PanaMaths
[1 - 2]Octobre 2011
Soit ( ) u
net ( ) v
ndeux suites d’un espace vectoriel normé E telles que :
• ( ) u
nest une suite de Cauchy.
• lim ( n n) 0
E
n→+∞ u − v = .
Montrer que ( ) v
nest une suite de Cauchy.
Analyse
On exploite chacune des hypothèses afin de montrer, via la définition, que la suite
( )
vn est une suite de Cauchy. On n’hésite donc pas à manipuler des « ε » pour majorer classiquement la différence vm−vp …Résolution
Pour tous entiers naturels m et p, on a :
( ) ( ) ( )
m p m m m p p p m m m p p p
v −v = v −u + u −u + u −v ≤ v −u + u −u + u −v
Soit alors ε un réel strictement positif.
La suite
( )
un étant une suite de Cauchy, il existe un entier naturel N1 tel que :(
,)
2, 1et 1m p 3
m p m N p N u u ε
∀ ∈` ≥ ≥ ⇒ − ≤
Par ailleurs, la suite
(
un−vn)
convergeant vers 0E, il existe un entier naturel N2 tel que : , 2q q 3
q q N u v ε
∀ ∈` ≥ ⇒ − ≤
On déduit de ce qui précède que pour tous entiers m et p supérieurs à N =max
(
N N1, 2)
, on a :m p 3 u −u ≤ε
, um−vm ≤ε3
et up−vp ≤ε3
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[2 - 2]Octobre 2011
D’où :
3 3 3
m p m m m p p p
v −v ≤ v −u + u −u + u −v ≤ + + =ε ε ε ε.
En définitive, on a : ∀ > ∃ ∈ε 0, N `/∀
