Espaces vectoriels de dimension nie

Espaces vectoriels de dimension nie

Dans tout ce chapitre,E désigne un K-espace vectoriel, oùKdésigneRou C.

I - Dimension I.1 - Dimension nie Définition 1 (Dimension finie).

E est de dimension nie s'il admet une famille génératrice F = (u₁, . . . , u_p) contenant un nombre ni d'éléments. Sinon, on dit que E est de dimension innie.

Exercice 1.Donnez des exemples d'espaces vectoriels de dimension nie.

Définition 2 (Dimension).

SiE est de dimension nie, non réduit à{0_E}, alors toutes les bases deE ont le même nombre d'éléments. Par dénition, cet entier, noté dim(E), est la dimension de l'espace vectoriel E. Par convention, on pose dim({0_E}) = 0.

Exercice 2.Déterminer la dimension. . .

1. . . . des espaces vectoriels de dimension nie classiques.

2. . . . de l'ensembleSn(K) des matrices symétriques.

I.2 - Existence & Construction de bases Lemme 1 (Augmentation des familles libres).

Soient F = (u1, . . . , up) une famille libre d'éléments de E et x ∈ E. Si x 6∈ VectF, alors (u₁, . . . , u_p, x) est une famille libre.

Lemme 2 (Diminution des familles génératrices).

Soit F = (u1, . . . , up+1) une famille deE. Siup+1 ∈Vect{u₁, . . . , up}, alors VectF = Vect{u₁, . . . , u_p}.

Théorème 1 (Théorème de la base incomplète).

SoientE un espace vectoriel de dimension nie,L = (u1, . . . , up) une famille libre deE etG une famille génératrice nie deE. Alors, il existe une famille de vecteurs(up+1, . . . , un)∈G^n−p telle que (u₁, . . . , u_n)soit une base de E.

Exercice 3.Compléter la famille((1,1,1,1),(1,1,1,2))en une base de R⁴. Théorème 2 (Extraction d’une base).

SoientE un espace vectoriel diérent de{0_E} de dimension nie etG une famille génératrice nie deE. Alors, il existe une sous-famille B de G telle queB soit une base de E.

Exercice 4.Extraire une base de R2[X]de la famille génératrice (X², X²+X+ 2, X+ 2,4).

Corollaire 3 (Existence d’une base).

Tout espace vectoriel de dimension nie, non réduit à {0_E}, admet une base.

I.3 - Dimension et Familles Lemme 3 (Lemme de Steinitz).

Soit F une famille génératrice deE àn vecteurs.

∗ SiL est une famille libre de E, alors elle contient au plusnvecteurs.

∗ SiG est une famille de n+ 1vecteurs deE, alors G est liée.

De plus, si E est de dimension n, alors toute famille génératrice de E contient au moins n vecteurs.

Exercice 5.Soit A ∈Mn(R). Montrer qu'il existe un polynôme P non nul de degré au plus n² tel que P(A) = 0_n. En déduire qu'une matrice inversible à droite est inversible à gauche.

Théorème 4 (Caractérisation des bases).

SoitBune famille d'éléments d'un espace vectorielE de dimensionn. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i). B est une base deE.

(ii). B est une famille libre etB contient exactementnvecteurs.

(iii). B est une famille génératrice etB contient exactementn vecteurs.

Exercice 6.Montrer que toute famille den+ 1polynômes deRn[X]à degrés étagés est une base de Rn[X].

I.4 - Dimension et opérations élémentaires

Dans cette partie, E etF désignent deux K-espaces vectoriels de dimension nie.

Propriété 1 (Dimension & Sous-espaces vectoriels).

SoitGun sous-espace vectoriel deE. Alors,Gest de dimension nie etdim(G)6dim(E). De plus,G=E si et seulement si dim(G) = dim(E).

Exercice 7.Déterminer les sous-espaces vectoriels deR,R²,R³. Corollaire 5 (Existence d’un supplémentaire).

Tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nie admet un supplémentaire.

Théorème 6 (Isomorphismes entre espaces vectoriels). Soit nla dimension de E.

(i). E est isomorphe à Kⁿ. On note E'Kⁿ.

(ii). E 'F si et seulement siF est de dimension nie etdim(F) =n. Propriété 2 (Dimension & Produit cartésien).

E×F est de dimension nie et dim(E×F) = dim(E) + dim(F).

Exercice 8.SoientEun espace vectoriel de dimensionnetpun entier naturel non nul. Déterminer la dimension de E^p.

Théorème 7.

L(E, F) est de dimension nie etdimL(E, F) = dimE·dimF. I.5 - Dimension et Sommes

Dans cette partie, E désigne un espace vectoriel de dimension nie et F, G des sous-espaces vectoriels deE.

Propriété 3 (Dimension & Somme directe).

