Série Suites Réelles

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Mantadher Ben Marzouk

Exercice N°1:

On considère la suite (U ⁿ ) définie sur par : U 0 =2 et U ⁿ⁺¹ = ^3U _2U

⁻¹

n

1) a) Montrer que pour tout entier naturel n on a U ⁿ >1.

b) Montrer que (U ⁿ ) est une suite décroissante.

c) En déduire que la suite (U ⁿ ) est convergente et trouver sa limite.

2) Soit (V n ) la suite définie sur IN par : V n = ^{2Un −2} _{2Un −1}

a) Montrer que (V n ) est une suite géométrique de raison ¹ ₂

b) Exprimer V n en fonction de n . En déduire U n en fonction de n.

c) Retrouver alors la limite de la suite (U n ) quand n tend vers +∞.

Exercice N°2

Partie A : choisir la bonne réponse :

1) (U n ) est une suite réelle vérifiant pour tout n𝜖 IN *: -1- ¹ _𝑛 ≤ U _n ≤ ¹ _𝑛 a. lim _𝑛→+∞ U _n = 0 b. lim _𝑛→+∞ U _n = −1 c. (U _n ) est bornée 2)soit la suite (U n ) définie sur IN par : U n = ^𝑛+(−1) _𝑛−2 ^𝑛 alors on a

a. lim _n→+∞ U _n = 0 b. lim _n→+∞ U _n = 1 c.(U _n ) n'a pas de limite 3) Pour tout n ϵ IN on pose S n = ^𝑛 _𝑘=0 ( ¹ ₂ ) ^𝑛 alors on a :

a. lim _n→+∞ S _n = 0 b. lim _n→+∞ S _n = 2 c. lim _n→+∞ S _n = +∞

Partie B : Répondre par vrai ou faux :

1) Si (U n ) est une suite croissante alors elle est convergente 2) Si (Un) est une suite non minorée alors lim _n→+∞ U _n = −∞

3) Si(U n ) une suite qui admet une limite en + ∞ alors elle est convergente.

Exercice N°3

Soit la suite U n pour nϵ IN définie par : U ₀ = a U _n+1 = ¹ ₂ U _n + 5 1) Calculer U 1 et U 2 en fonction de a.

2)On pose W n = U n - a

a) Trouver le réel a pour que soit une suite géométrique. Pour la suite de l’exercice, on prendra cette valeur.

b) Déterminer W n puis U n en fonction de n .

3) Etudier la convergence de chacune des suites W n et U n .

Exercice N°4

Soit (U n ) la suite définie sur IN par : U 0 = 2 et U n+1 = ² ₅ U n + 3

1) Calculer (U 1 ) et (U 2 ) ; U est-elle géométrique ? Est-elle arithmétique ? 2) Montrer que pour tout n ∈ IN : 2 ≤ U _n ≤ 5

3)a) Montrer que (U n ) est une suite croissante .

b) En déduire alors que (U n ) est convergente et déterminer sa limite.

4) On pose pour tout n ∈ IN par V _n = U n − 5.

Montrer que (V n ) est une suite géométrique.

5)a) Exprimer (V n )et (U n ) en fonction de n.

b) En déduire lim _n→+∞ V _n puis retrouver lim _n→+∞ U _n .

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Exercice N°5

Soit (U n ) la suite définie sur IN par : U ₀ = −3 U _n+1 = ^2U _U ^{n +4}

n +5

1) Calculer (U 1 ) et (U 2 ) ; U est-elle géométrique ? Est-elle arithmétique ? 2) Montrer que pour tout n ∈ IN : -4 ≤ U n ≤ 1

3)a) Montrer que (U n ) est une suite croissante

b) En déduire alors que (U n ) est convergente et déterminer sa limite.

