Espaces vectoriels

0 Rappels de première année

0.1 Espaces vectoriels

Définition 0.1.1. Espace vectoriel sur un corps K

On appelle K-espace vectoriel tout triplet (E ;+;)oùE est un ensemble sur lequel la loi +vérifie : +est associative et commutative

il existe un élément 0Edit neutre tel que, pour toutx2E,0E+x=x

tout élément x2E possède un symétrique noté ¡xpour lequel x¡x=x+ (¡x) = 0E

et où est une application : KE!E ; (; x)7!:xvérifiant les propriétés suivantes pour tous x; y2Eet; 2K:

(x+y) = (x) + (y) et (+)x= (x) + (x), (x) = ( )xet 1x=x.

Les éléments de Ksont appelés des scalaires et ceux de Edes vecteurs.

Exemple.

1. Les espacesKⁿ,K^I=f(xi)i2I j 8i2I ; xi2Kg,K[X],M^n;p(K).

2. Si E est unK-espace vectoriel et si I est un ensemble quelconque,F(I ; E)est un K-espace vectoriel , les lois étant définies par :

Pour tous f ; g2 F(I ; E),2Ketx2I,(f+g)(x) =f(x) +g(x)et(f)(x) =(f(x)).

Définition 0.1.2. Combinaison linéaire

Soientx1; :::; xn des vecteurs d'un K-espace vectorielE et1; :::; n des éléments de K, alors X

i=1 n

ixi est un vecteur deE appelé combinaison linéaire dex1; :::; xn.

Définition 0.1.3. Application linéaire

SoientE etFdeuxK-espaces vectoriels etu:E¡!F. uest une application linéaire si 8(x; y; )2E²K; u( x) = u(x) etu(x+y) =u(x) +u(y) ce qui est équivalent à

8(x; y; ; )2E²K²; u( x+ y) = u(x) + u(y):

Une application linéaireu:E!Fest aussi appelée morphisme d'espaces vectoriels.

Cas particuliers.Si E=F,uest appelé endomorphisme. SiF=K,uest appelée forme linéaire.

Proposition 0.1.4. [opérations sur les applications linéaires]

La somme, la composée de deux applications linéaires, le produit d'une application linéaire par un scalaire sont des applications linéaires.

Proposition 0.1.5. [réciproque d'une application linéaire bijective]

Si une application linéaire u:E!F est bijective, on parle d'isomorphisme (et d'automorphisme si E =F).

L'application réciproque est encore une application linéaire, donc un isomorphisme.

Notation 0.1.6. L(E ; F)est l'ensemble des applications linéaires deEdans F.

Vous savez aussi que l'on note L(E) pourL(E ; E).

GL(E)désigne l'ensemble des automorphismes deE. C'est un groupe pour la loi de composition.

0.2 Sous-espaces

0.2.1 Définitions

Définition 0.2.1. Sous-espace vectoriel

SoitEunK-espace vectoriel etFune partie deF. AlorsFest un sous-espace vectoriel deElorsque les opérations deEinduisent surFune structure d'espace vectoriel.

Proposition 0.2.2. [caractérisation]

SoitEunK-espace vectoriel etFune partie deF. AlorsFest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si : F=/? et 8; 2K; 8x; y2F ; x+y2F :

Exemple.

1. L(E ; F)est un sous-espace vectoriel deE^F=F(E ; F).

2. L'ensemble des fonctions affines par morceaux et continues sur[a; b]forment un s.e.v. de K^[a;b].

3. L'ensembleE^(I)=f(xi)i2I j Cardfi2I ; xi=/ 0Eg<1gdes familles de vecteurs deE presques nulles indexées parIest un s.e.v. deE^I.

!En particulier,K^(N)est notéK[X] (et muni d'un produit).

(Une famille(xi)_i2I est dite presque nulle lorsque l'ensemblefi2I ; xi=/ 0gest fini.) Proposition 0.2.3. [image et image réciproque de s.e.v. par une application linéaire]

SoientE etFdeuxK-espaces vectoriels et u2 L(E ; F). Soient Gun sous-espace vectoriel deEet H un sous- espace vectoriel deF. Alors u(G)etu^¡1(H)sont des sous-espaces vectoriels.

En particulier : Image directe et noyau.

Siu2 L(E ; F),Imu=u(E)est un sous-espace vectoriel de F etKeru=u^¡1(f0Fg)est un sous-espace vectoriel deE.

Remarque. c'est souvent un moyen commode pour montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel.

Proposition 0.2.4. [injectivité, surjectivité d'une application linéaire]

Soitu2 L(E ; F). Alors :

i. uest surjective si et seulement si Imu=F ii. uest injective si et seulement si Keru=f0Eg. 0.2.2 Intersection de sous-espaces

Remarque. Un sous-espace vectoriel contient TOUJOURS0E. De même pour une intersection de s.e.v.