SiF etG sont en somme directe,F ⊕Gest de dimension nie et dim(F⊕G) = dim(F) + dim(G).

Exercice 10.Illustrer ce théorème en dimensions 2et3. Corollaire 9 (Caractérisation des sommes directes).

Les trois propositions suivantes sont équivalentes.

(i). F⊕G=E.

(ii). F+G=E etdim(F) + dim(G) = dim(E). (iii). F∩G={0_E}etdim(F) + dim(G) = dim(E).

Exercice 11.Soient F ={(x, y, z) ∈R³ ; x+ 2y+ 3z= 0} etG= Vect{(0,1,0)}. Montrer que F etGsont supplémentaires dansR³.

Théorème 10 (Généralisation).

SoientF₁, . . . , F_p des sous-espaces vectoriels deE. Alors,F₁+. . .+F_p est un espace vectoriel de dimension nie et

dim

p

X

k=1

F_k6

p

X

k=1

dimF_k,

avec égalité si et seulement si la somme est directe.

II - Applications linéaires

Dans cette partie, E désigne un espace vectoriel de dimension n, F un espace vectoriel de dimension nie etϕune application linéare deE dansF.

II.1 - Rang d'une famille de vecteurs Définition 3 (Rang).

Le rang deF, notéRgF est la dimension deVectF.

Exercice 12.Déterminer le rang des familles suivantes.

1. (1, X). 2.(1,2 +X). 3. (X²−1, X²+ 1,1). Propriété 4 (Rang & Combinaisons linéaires).

Soientpun entier naturel non nul, (u1, . . . , up)une famille de vecteurs deE,(λ1, . . . , λp)∈K^p etα∈K^?.

Rg{u₁, . . . , u_p}= Rg (

u₁+

p

X

i=2

λ_iu_i, u₂, . . . , u_p )

= Rg{αu₁, . . . , up}.

II.2 - Rang d'une application linéaire Définition 4 (Rang).

Le rang deϕ, notéRgϕ, est la dimension de l'image de ϕ.

Exercice 13.

1. Déterminer le rang de l'application linéaireϕ : R²→R³,(x, y)7→(x+y, x−y,2x). 2. Déterminer le rang de la restriction de l'application dérivée àRn[X].

Propriété 5.

Soit ϕ∈L(E, F) et(e1, . . . , en) une base de E. Alors, Rgϕ= Rg{ϕ(e₁), . . . , ϕ(en)}.

Propriété 6.

Soientu∈G`(E) etv∈G`(F). Alors,Rgϕ= Rg(ϕ◦u) = Rg(v◦ϕ).

Théorème 11 (Théorème du rang).

dim(Kerϕ) + Rgϕ= dim(E).

Exercice 14.Soit ∆ : Rn[X]→Rn[X], P 7→P(X+ 1)−P(X). Montrer que Im ∆ =Rn−1[X].

Corollaire 12 (Caractérisation des isomorphismes en dimension finie).

SoientE, F deux espaces vectoriels de dimension nie tels quedim(E) = dim(F). Alors, pour toutϕ∈L(E, F),

ϕ bijective ⇔ ϕinjective ⇔ ϕsurjective.

Exercice 15.

1. Montrer que ϕ : R[X]→R[X], P 7→ XP est injective mais non surjective. Qu'en déduisez- vous ?

2. Soient a₀, . . . , a_n ∈ R distincts et ϕ : Rn[X] → Rⁿ⁺¹, P 7→ (P(a₀), . . . , P(a_n)). Montrer que pour tout (b₀, . . . , b_n) ∈ Rⁿ⁺¹, il existe un unique P ∈ Rn[X] tel que pour tout i ∈J0, nK, P(ai) =bi.

Propriété 7.

Soit u∈L(E). L'endomorphisme u est inversible à droite (resp. gauche) s'il existe un endo- morphisme v de E tel que u◦v = IdE (resp. v◦u = IdE). Les propositions suivantes sont équivalentes.

(i). u est inversible à droite.

(ii). u est inversible à gauche.

(iii). u est bijective.

II.3 - Hyperplans

Propriété 8 (Applications linéaires coordonnées).

Soit (e₁, . . . , e_n) une base de E. Pour tout i ∈ J1, nK, on note ϕ_i : E → K,

n

P

k=1

x_ke_k 7→ x_i. Alors, la famille (ϕ1, . . . , ϕn) est une base de L(E,K). Ces applications linéaires sont les

Notation.

E désigne un espace vectoriel de dimension non nullen. Définition 5 (Hyperplan).

Un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan deE sidim(H) =n−1.

Théorème 13 (Hyperplan & Formes linéaires).

(i). Si ϕest une forme linéaire surE non nulle, alors Kerϕest un hyperplan deE.

