Stanislas
Exercices
Espaces vectoriels normés de dimension nie
Chapitre VIII
2020-2021PSI
I. Topologie générale
Exercice 1. (-)SoitA⊂E. Montrer que, sixest un point adhérent deA n'appartenant pas àA, alors chaque boule ouverte centrée enx possède une innité de points deA.
Exercice 2. [Centrale] Soient E l'espace vectoriel des suites réelles bor- nées et F l'espace vectoriel des suites réelles dont la série associée est absolument convergente. On dénit :
∀u∈E, NE(u) = sup
n∈N
|un| et∀ v∈F,NeF(v) =
+∞
X
n=0
|vn|.
1. Quelle est la relation d'inclusion entre E et F? Ces espaces sont-ils de dimension nie ?
2. On note pour v ∈ F, Tv : E → R, ξ 7→
+∞
P
n=0
ξnvn et pour u ∈ E, Teu : F → R,ξe7→
+∞
P
n=0
ξenun. Montrer que ces applications sont bien dénies, linéaires et lipschitziennes.
Exercice 3. (-)Soitf une fonction continue et A⊂E. 1.Montrer que f(A)⊂f(A).
2.Montrer que, en général, il n'y a pas égalité.
Exercice 4. (!) Soit k·k une norme sur Rn et d la distance associée.
Si A et B sont deux parties non vides de Rn, on note d(A, B) = inf{d(x, y),(x, y)∈A×B}.
1.Dénir une norme N surRn×Rn à partir de la normek·k.
2. Montrer que (x, y) 7→ d(x, y) est une application lipschitzienne sur A×B.
3. LorsqueA etB sont fermées et bornées et non vides, existe-t-il tou- jours(a, b)∈A×B tel que d(A, B) =d(a, b)?
4. Lorsque A et B sont fermées, existe-t-il toujours (a, b) ∈ A×B tel qued(A, B) =d(a, b)?
Exercice 5. (!)Soient d une distance sur E et A, B deux parties non vides deE telles que A∩B =A∩B =∅. On note, pour tout élémentx deE,d(x, A) = inf{d(x, a), a∈A} etd(x, B) = inf{d(x, b), b∈B}. 1.Montrer que l'application x7→d(x, A) est continue.
2.En déduire qu'il existe deux ouverts disjointsU etV tels queA⊂U etB⊂V.
II. Dimension nie
Exercice 6. [TPE] Pour tout vecteur u = (x, y) ∈ R2, on pose N(u) = sup{|x+ty|, t∈[0,1]}.
1.Montrer que N(u) = max{|x|,|x+y|}, puis queN est une norme.
2. Soit B la boule unité de N. Trouver le plus petit disque euclidien contenantB et le plus grand disque euclidien contenu dans B.
Exercice 7. (Convergence d’une matrice stochastique,-) Soient X0 une variable aléatoire à valeurs dans {1,2,3} et p ∈]0,1[. On note q = 1− p. On dénit par récurrence, pour tout entier naturel n, une variable aléatoireXn+1 à valeurs dans {1,2,3}telle que
P(Xn+1 = 1|Xn= 1) = 1, P(Xn+1 = 1|Xn= 2) =q, P(Xn+1 = 2|Xn= 1) = 0, P(Xn+1 = 2|Xn= 2) =p, P(Xn+1 = 3|Xn= 1) = 0, P(Xn+1 = 3|Xn= 2) = 0, P(Xn+1 = 1|Xn= 3) = 0,
P(Xn+1 = 2|Xn= 3) =q, P(Xn+1 = 3|Xn= 3) =p.
Pour tout entier natureln, on note
Un= P(Xn= 1) P(Xn= 2) P(Xn= 3) .
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Exercices VIII PSI
1.Montrer qu'il existe une matrice Atelle que, pour tout entier naturel n,Un+1 =UnA.
On note f l'endomorphisme de R3 canoniquement associé à A, B = (e1, e2, e3)la base canonique de R3 etv=e1+e2+e3.
2.Montrer que R3= Ker(f −Id)⊕Im(f −Id). 3.Montrer que B0 = (v, e2, e3) est une base deR3. 4.Déterminer la matrice def dans la baseB0. 5.En déduire la limite de la suite (An).
6.Montrer que (Un) converge et déterminer sa limite.
Exercice 8. (!) Soient A, B, C, D ∈ Mn(R) telles que CD = DC. Montrer que la matrice
A B C D
est inversible si et seulement si AD− BC est inversible.
Exercice 9. (-) Soient n ∈ N et x0 < · · · < xn des réels. Pour tout polynômeP ∈Rn[X], on posekPk1 =
n
P
p=0
|P(xp)|. 1.Montrer que k·k1 est une norme surRn[X].
2.Montrer qu'il existe a >0 tel que pour toutP ∈Rn[X], kPk1 >a sup
x∈[0,1]
|P(x)|.
Exercice 10. (!) Soit ϕ l'application dénie pour tout polynôme P ∈ R[X] parϕ(P) = P(2). On munit R[X] de la norme dénie pour tout P =
p
P
k=0
akXk∈R[X]parkPk1 =
p
P
k=0
|ak|.
1. Montrer que, siϕest continue, il existe une constante C strictement positive telle que, pour toutP ∈R[X],|ϕ(P)|6CkPk1.
2.En déduire que l'application ϕn'est pas continue.
Exercice 11. (Valeurs d’adhérence, !) Soit (an) une suite à valeurs réelles telle que lim
n→+∞(an+1−an) = 0. On noteA = T
N∈N
{an, n>N}. Montrer que siA possède deux réels distinctsα < β, alors
∀ γ ∈[α, β], γ ∈A.
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