TD14 : Espace vectoriel normé

Lycée-Chrestien-de-Troyes-PC-mathématiques

TD14 Séries entières PC

N° 1 Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes :

n n 0



z ⁿ

n 0



nz ₂ ⁿ

n 1

1 z



n

 

ⁿ

n 0

sin n z



n n n 0

e^ z



_n ⁿ

n 0

n!z



n ^{n n}

n 0



n z

 

^{2n 1}

n 0

n! z

1.3.... 2n 1





 N° 2 Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes :

 

ⁿ

n 0

Arc tan n z



ⁿ

n 0

Arc tan 1 z n

  



 

 

n n 2 n 1

3 z

n 2



 

2n n n 0

2n !z



n! n

cosn n n 0

e z



n n n 1

1 1 e z

n

  

    

  

 



 

^{n n}

n 0

1 i z



 

n 2 n 0

2sh n n n z



N° 3 Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes :

n n 0

cos 2n z 1988

  

 

 



_n ⁿ

n 0



a z (où a_n désigne la nième décimale de ) N° 4 Soit R un réel strictement positif.

1. Donner une série entière dont le rayon de convergence est R.

2. Même question avec R= 0 et R= +

N° 5 1. Donner une série entière qui converge sur tout le cercle d’incertitude.

2. Donner une série entière qui ne converge sur aucun point du cercle d’incertitude.

3. Donner une série entière converge juste sur une partie du cercle d’incertitude.

N° 6 Soit

 

a_{n n} une suite de complexes telle que _n ¹ⁿ

nlim a

 =  (éventuellement infinie).

Quel est le rayon de convergence de la série entière



a z_n ^{n ?}

N° 7 1. Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme à l’aide des fonctions usuelles (la variable x est réel).

n n 0



nx ^{2 n}

n 0



n x

2. Généraliser sans calculer la somme à la série entière ^{p n}

n 0



n x (avec p un entier naturel non nul)

N° 8 Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme à l’aide des fonctions usuelles (la variable x est réel).

 

ⁿ

n 0

sh n x



 

ⁿ

n 0

cos n x



(avec  un réel)

N° 9 Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme à l’aide des fonctions usuelles (la variable x est réel).

 

n

n 0

x



2n !

 

n

n 0

x n 2n 1



N° 10 Soit



a_nune série convergente.

Déterminer le rayon de convergence de la série entière

!

n n

a z



n