Proposition 0.2.5. [intersection de sous-espaces vectoriels]

SoientE un K-espace vectoriel et (Ei)i2I une famille de sous-espaces vectoriels deE.

Alors \

i2I

Ei est un sous-espace vectoriel deE.

Démonstration. contient0 et stable par c.l.

!A rédiger en détail pour la méthode :x2 \Ei s'écrit pour touti2I,x2Ei Définition 0.2.6. Sous-espace engendré par une famille finie

SoitEun K-espace vectoriel etA=fx1; :::; xng une partie finie de E. On note Vect(A) = \

F2s:e:v(E);FA

F :

C'est donc le plus petit sous-espace vectoriel contenantA ("plus petit" au sens de l'inclusion).

Remarque 0.2.7. Cette définition est encore valable, quoique hors programme, pour une partieAinfinie deE.

Proposition 0.2.8. [sous-espace engendré et combinaisons linéaires]

Si A=fx1; :::; xng est non vide, Vect(A) est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A.

Ainsi :

Vect(A) = (X

i=1 n

ixij(i)_i2J1;nK2Kⁿ )

:

Démonstration. pardoubleinclusion (ne pas oublier les deux sens) On noteH=fP

i=1

n ixij(i)i2[[1;n]]2Kⁿg.

Vect(A)est stable par c.l. donc contient tous les éléments deH, soit HVect(A). Réciproquement :

H est non vide et stable par combinaisons linéaires (montrer qu'une c.l. de c.l. est une c.l.) donc un s.e.v. qui

contientA doncVect(A)H carVect(A)est le plus petit.

Exemple. Si u2E avecu=/ 0,Vect(u) =Ku=fu; 2Kg est appelé la droite vectorielle engendrée paru.

Remarque. Vect(;) =f0g.

0.2.3 Somme de sous-espaces vectoriels

la réunion de deux sous-espaces n'en est généralement pas un (! dessin avec deux droites vectorielles). En particulier, retenir la propriété :

Exercice 0.2.1. Réunion de deux s.e.v.

SiF etGsont deux s.e.v. d'unK-e.v. E, alorsF[Gest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement siFGouGF. Démonstration. (est évident.

)par l'absurde : siF[Gs.e.v. et sig2GnF etf2FnG, alorsf+g2F[G.

Sif+g2F, alorsg= (f+g)¡f2F contradiction. Sif+g2W...

Il est donc naturel de s'interesser au sous-espace vectoriel engendré (au sens de la remarque0.2.7) par une union de sous-espaces vectoriels...

Définition 0.2.9. Somme de deux sous-espaces vectoriels

SoientE un K-espace vectoriel etFetG deux sous-espaces vectoriels deE. On note : F+G=fx+y jx2F ; y2Gg:

On a alors :

Proposition 0.2.10. la somme de deux s.e.v. est un s.e.v.

Démonstration. F+G=/?et est stable par combinaisons linéaires.

Remarque. F+GcontientF et Gdonc c'est un sous-espace vectoriel qui contientF[G.

Réciproquement, soitK un sous-espace vectoriel qui contientF[G.

Si(x; y)2FG, alorsx; y2K etx+y2K par stabilité deK par combinaisons linéaires, donc F+GK.

AinsiF+Gest bien le plus petit sous-espace vectoriel contenantF+G, c'est-à-direVect(F[G)au sens de la remarque0.2.7.

Considérons :

':FG¡!E (x; y)7¡!x+y

'est linéaire etIm'=F+G. Ainsi l'injectivité de 'traduit l'unicité de l'écriture.

Définition 0.2.11. Somme directe de deux sous-espaces On dit que la somme précédente est directe si'est injective soit si :

8x; x⁰2F ;8y; y⁰2G;(x+y=x⁰+y⁰)x=x⁰et y=y⁰) ce qui équivaut à Ker'=f0Eg soit :

8(x; y)2FG x+y= 0)(x= 0ety= 0):

Dans ce cas, la somme est notéeFG.

Proposition 0.2.12. [somme directe : une condition nécessaire et suffisante]

SoientFet Gdeux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectorielE.

AlorsFetGsont en somme directe si et seulement si F\G=f0g.

Démonstration. Supposons que F etGforment une somme directe. Soitx2F\G:0 =x+ (¡x)avecx2F et¡x2G, doncx= 0. AinsiF\G f0g. L'inclusion réciproque est vraie car tout sous-espace contientf0g. Réciproquement, siF\G=f0g, soit(x; y)2FGtel que x+y= 0. Alorsx=¡y2F\G, doncx=y= 0.

