Soit E un K -espace vectoriel non réduit au vecteur nul et de dimension nie n . On se donne deux sous-espaces vectoriels A et B on cherche

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soit E un K -espace vectoriel non réduit au vecteur nul et de dimension nie n . On se donne deux sous-espaces vectoriels A et B on cherche

une condition caractérisant l'exis- tence de sous-espaces vectoriels C tels que

C est supplémentaire de A dans A + B C est supplémentaire de B dans A + B

On dira alors que C est un supplémentaire commun à A et B dans A + B .

1. On suppose qu'il existe un sous-espace C vériant la condition du préambule. Montrer que dim(A) = dim(B) . Préciser dim(C) .

Dans toute la suite de l'exercice, on supposera que dim(A) = dim(B) . 2. On se place d'abord dans le cas où A et B sont deux hyperplans distincts.

a. Montrer qu'il existe des vecteurs a ∈ A et b ∈ B tels que a 6∈ B et b 6∈ A . b. Montrer que C = Vect(a + b) est solution au problème posé.

3. On revient au cas général en supposant seulement dim(A) = dim(B) avec A 6= B . On considère un sous-espace A

supplémentaire de A ∩ B dans A et un sous-espace B

supplémentaire de A ∩ B dans B

a. Montrer que A

et B

ne sont pas réduits au vecteur nul, que leur intersection est réduite au vecteur nul et qu'ils sont de même dimension.

On note p cette dimension. On considère une base A = (a

, · · · , a

) de A

et une base B = (b

, · · · , b

) de B

. On dénit enn une famille C = (c

, · · · , c

) en posant

c

= a

+ b

pour les entiers i entre 1 et p .

b. Montrer que la famille C est libre.

c. Montrer que C = Vect(c

, · · · , c

) est un supplémentaire commun à A et B dans A + B .

1D'après http ://mpsiddl.free.fr/pbsup.php

Corrigé

1. Lorsque C est supplémentaire de A et B dans A + B , on peut écrire deux égalités de dimension.

dim A + dim C = dim(A + B), dim B + dim C = dim(A + B)

On en déduit dim A = dim B = dim(A + B) − dim C . On note m cette dimension, on a alors dim C = dim(A + B) − m .

2. a. Ici A et B sont des hyperplans de E . La dimension de E est notée n donc A et B sont de dimension n−1 . L'existence d'un a dans A mais pas dans B traduit le fait que A n'est pas inclus dans B . De fait, comme A et B sont de même dimension l'un ne saurait être inclus dans l'autre sans qu'il y ait égalité. Ils sont supposés distincts donc A 6⊂ B et B 6⊂ A . Il existe dans a ∈ A tel que a 6∈ B et b ∈ A tel que b 6∈ A .

b. On veut montrer que Vect(a + b) est un supplémentaire commun à A et B dans le sous-espace A + B de E . Remarquons d'abord que A + B = E car A et B sont des hyperplans distincts. Un supplémentaire commun doit donc être de dimension dim(E) − dim(A) = 1 . Ainsi, Vect(a + b) est de la "bonne" dimension. Il sut donc de prouver que A ∩ Vect(a + b) se réduit au vecteur nul.

Soit x ∈ A∩Vect(a+b) . Comme x ∈ Vect(a+b) , il existe λ ∈ R tel que x = λ(a+b) donc λb = x − λa ∈ A . Si λ 6= 0 , ceci entraîne b ∈ A ce qui est contraire aux hypothèses. On en déduit que λ = 0

et x = 0

.

3. On revient au cas général avec A et B distincts et de même dimension.

a. Ici A

est un supplémentaire de A ∩ B dans A et B

est un supplémentaire de A ∩ B dans B .

Les sous-espaces A

et B

ne sont pas réduits au vecteur nuls car sinon on aurait A = A ∩ B + {0} = A ∩ B donc B ⊂ A puis A = B à cause de la dimension.

De A

⊂ A et B

⊂ B , on tire A

∩ B

⊂ A ∩ B . Donc A

∩ B

⊂ (A ∩ B) ∩ A

qui est réduit au vecteur nul.

À cause des dénitions : dim A

= dim B

= dim A − dim A ∩ B = dim B − dim A ∩ B .

b. Formons une combinaison linéaire nulle des vecteurs de C . λ

(a

+ b

) + · · · + λ

(a

+ b

) = 0

λ

a

+ · · · + λ

a

= −λ

b

− · · · − λ

b

Cette dernière égalité est relative à un vecteur dans A

∩ B

qui est réduit au vecteur nul. On est alors en mesure d'exploiter le caractère libre de la base (a

, · · · , a

) de A

. On en déduit que tous les λ

sont nuls.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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c. Pour montrer que C est un supplémentaire de A dans A +B , on va raisonner avec la dimension et l'intersection. Le raisonnement est analogue pour B .

Comme la famille C est libre :

dim C = p = dim A − dim(A ∩ B )

= − dim B + (dim A + dim B − dim(A ∩ B))

= dim(A + B) − dim A

Considérons un x ∈ A ∩ C . Alors x ∈ A et il existe (λ

, · · · , λ

) réels tels que

x = λ

(a

+ b

) + · · · + λ

(a

+ b

) x − λ

a

− · · · − λ

− a

= λ

b

+ · · · + λ

b

Le vecteur exprimé dans la dernière égalité est dans A à cause du membre de gauche et dans B

⊂ B à cause du membre de droite. Il est donc dans l'intersection de A ∩B avec B

qui est réduite au vecteur nul. Comme la famille (b

, · · · b

) est libre, les λ

sont nuls ce qui entraîne que x l'est aussi.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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