On pose pour tout n ∈ IN par V _n = ^U _U ^{n −1}

n +4

4) Montrer que (V n ) est une suite géométrique de raison ¹ ₆ . 5)a) Exprimer (V n )et (U n ) en fonction de n.

b) En déduire lim _n→+∞ V _n puis retrouver lim _n→+∞ U _n

Exercice N°6

Soit (U n ) la suite définie sur IN par : T ₀ = 9 T _n+1 = ^8T _T ^{n −6}

n +1 1) Montrer que pour tout n ∈ IN : T _n ≥ 6

2)a) Montrer que T _n+1 − T _n = ^{(T n −1)(6−T} _T ^{n )}

n + 1

b) En déduire (T n ) est une suite décroissante c) En déduire alors que (T n ) est convergente.

3) Montrer que pour tout n ∈ IN T _n+1 − 6 ≤ ² ₇ T _n − 6 . 4) En déduire T _n − 6 ≤ 3 ( ² ₇ ) ^𝑛

5) En déduire lim _n→+∞ T _n .

Exercice N°7

On considère la suite U n pour nϵ IN définie par : U ₀ = 6 U _n+1 = ^2+4U _3+U ⁿ

n et dans le graphique, on donne la courbe représentative C f de la fonction f(x) = ^2+4x _3+x

pour x ϵ ]-1 ,+ ∞ [ et la droite D d'équation y = x.

1) a )Déterminer graphiquement les abscisses  et

 ; ( < ) des points d'intersection de la courbe C f et la droite D.

b) Placer sur l'axe des abscisses sans faire de calcule les termes U 0 , U 1 , U 2

2) a) Montrer que pour tout n, U n >2.

b) Montrer que la suite (U n ) est décroissante.

c) En déduire que la suite (U n ) est convergente et trouver sa limite l

3) Soit (V n ) la suite définie sur IN par V n = ^U _1+U ^{n −2}

n a) Montrer que (V n ) est une suite géométrique de raison q= ² ₅ .

b) Exprimer V n puis un en fonction de n .

c) Calculer la limite de la suite (V n ), puis

retrouver la limite de la suite (U n ).

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Exercice N°8

On considère les suites définie pour tout n ∈ I N ^{ *} , par U ₁ = ¹ ₃

U _n+1 = ¹⁺ⁿ _3n U _n et V _n = ^U _n ⁿ 1) Montrer que V _n est une suite géométrique.

2) Exprimer V n en fonction de n .

3) En déduire l’expression de u ⁿ en fonction de n . 4) Soit la S n = V ⁿ _{1 k} .

Calculer S n en fonction de n et montrer que la suite S

est convergente.

Exercice N°9

On considère la suite (U n ) pour n ∈ IN définie par; U 0 =1 et U n+1 = ¹ ₃ U n + n - 2 . 1) Calculer U 1 , U 2 et U 3 .

2) a) Démontrer que pour tout entier naturel n ≥4 ; U n ≥ 0.

b) En déduire que pour tout entier naturel n ≥5 ; U n ≥ n-3. . c) En déduire la limite de la suite(U n ) n ∈ IN .

3) On définit la suite V n pour tout n ∈ IN : V n = -2U n +3n - ²¹ ₂ .

a) Démontrer que la suite (V n ) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

b) En déduire que : pour tout U n = ²⁵ ₄ ( ¹ ₃ ) ⁿ + ³ ₂ 3n- ²¹ ₄ .

c) Soit la somme S n définie pour tout entier naturel n par :S n = U ⁿ _{0 k} . Déterminer l'expression de Sn en fonction de n .

Exercice N°10

On considère la suite (U n ) définie sur par : U 0 =2 5 et U _n+1 = ^U _2U

^{2 +5}

n

1) Montrer que pour tout entier naturel n on a U _n > 5.

2) Montrer que (U _n+1 - U _n )= ^−U _2U

^{2 +5}

n

et en déduire que U _n une suite décroissante.

3) En déduire que la suite (U ⁿ ) est convergente et trouver sa limite.