Définition 0.2.13. Sous-espaces supplémentaires

On dit que deux sous-espaces vectoriels Fet G deE sont supplémentaires s'ils vérifient l'une des conditions équivalentes suivantes:

i) E=FG:

ii) E=F+G et F\G=f0g:

iii) 8x2E 9!(x1; x2)2FG x=x1+x2: c'est-à-dire lorsque les deux s.e.v. sont en somme directe ET leur somme vautE.

Exemple.

1. Deux droites vectoriellesD etD⁰ dansK²sont supplémentaires si et seulement si elles sont distinctes.

Il est important de noter que D \D⁰ =f0g =/ ?et que D[D⁰ =/ K², ainsi D⁰ n'est pas du tout le complémentaire de D (qui n'est même pas un sous-espace vectoriel). En particulier, le raisonnement

"x2/D, doncx2D⁰" est complètement faux.

2. Soitn2N: On noteKⁿ[X]l'ensemble des polynômes de K[X] dont le degré est inférieur ou égal à n.

C'est un sous-espace vectoriel de K[X]. Si P est un polynôme de degrén+ 1, alorsP K[X] est un supplémentaire deKⁿ[X]dansK[X].

Démonstration. Conséquence de la division euclidienne :

pour toutS2K[X], il existe un unique couple(Q; R)2K[X]²tel queS=P Q+Retdeg(R)n, c'est-à-dire qu'il existe un unique couple(T ; R)2K[X]²tel queS=T+R,T2PK[X]etR2Kn[X].

La propriété iii) de la définition précédente est donc vérifiée, ce qui montre queK[X] =Kn[X]PK[X].

0.2.4 Endomorphismes remarquables : homothéties, projecteurs et symétries.

Définition 0.2.14. Homothétie

Soient E un K-espace vectoriel et 2 K. L'endomorphisme de E qui à tout x2 E associe a x est appelé homothétie de rapport . Lorsque = 1, on l'appelle identité deE, notée IdE.

Exercice. très classique : une interversion de quantificateurs.

Montrer qu'un endomorphismeudeEest une homothétie si et seulement si, pour toutx2E, il existe2Ktel queu(x) = x.

Réponse. Attention, le réultat n'est pas trivial. Commencer par réécrire les deux propositions sous forme quantifiée.

il s'agît de montrer l'équivalence entre

(1) 92K;8x2E ; u(x) = x et

(2) 8x2E ;92K; u(x) = x

Pour(2))(1)commencer par fixerx2Enf0get2Ktel queu(x) = xpuis montrer queu(y) = xpour toutyen considérant les cas(x; y)liée et(x; y)libre.

Solution.

Il est clair que(1))(2)et il faut donc montrer l'implication réciproque, c'est-à-dire qu'il existe un telcommun à tous lesx2E.

On suppose donc(2). SiE=f0g, c'est facile, sinon, soitx=/ 0un élément deEet0tel queu(x) =0x.

Soity2E

- siy2Vect(x), il est facile de voir queu(y) =0y.

- sinon,(x; y)est libre. Soient; 2Ktels queu(y) = yetu(x+y) =(x+y).

Alors, par linéarité deu,0x+ y=(x+y). Soit(0¡)x+ (¡)y= 0. Donc0¡=¡= 0etu(y) =0y.

On a bien montré :8y2E; u(y) =0y.

Définition 0.2.15. Projecteur

Soitp2 L(E). pest un projecteur si p²=p(on parle d'endomorphisme idempotent) Proposition 0.2.16. [projecteurs associés à une somme de deux s.e.v. supplémentaires]

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Pour x2E, on note (p(x); q(x))l'unique couple de F Gtel que x=p(x) +q(x). Alors pet q sont des projecteurs :p est appelé le projecteur sur F parallèlement à Getqle projecteur surGparallèlement à F.

On vérifie de plus quep+q=IdEetpq=qp= 0_L(E).

Démonstration. Soit x2 E. Le couple (p(x);0) 2F G vérifie p(x) = p(x) + 0 et donc convient à la décomposition de p(x) suivant la somme directe F G. Donc p(p(x)) =p(x) et q(p(x)) = 0. Le reste s'en

déduit.

Remarque.

1. Retenez bien que les projecteurs vont toujours par deux

2. Pour montrer qu'une application est un projecteur, il faut d'abord prouver que c'est un endomorphisme.

Proposition 0.2.17. [image et noyau d'un projecteur]

Pour tout projecteur p de E, il existe deux sous-espaces vectoriels supplémentaires F et G tels que p est le projecteur surFparallèlement à G. Il s'agit de F=Im(p)et G=Ker(p).

Pour tout x2E, la décomposition dexselon la somme directeE=FGest x=p(x) + (x¡p(x)).

