SoitEun espace vectoriel normé

L3 Calcul différentiel Contrôle continu 2008-2009 1. Montrer que toute boule ouverte d’un espace vectoriel normé est convexe.

2. SoitEun espace vectoriel normé.

(a) SoitBune partie non bornée deE. Montrer queBn’est pas un compact.

(b) SoitFune partie finie non vide deE. Montrer queF est compact. (on pourra utiliser la méthode des recouvrements) 3. SoitEl’espace vectoriel des fonctions continues de[0,1]dansR. On norme cet espace vectoriel par :

∀f ∈E, kfk∞=sup_t∈[0,1]|f(t)|

(a) Montrer que la norme 1 définie par :

∀f ∈E, kfk₁= Z 1

0

|f(t)|dt

n’est pas équivalente à la norme infinie. (on pourra chercher une suite non bornée de fonctions pour une norme, mais bornée pour l’autre)

(b) Montrer queEn’est pas de dimension finie.

(c) Soitφ:E →Rdéfinie par :

∀f ∈E, φ(f) = Z 1

0

f(t)g(t)dt oùgest une fonction continue et positive deE.

Montrer queφest continue (pour la norme infinie).

Calculer la norme deφ.

4. (Bonus spécial pour les amateurs de compacts qui vont être triplement contents) SoitAetBdeux compacts d’un espace vectoriel normé.

Montrer que la réunion des segments, reliant les points deAaux points deB, est compacte.

Autrement dit, montrer queC=∪a∈A,b∈B[a, b]est compact.

5. (Bonus prise de tête) A l’exercice3on a vu quekφk_∞=kgk1. A-t-onkφk1=kgk_∞?

L3 Calcul différentiel Contrôle continu2 2008-2009

1. SoitE=Mn(R)l’espace vectoriel des matrices carrées réelles, muni d’une norme telle que :

∀(A, B)∈E², kABk ≤ kAk × kBk Montrer queφ:

E→E

A7→A² est différentiable surEet calculerDφ(A).Hpour toutAet toutHdeE.

2. SoitU un ouvert connexe d’un espace de BanachEetf:U →Fune application différentiable à valeurs dans un espace de BanachF.

Montrer que si l’applicationDf:U → L(E, F)est constante,f est somme d’une constante et de la restriction àU d’une application linéaire.

3. SoitE=R²muni de la norme1:

∀(x, y)∈E, k(x, y)k=|x|+|y|

SoitU ={(x, y)∈E|1< x < y <4}

(a) Justifier queU est un ouvert et dessinerU. (b) Soitφ:U →Edéfinie par :

∀(x, y)∈U, φ(x, y) = x+y

2 ,√ xy

Calculer la différentielle deφen tout(x, y)∈Uet montrer que :

kDφ(x, y)k= 1 2+1

2 ry

x

L3 Calcul différentiel Contrôle continu N^o3 2008-2009

1. On considère la courbe du plan (R²) définie par l’équationx³+y³−3xy= 0.

Montrer qu’en pour tout point(a, b)de la courbe sauf deux que l’on déterminera, il existe un voisinageV dea, un voisinageW debet une fonctionφ: V →W de classeC¹telle que :

∀x∈V,∀y∈W, x³+y³−3xy= 0 ⇐⇒ y=φ(x)

2. SoitEun espace vectoriel normé de dimension finie. On considèreg:E→Ede classeC¹telle qu’il existek∈[0,1[majorant la norme de toutes les différentielles :∀x∈E, kDg(x)k ≤k

On définit alorsφ:E →Epar :∀x∈E, φ(x) =x+g(x) (a) Montrer queφest un difféomorphisme local en tout point.

(b) Montrer que pour toutµ∈Ela fonctiong+µadmet un unique point fixe.

(c) φest-elle un difféomorphisme deEdansE? (d) Application : soitf:R²→R²définie par :

∀(x, y)∈R², f(x, y) =

x−1

2sin(x+y), y−1

2cos(x−y)

f est-elle un difféomorphisme deR²dansR²?

L3 Calcul différentiel Contrôle continu N^o4 2008-2009

1. Soitf: E→EoùEest un espace vectoriel normé de dimension finie (surR).

(a) f bijective équivaut àf injective . . . Vrai Faux (b) f localement bijective impliquef injective . . . Vrai Faux (c) Sif est localement injective et est surjective alorsf est bijective . . . Vrai Faux (d) Si pour toutx∈E,f(x) =xalorsfest différentiable surEet pour toutx∈E,Df(x)∈. . . R E L(E) L(E, L(E)) 2. Soitφ: F→Fune application linéaire oùFest un espace vectoriel normé de dimension finie ou infinie.

(a) φcontinue ssiφest bornée . . . Vrai Faux (b) φinjective sikφk>0. . . Vrai Faux (c) φbijective ssiφinjective . . . Vrai Faux 3. Soitφ: F→Fune application linéaire oùFest un espace vectoriel normé de dimension finie.

(a) Kerφ={0} ⇐⇒ φ bijective . . . Vrai Faux (b) Detφ6= 0 ⇐⇒ φ bijective . . . Vrai Faux 4. Théorème du point fixe. Soitf:U → EoùU est un ouvert deEqui est un Banach. On supposef de classeC¹ surU et on suppose

également qu’il existek <1tel que pour toutx∈U,kDf(x)k ≤k. SoitKfermé non vide deU tel quef(K)⊂K. Alors :

(a) Kest complet . . . Vrai Faux (b) f a un unique point fixe surKsi on rajoute l’hypothèse . . . U connexe Uconvexe Aucune hypothèse à rajouter 5. Théorème des accroissements finis. soitf: U →F oùU ouvert deEetE,Fespaces de Banach. On supposef de classeC¹surU, et

on suppose qu’il existek∈Rtel que pour toutx∈U,kDf(x)k ≤k. Soit(x, y)∈U²alors kf(x)−f(y)k ≤kkx−yk

à condition que . . . U connexe [x;y]⊂U Aucune autre hypothèse 6. Topologie :

(a) Un ensemble qui n’est pas ouvert est forcément fermé . . . Vrai Faux (b) Il existe des ensembles ouverts et fermés à la fois . . . Vrai Faux

(c) Un ensemble fini est borné . . . Vrai Faux (d) Un ensemble borné est fini . . . Vrai Faux 7. Théorème des fonctions implicites. Soitf:R^p→Rⁿavecq=p−n >0une fonction différentiable.

(a) La matrice jacobienne def enx∈R^paplignes etncolonnes . . . Vrai Faux (b) La matrice jacobienne def peut être inversible . . . Vrai Faux (c) Soita = (a₁, a₂) ∈ R^q ×Rⁿ tel quef(a) = 0. Si la matrice carréen×nla plus à droite de la matrice jacobienne def en

a= (a₁, a₂)est inversible alors il existeV voisinage dea₁etWvoisinage dea₂etφ: V →W de classeC¹tels que :

∀x= (x1, x2)∈V ×W, f(x) = 0 ⇐⇒ x2=φ(x1). . . Vrai Faux 8. Théorème de l’inversion locale. Soitf:E→FoùE,Fespaces de Banach. On supposefde classeC¹. Si pour toutx∈E,Df(x)est

inversible alors :

(a) f est unC¹difféomorphisme local . . . Vrai Faux (b) f est une application ouverte (l’image d’un ouvert est un ouvert) . . . Vrai Faux (c) f est une application fermée (l’image d’un fermé est un fermé) . . . Vrai Faux (d) f est injective . . . Vrai Faux (e) f est surjective . . . Vrai Faux (f) f est bijective . . . Vrai Faux