A17 : Décomposition de Bruhat A23 : Décomposition polaire

A28 : Générateurs de GL(E) et de SL(E) La bibliographie :

[Per]-[MnT]-[BMP](-[Rou])

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