Pour tout x2E ;(x=p(x),x2F).

Démonstration. Les preuves de ces deux propositions résident dans l'unicité de l'écriture due à la somme

directe ...

En pratique :Si p2 L(E), pp=p,E=Invariants(p)Kerp,pest LA projection surInvariants(p) parallèlement àKerp.

En pratique : si pest un projecteur deE et six2Imp, pour chercher un antécédent dexpar p, il suffit de prendre... xlui-même !

Définition 0.2.18. Symétrie

Soits2 L(E). sest appelée symétrie si s²=IdE. (on parle d'endomorphisme involutif) Proposition 0.2.19. [symétrie associée à une somme de deux s.e.v. supplémentaires]

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Notons ple projecteur surFparallèlement à G, etqle projecteur surGparallèlement àF. Alorss=p¡q= 2p¡IdEest une symétrie, appelée symétrie par rapport àFparallèlement à G.

Proposition 0.2.20. Pour toute symétries deE, il existe deux sous-espaces vectoriels supplémentaires F et Gtels quesest la symétrie par rapport àFparallèlement àG. Il s'agit deF=Ker(IdE¡s)etG=Ker(IdE+s).

En pratique : DansL(E),ss=Id,E=Invar(s)Oppos(s),sest LA symétrie par rapport àInvar(s) (ensemble des vecteurs invariants pars, appelébasedes) parallèlement àOppos(s)(directiondes: ensemble des vecteurs changés en leur opposé). Le projecteur associé est déterminé pars= 2p¡Id.

Proposition 0.2.21. [application linéaire et sous-espaces supplémentaires]

SoientEunK-espace vectoriel etF1; F2sous-espaces vectoriels deEtelle queE=F1F2. SoitGun second K- espace vectoriel et soit, pouri2 f1;2g,uiune application linéaire deFidansG. Il existe une unique application linéaireudeEdans Gtelle que pour touti2 f1;2g la restriction deuàFi coïncide avecui.

Démonstration.

Unicité: Supposons qu'il existe deux applications linéairesuetvdeE dansF telle que pour touti2 f1;2gla restriction deuet devàFiest égale àui. Soitx2E: en notant(p1; p2)la famille des projecteurs associés à la décompositionE=F1F2, on au(x) =u(p1(x)) +u(p2(x)) =X

i=1 2

u/F_i(pi(x)) =X

i=1 2

ui(pi(x)) =X

i=1 2

v(pi(x)) =v(x) d'où l'unicité.

On peut écrireu=X

i=1 2

uipioù pi2 L(E ; Fi)est obtenu par restriction de l'ensemble d'arrivée de pi. Existence : Posonsu=X

i=1 2

uipi.

Soiti2 f1;2g et soitx2Fi:u/F_i(x) =u(x) =X

j=1 k

uj(pj(x)) =ui(x), ce qui prouve l'existence.

0.3 Familles finies de vecteurs

0.3.1 Familles libres et génératrices, bases On fixe unK-espace vectorielE.

Définition 0.3.1. Famille libre ou liée, famille génératrice, base Soit (xi)i2J1;nKune famille de vecteurs deE. On dit que cette famille est libre si

8(i)i2J1;nK2Kⁿ X

i=1 n

ixi= 0 ) (8i2J1; nK i= 0)

! :

Elle est liée si elle n'est pas libre, c'est-à-dire si :

9(i)i2J1;nK2Kⁿn f0Kⁿg; X

i=1 n

ixi= 0:

Elle est génératrice si

8x2E 9(i)i2J1;nK2Kⁿ x=X

i=1 n

ixi:

Ainsi (xi)_i2J1;nKest génératrice si et seulement si Vect(xi)_i2J1;nK=E.

C'est une base si elle est libre et génératrice. Dans ce cas, pour tout x2E, on appelle coordonnées de xdans la base (xi)i2J1;nKl'unique famille de scalaires (i)i2J1;nKtelle que x=X

i=1 n

ixi.

Exemple. Deux vecteurs forment une famille liée si et seulement s'ils sont colinéaires. Trois vecteurs forment une famille liée si et seulement s'ils sont coplanaires.

Proposition 0.3.2.

Une famille X= (xi)i2J1;nKest liée si et seulement s'il existe j2J1; nK tel quexj2Vect((xi)i=/j).

Démonstration. SiX est liée, il existe1; :::; n2Knon tous nuls tels queP

k=1

n kxk= 0. Si, par exemple, 1=/ 0, alorsx1=P

k=2

n ¡^k₁xk2Vect(x2; :::; xn)Vect(xi)i=/ 1.

Réciproquement, sixj2Vect(xi)i=/j, alors il existe1; :::; n2Ktels quexj=P

k=1 n kxk, d'oùxj¡P

k=/jkxk= 0, le coefficient dexj étant non nul, et la famille est liée.