(ii). SoitH un hyperplan deE. Il existe une forme linéaireϕ₀ telle que H= Kerϕ₀. Alors, Vect{ϕ₀}={ϕ∈E^? ; H⊂Kerϕ}.

Exercice 17.Illustrer ce théorème en dimensions 2et3. Corollaire 14 (Hyperplans & Équations).

Soit B= (e₁, . . . , e_n) une base de E.H ⊂E est un hyperplan deE si et seulement s'il existe un n-uplet non nul (a1, . . . , an)∈Kⁿ tel que H=

x=

n

P

i=1

xiei∈E ;

n

P

i=1

aixi = 0

.

Exercice 18.Déterminer une condition nécessaire et susante pour que deux hyperplans d'équa- tions respectives Pⁿ

k=1

x_ke_k= 0 et Pⁿ

k=1

y_ke_k= 0 soient égaux.

Théorème 15 (Caractérisation des espaces de dimensionn−p).

Soit E un espace vectoriel de dimensionn.

∗ Si(H1, . . . , Hp) est une famille d'hyperplans deE, alors

dim

p

\

k=1

H_k>n−p.

∗ Si F un sous-espace vectoriel de E de dimension n −p, il existe (H₁, . . . , H_p) des hyperplans tels que

F =

p

\

k=1

H_k.

Exercice 19.Illustrer ce théorème en dimensions 2puis 3. III - Introduction aux sous-espaces anes

E désigne un espace vectoriel euclidien. Les éléments de E sont appelés des points. Pour tous points A, B de E, on note −−→

AB = B −A. On note les points par des lettres majuscules et les vecteurs par des lettres minuscules surmontées d'une èche.

III.1 - Translations Définition 6 (Translation).

Soit −→u ∈ E. La translation de vecteur −→u, notée t^−→_u, est l'application t^−→_u : E → E, M 7→

M+−→u.

Propriété 9 (Propriétés des translations).

Soient−→u , −→v deux vecteurs deE.

III.2 - Sous-espaces anes

Définition 7 (Sous-espace affine, Direction).

SoientF un sous-espace vectoriel deE etA un point de E.

(i). Le sous-espace ane de E, passant par A et de direction F, est l'ensemble A+F = {A+−→u , −→u ∈F}.

(ii). Si dimF =p, le sous-espace aneA+F est de dimension p. Si p= 1, c'est une droite ane, sip= 2 un plan ane, sip= dimE−1 un hyperplan ane.

(iii). Si (u1, . . . , up) est une base de F, les vecteurs (u1, . . . , up) sont des vecteurs directeurs de A+F.

Exercice 20.Déterminer les sous-espaces anes deR² et de R³. Propriété 10 (Choix d’une origine).

Soient F un sous-espace vectoriel de E, A un point de E et F le sous-espace ane de E passant par Aet dirigé parF. Alors, pour tout point A⁰ deF,

F =A⁰+F etF ={−−→

A⁰M , M ∈F}.

Définition 8 (Repère cartésien, Coordonnées).

Un repère cartésien deF est un couple(O,B), où O est un point deF etB une base deF. Si dimF = p >0 et B = (e₁, . . . , e_p) est une base de F, pour tout point M de F, il existe un unique p-uplet(u1, . . . , up) ∈K^p tel que M =O+

p

P

i=1

xiei. Lep-uplet(x1, . . . , xp) est les coordonnées cartésiennes de M dans le repèreR = (O,B).

Propriété 11 (Intersection de sous-espaces affines).

Soit F1 (resp. F2) un sous-espace ane de direction F1 (resp. F2). Alors, F1∩F2 est, soit vide, soit un sous-espace ane de direction F₁∩F₂.

Propriété 12 (Intersections & Sommes).

Soit F1 (resp.F2) un sous-espace ane deE de directionF₁ (resp. F₂).

(i). Si E =F₁+F₂, alors F1∩F26=∅.

(ii). Si E =F₁⊕F₂, alors F1∩F2 est réduit à un singleton.

III.3 - Équations anes

Définition 9 (Équation linéaire avec second membre).

Soientu∈L(E, F) etb∈F. Une équation linéaire est une équation de la formeu(x) =b, où x∈E est l'inconnue.

Théorème 16 (Solutions des équations linéaires).

Soit u(x) = b une équation linéaire. On note S l'ensemble de ses solutions et S0 l'ensemble des solutions de l'équation homogèneu(x) = 0.

(i). S0 = Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E. (ii). S =∅ si et seulement sib6∈Im(u).

(iii). SiS 6=∅eta∈S, alorsS =a+S0 =a+ Ker(u) ={a+x; x∈Ker(u)}. L'ensemble S est un espace ane.

Exercice 21.

1. Déterminer les exemples d'équations linéaires rencontrées dans les chapitres précédents.

2. Montrer que toute suite arithmético-géométrique est solution d'une équation linéaire.