Remarque. Même dans le cas de deux vecteurs, (x; y)est liée ssix2Vect(y)OUy2Vect(x). (Penser au cas où y= 0)

Corollaire 0.3.3. Soit (x1; :::; xp)une famille libre etx2E.

Alors (x1; :::; xp; x)est libre si et seulement si x2/Vect(x1; :::; xp).

Démonstration. ())provient directement de la proposition par contraposition.

(()six2/Vect(x1; :::; xp)et x+P

k=1

p kxk= 0, alors= 0d'oùP

k=1

p kxk= 0et chaquekest donc nul.

Exemple. Poura >0, on note u(a)la suite géométrique(aⁿ)n2N. Si a1; :::; ap sont des réels distincts deR+, la famille(u(ai))i2J1; pKest une famille libre deR^N.

Démonstration. En effet, siP

i=1

p iu(ai)est la suite nulle, soiti0l'indice du plus grandaitel quei=/ 0. Alorsi0a_iⁿ_0n

!+10

ce qui est contradictoire. (Attention à l'utilisation de0: ne signifie pas !0)

Exemple. Toute famille finieF de polynômes non nuls à coefficients dansK etde degrés échelonnés (c'est-à- dire dont la famille des degrés est strictement croissante) est libre. (Récurrence sur le cardinal deF.)

0.3.2 Image d'une famille par une application linéaire

Théorème 0.3.4. [détermination d'une application linéaire par l'image d'une base]

Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On suppose que E est de dimension finie n et possède une base B= (ei)16i6n et soitF= (fi)16i6n une famille de vecteurs deF. Alors il existe une unique application linéaire u2 L(E ; F)telle que 8i2J1; nK u(ei) =fi.

Ce que l'on résume souvent en une application linéaire est uniquement déterminée par l'image d'une base . De plus,(fi) est

8>

><

>

>: libre génératrice

une base si et seulement siuest

8>

><

>

>: injective surjective bijective . Démonstration.

Unicité : Soientu; v2 L(E ; F)vérifiant 8i2J1; nK; u(ei) =v(ei) =fi. Alors, six2E, il existe1; :::; n2Ktels quex=P

k=1

n keket par linéarité deuet dev,u(x) =P

k=1

n ku(ek) = P

k=1

n kv(ek) =v(x)doncu=v.

Existence : Si x 2 E, il existe une unique famille de K (i)_16i6n tel que x = P

i=1

n ai ei (somme finie).

L'applicationu:E!F,x=P

iiei7!P

iifi est donc parfaitement définie.

Il est facile de voir que cette application est linéaire.

Flibre , uinjective : si F est libre, soitx2E s'écrivantx=P

k=1

n kek tel queu(x) =P

k=1

n kfk= 0. Par hypothèse,k= 0pour toutkdoncx= 0. Doncuest injective.

Réciproquement, si u est injective, soit P

k=1

n k fk une combinaison linéaire nulle des fi. En posant x = P

k=1

n kek,u(x) = 0F et par injectivité deu,x= 0E. Comme la famille(ei)est libre, chaqueiest nul et donc F est libre.

F génératrice , usurjective : si F est génératrice, tout y 2F s'écrit sous la forme y=P

k=1

n kfk et donc y=u(x)oùx=P

k=1

n kek. Doncuest surjective.

Réciproquement, siuest surjective, il existex2E, qui s'écritx=P

iiei(somme finie), tel queu(x) =y. Alors y=P

iifi et doncF est génératrice.

Exemple. Formes linéaires coordonnées

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnmuni d'une baseB= (e1; :::; en). Sii2 f1; :::; ngon définit la forme linéaireei parei(ej) =ij selon les notation de Kronecker.

La familleB= (e1; :::; en)est une base deE=L(E ;K): Si1; :::; n2Ksont tels queP

i=1

n iei= 0Ealors, pour tout j2J1; nK,0 =P

i=1

n iei(ej) =j.

Par ailleurs on verra quedimE=dimEdimK=ndoncBest une famille libre denéléments dans un espace de dimensionn. DoncBest une base deEappelée la base duale deB.

Si j2J1; nKetx=P

k=1

n xiei2E alorsej(x) =xj, j-ème coordonnée dexdansB. 0.3.3 Exemples de bases

Bases canoniques de Kⁿ, de Kn[X], de M^n;p(K)

Exemple.

1. La base canonique deK²est ((1;0);(0;1)), la base canonique deK³est((1;0;0);(0;1;0);(0;0;1)).

Plus généralement, on dispose de la base canonique deKⁿ. 2. La base canonique deM²(K)est

1 0 0 0

;^{0 1}_{0 0};^{0 0}_{1 0};^{0 0}_{0 1}

. Plus généralement, la base canonique deM^{n; p}(K)est(Ek;`;16k6n;16`6p)oùEk;` est la matrice dont le coefficient(i; j)est i;kj ;`. 3. K[X] =K^(N)(suites presques nulles d'éléments deK, c'est-à-dire nulles à partir d'un certain rang) et on

note, pour toutn2N,Xⁿla suite presque nulle(p;n)p2N= (0; :::;0;1;0; :::)(p;nnotation de Kronecker) donc(Xⁿ)n2Nconstitue la base canonique deK[X].

(Chaque polynôme est ainsi défini par la suite presque nulle de ses coefficients.) Bases et somme directe

Proposition 0.3.5. [base adaptée à une somme directe : réunion des bases]

SoientF ; G deux sous-espaces d'un espace vectorielEmunis de bases respectives (f1; :::; fp) et (g1; :::; gq).

Si FetGsont en somme directe, alors la famille (f1; :::; fp; g1; :::; gq)est une base de FGdite adaptée à la somme directe.

Proposition 0.3.6. [partition d'une famille libre]

Si (e1; :::; ep; ep+1; :::; ep+k)est une famille libre d'un espace vectorielE, alors Vect(e1; :::; ep) et Vect(ep+1; :::;

ep+k)sont deux sous-espaces de E en somme directe.

0.4 Espace vectoriel de dimension finie

0.4.1 Notion de dimension

Définition 0.4.1. Espace vectoriel de dimension finie

Un K-espace vectoriel est dit de dimension finie s'il admet une famille génératrice contenant un nombre fini d'éléments.

Théorème 0.4.2. [base extraite]

SoientEun K-espace vectoriel de dimension finie et (ei)i2Iune famille génératrice de E. Alors il existeLI tel que (ei)i2Lsoit une base de E.

Théorème 0.4.3. [base incomplète]

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et (ei)i2I une famille génératrice deE (on ne suppose pas qu'elle contient un nombre fini d'éléments). SoitJ Itel que (ei)i2Jest une famille libre. Alors il existe un ensemble LavecJLItel que (ei)i2L est une base deE.

Cela signifie que toute famille libreL deEpeut être complétée en une base deEen n'utilisant que des vecteurs d'une famille donnéeG de Equi est génératrice.

Remarque. Si l'on dispose uniquement d'une famille libre(ei)i2J, on peut directement appliquer le résultat précédent avec une famille génératriceG arbitrairement choisie.

En pratique :De toute famille génératrice, on peut extraire une base. Toute famille libre peut être complétée en une base.

Exemple. SoitA(X) =X+ 1,B(X) =X+ 2. Ces deux polynômes forment une famille libre deR⁵[X]. On peut donc compléter (A; B)avec quatre éléments (pas n'importe lesquels !) de (1; X ; X²; X³; X⁴; X⁵)pour obtenir une base. Lesquels choisir ?

Définition 0.4.4. Dimension

SoitEun K-espace vectoriel de dimension finie. Eadmet au moins une base. Toutes les bases deEsont finies et ont même cardinal. Ce cardinal est appelé la dimension de Eet est noté dimE.

Remarque.

Même siEn'est pas de dimension finie, il admet une base, mais cette propriété est "hors programme".

?est une base def0g, doncf0g est un espace vectoriel de dimension finie etdim(f0g) =card(;) = 0.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie égale à n et soit F = (ei)i2I une famille de E. Parmi les 3 propriétés qui suivent, si deux sont vraies, alors la troisième est aussi vraie :

i)I est fini, de cardinal égal àn.

ii)F est libre.

iii)F est génératrice.

Proposition 0.4.5. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie égale àn. Un système libre a au plus n éléments et un système générateur a au moinsn éléments.

Exemple. Kⁿest de dimension n,M^n;p(K)de dimensionnp, Kn[X]de dimensionn+ 1.

Unedroite est un espace de dimension1, unplan un espace de dimension2.

Exercice. Montrer que les ensemblesSn(K)des matrices symétriques,An(K)des matrices antisymétriques etTn+

(K)des matrices triangulaires supérieures sont des sous-espaces vectoriels deMn(K)et déterminer leur dimension.

Remarque. En général, la valuation d'un polynôme est peu utilisée. Elle se révèle pourtant efficace pour montrer que la familleX^k(1¡X)^n¡kest une base deRⁿ[X](remarquer que tous les polynômes ont même degré).

Définition 0.4.6. Rang d'une famille de vecteurs

Soit F = (ei)16i6n une famille d'un K-espace vectoriel de dimension finie ou non. Alors Vect (F) est de dimension finie au plus égale à n. Cette dimension est appelée rang de Fet notée rg(F).

Corollaire 0.4.7. Avec les notations précédentes,Fest libre si et seulement si rg(F) =n.

Définition 0.4.8. Application linéaire de rang fini

Soitu2 L(E ; F)une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels. On dit queuest de rang fini lorsque Imuest de dimension finie. Dans ce cas, on appelle rang de uet on note rgucette dimension.

En pratique : Si Eest de dimension finien, rguest le rang deu(B)pour toute baseBdeE.

0.5 Calcul dimensionnel

La dimension est la notion mathématique qui permet de rapprocher les propriétés des ensembles de cardinal fini avec les propriétés des espaces vectoriels de dimension finie. Retrouvez ainsi dans le cadre ensembliste les équivalents des propriétés0.5.1,0.5.2,0.5.6et 0.5.8.

Proposition 0.5.1. [dimension et isomorphisme]

SoitEun K-espace vectoriel de dimension finie. SoitFun second K-espace vectoriel. Alors : Fest de dimension finie, avec dimF=dimE, si et seulement siEest isomorphe à F.

En pratique : Un isomorphisme conserve la dimension.

Exemple. Isomorphisme des coordonnées

SoitE unK-espace vectoriel de dimension finien. AlorsE est isomorphe àKⁿet àM^n;1(K): une baseB= (e1; :::; en)deE étant choisie,(x1; :::; xn)7!P

i=1

n xieiest un isomorphisme deKⁿsurE.

(De même pour

0 BB

@ x₁ x_n

1 CC A7!P

i=1 n xiei,

0 BB

@ x₁ x_n

1 CC

Aest appelée matrice colonne des coordonnées deP

i=1

n xieidansB.)

Exemple. L'ensembleS des suites de Kvérifiant une récurrence linéaire d'ordre 2 :un+2=a un+1+b unest isomorphe àK². (u2 S 7!(u0; u1)2K²est un isomorphisme.)

Proposition 0.5.2. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit Fun sous-espace vectoriel de E.

AlorsFest de dimension finie et dimFdimE. De plus dimF=dimEsi et seulement siE=F.

Proposition 0.5.3. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit Fun sous-espace vectoriel de E.

AlorsFadmet au moins un supplémentaire, et pour tout supplémentaireGdeF,dimF+dimG=dimE.

Démonstration. (rapide) Le sous-espaceF possède une baseB¹, libre dansE, que l'on complète en une base deE à l'aide de vecteurse1; :::; ep. AlorsG0=Vect(e1; :::; ep)est un supplémentaire deF.

Réciproquement, siGest un supplémentaire deF, on obtient une base deEen réunissant les vecteurs d'une

base deF et d'une base deG. Il reste à compter les vecteurs.

Exercice. SoitF un sous-espace vectoriel de dimensionn¡1 d'un espace vectorielE de dimensionn, alors, six2EnF, Vect(x)est un supplémentaire deF dansE.

Corollaire 0.5.4. Soient F ; Gdeux s.e.v. d'un K-espace vectoriel de dimension finien.

AlorsFetGsont supplémentaires si et seulement si : 1. F\G=f0Eg ET

2. dimF+dimG=n.

Théorème 0.5.5. [Formule du rang]

SoitEun K-espace vectoriel de dimension finie et soitFun K-espace vectoriel de dimension finie ou non.

Siu2 L(E ; F), alors

rgu+dim(Keru) =dimE:

Ainsi la dimension du noyau ajoutée à celle de l'image est égale à la dimension del'espace de départ.

Démonstration. Si (u(e1); :::; u(ep)) est une base de Imu et si (ep+1; :::; en)est une base de Keru, alors B= (e1; :::; en)est une base deE. En effet :

famille libre : soient 1; :::; n2K tels que P

k=1

n kek= 0E, alors 0 =u(P

k=1

n kek) =P

k=1

n ku(ek) = P

k=1

p ku(ek).

Par liberté de(u(e1); :::; u(ep)),1==p= 0. DoncP

k=p+1

n kek= 0Eetp+1==n= 0.

famille génératrice : soit x2E,u(x)2Imudonc il existe 1; :::; p2Ktels que u(x) =P

k=1

p ku(ek).

Or, u(x¡P

k=1

p kek) =u(x)¡u(x) = 0 donc x¡P

k=1

p kek2Keruet il existep+1; :::; n2K tels que x¡P

k=1

p kek=P

k=p+1 n kek.

Au final,rgu=dim Imu=p,dim Keru=n¡petdimE=n.

Proposition 0.5.6. [formule de Grassmann]

SoitEun K-espace vectoriel de dimension finie. SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deE. Alors : dim(F+G) =dimF+dimG¡dim(F\G):

Démonstration. SoitF= (e1; :::; ep)une base deF\G.

ComplétonsF en une base deF par des vecteurs(f1; :::; fk)d'oùdimF=p+k.

ComplétonsF en une base deGpar des vecteurs(g1; :::; g`)d'où dimG=p+`.

Il suffit de montrer que(e1; :::; ep; f1; :::; fk; g1; :::; g`)est une base deF+G: - elle est clairement génératrice.

- Liberté : soient1; :::; p,1; :::; k; 1; :::; `2Ktels quePiei+Pifi+Pigi= 0.

AlorsPiei+Pifi=¡Pigi2F\G=Vect(ei)donc il existe1; :::; p2K tels que¡Pigi=Piei. Comme la famille(e1; :::; ep; g1; :::; g`)est libre, lesi (et lesi) sont nuls. D'où Piei+Pifi= 0 et, de

même, lesiet les isont nuls.

Proposition 0.5.7. [dimension de L(E ; F)]

SoientE etFdeux espaces vectoriels de dimension finie. Alors L(E ; F)est de dimension finie et : dim(L(E ; F)) =dimEdimF :

Plus précisément, si(ei)1ipet(fi)1insont des bases deEetF, on construit une base (ui; j)(i;j)2J1;nKJ1;pK

deL(E ; F)en notantui; j l'unique application linéaire telle que 8h2J1; pK; ui; j(eh) =j;hfi=^f₀ⁱ_sinon^sij=h.

Remarque. C'est plus facile à voir sur des matrices...

Exemple. Une forme linéaire surE est une application linéaire deE sur son corps de base K.

L'ensembleL(E ;K)des formes linéaires surE vérifie alorsdim(L(E ;K)) =dimE.

Proposition 0.5.8. [dimension de l'image d'un sous-espace]

Soient E et Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie ou non. Soient u2 L(E ; F) et Gun sous-espace vectoriel de Ede dimension finie. Alorsu(G)est un sous-espace vectoriel deFde dimension finie et :

dim(u(G))dim(G):

De plus, siuest injective, dim(u(G)) =dim(G).

Démonstration. Soite= (e1; :::; en) une base deG. Notonsv:G!u(G); x7!u(x). v est surjective, donc u(e) =v(e)est une famille génératrice deu(G). Ainsidim(u(G))n=dim(G).

De plus, siuest injective,vest un isomorphisme deGsuru(G), donc ces deux espaces vectoriels ont la même

dimension.

Corollaire 0.5.9. [rang d'une composée]

Soientu2 L(E ; F)et v2 L(F ; G)oùE ; F ; G sont trois K-espaces vectoriels.

Siuetv sont de rang fini, alors vuest de rang fini et rg(vu)6min(rgu;rgv).

Démonstration. On avu(E) =v(Imu)v(F).

D'une partv(Imu)est de dimension finie inférieure ou égale à celle dev(F)doncrg(vu)6rg(v).

D'autre part, par la proposition précédente,dim(v(Imu))6dim(Imu)soitrg(vu)6rg(u).

Corollaire 0.5.10. [rang et composition par un isomorphisme]

Avec les notations précédentes :

i. Siuest de rang fini et si vest un isomorphisme, alorsvuest de rang fini et rgvu=rgu.

ii. Siv est de rang fini et siuest un isomorphisme, alorsvuest de rang fini et rgvu=rgv.

0.6 Équations linéaires

0.6.1 Vocabulaire

Définition 0.6.1. Équation linéaire

On appelle équation linéaire, toute équation de la formeu(x) =boùuest une application linéaire d'un K-espace vectoriel Edans un K-espace vectorielF,b est un vecteur deF etxest l'inconnue, à rechercher dansE.

Définition 0.6.2. Système linéaire

SoientM2 MK(n; p) etB2Kⁿ. L'équation (S):

M X=B

en l'inconnueX2K^pest appelée un système denéquations àpinconnues. La matriceMest appelée la matrice du système (S), et le rang deMest appelé le rang de(S). Le système homogène associé à(S)est (SH) :M X= 0.

En notantC1; :::; Cp les colonnes de MetX=

0 BB

@ x₁ x_p

1 CC

A: (S),x1C1++xpCp=B

En effet, avecM= (mi;j),B=

0 B B@

b₁ bn

1 C CAetX=

0 B B@

x₁ x_p

1 C

CA, (S), 8i2Nⁿ;P

j=1

p mi;jxj=bi. On dispose bien denéquations en lespinconnuesx1; :::; xp.

0.6.2 Structure de l'ensemble des solutions

Notation. S désignera l'ensemble des solutions de (S)etS^Hcelui de (SH).

Proposition 0.6.3. S^H=Keru. C'est donc un sous-espace vectoriel deK^pde dimensionp¡rgu.