II - Topologie d’un espace vectoriel normé

Démonstrations complémentaires dans les espaces vectoriels normés

II - Topologie d’un espace vectoriel normé

Soient (E, · )un espace vectoriel normé, x un point deE etA une partie deE.

2) Intérieur, adhérence, frontière

•x estintérieur à A si et seulement si : ∃r >0 B(x, r)⊂A(i.e. A est un voisinage de x)

•l’intérieur de A, noté A, est la réunion des ouverts inclus dans˚ A ; c’est le plus grand ouvert de E inclus dansA ; c’est aussi l’ensemble des points intérieurs àA.

Dém.Soit Ωl’ensemble des ouverts deE inclus dansA ; par définitionA˚=

O∈Ω

O.

A˚est un ouvert de E (en tant que réunion d’une famille d’ouverts), inclus dansA par construction et il contient tout ouvert O inclus dansApar définition ! Par conséquent,

A˚est le plus grand ouvert deE inclus dansA. Notons I l’ensemble des points intérieurs àA. Il s’agit de montrer queI= ˚A.

I ⊂A˚: soitx un point intérieur àA; je dispose der >0tel queB(x, r)⊂A, orB(x, r)est un ouvert deE, doncB(x, r)∈Ω, d’où B(x, r)⊂A˚par définition, or x∈B(x, r) doncx∈A˚.

A˚⊂ I : soitx∈A˚; par définition je dispose deO, ouvert deE inclus dans A, tel quex∈ O. Comme O est ouvert, je dispose de r >0 tel que B(x, r) ⊂ O; or O ⊂A donc par transitivité B(x, r) ⊂A et x est bien intérieur àA.

En conclusion

A˚est l’ensemble des points intérieurs àA.

•xest adhérent à A si et seulement si : ∀r >0 B(x, r)∩A=∅ ; en particulier tout point deA est adhérent àA, même si cette notion n’est “intéressante” que pour un point n’appartenant pas àA

•l’adhérence de A, notéeA¯, est l’intersection des fermés contenantA; c’est le plus petit fermé de E contenant A; c’est aussi l’ensemble des points adhérents àA.

Notons C=E\A le complémentaire de Aet remarquons que B(x, r)∩A=∅ ⇔B(x, r)⊂C

donc que “x est adhérent àA” équivaut à “x n’est pas intérieur à C”. Autrement dit, l’ensemble des points adhérents àAest le complémentaire deC˚. Or les ouverts inclus dansCsont les complémentaires des fermés contenant A, donc – en vertu des lois de De Morgan – C˚ est le complémentaire de A.¯ Finalement A¯ est bien l’ensemble des points adhérents à A. Par ailleurs on montre comme ci-dessus que c’est le plus petit fermé deE contenant A(ce qui découle aussi des lois de De Morgan. . . ).

Propriétés :pour toute partie AdeE, on a A˚⊂A⊂A¯,E\A˚=E\A,E\A¯=

◦

E\A; A est ouvert si et seulement siA= ˚A ;A est fermé si et seulement siA= ¯A.

Dém. Les inclusions A˚⊂ A ⊂ A¯ découlent directement des définitions. En notant C = E\A, nous avons montré ci-dessus queC˚est le complémentaire deA¯, c’est-à-dire que E\A¯=

◦

E\A.

Cela étant vrai pour toute partie AdeE, je peux l’appliquer à C : E\C¯ = ˚A, d’où E\A=E\A.˚ SiA est ouvert, alors A est évidemment le plus grand des ouverts deE inclus dansA ! DoncA= ˚A.

Réciproquement, siA= ˚A, alorsA est ouvert puisque A˚est ouvert par construction.

Même style de justifications pour “A est fermé si et seulement siA= ¯A”.

Démonstrations complémentaires dans les espaces vectoriels normés Page 2

IV - Compacité (complément hors programme)

1) Définition

Une partieK d’un espace vectoriel normé E est compacte si et seulement si toute suite d’éléments de K admet une sous-suite convergeant vers un élément deK. On dit aussi que K est un compact deE.

2) Premières propriétés

Tout compact d’un espace vectoriel normé est fermé et borné.

Dém.SoitK compact de E ; il vérifie la caractérisation séquentielle des fermés : en effet, soit(un)une suite convergente d’éléments de K ; je note ℓ sa limite. Par définition, (u_n) admet une sous-suite qui converge vers un élément de K, or cette limite est nécessairement ℓ puisque toute sous-suite de (un) converge versℓ ; donc par unicité de la limiteℓ∈K. AinsiK est fermé.

Je montre que K compact ⇒ K borné par contraposition : si K n’est pas borné, je peux construire une suite (u_n) d’éléments deK vérifiant, par exemple, u_n ≥npour tout n; alors aucune sous-suite de(un) ne peut converger !

3) Image directe d’un compact par une fonction continue

Théorème :si f : A → F est continue sur A et K compact de E inclus dans A, alors f(K) est un compact de F.

Dém.Soit (y_n) une suite d’éléments de f(K). Par définition de l’image directe, je dispose d’une suite (xn) d’éléments de K telle que y_n=f(xn)pour tout n. K étant compact, je dispose d’une sous-suite x_ϕ(n) convergeant vers un élément ℓ de K. Mézalor, f éant continue en ℓ, f x_ϕ(n) converge vers f(ℓ). J’ainsi trouvé une sous-suite de (y_n)convergeant vers un élément def(K). En conclusionf(K) est compact.

Corollaire : si f est à valeurs réelles et continue sur un compact non vide K, alors f est bornée sur K et atteint ses bornes, notéesmin

K f,max

K f, lesextremums globaux def sur K(en effet, la borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie de R est adhérente à cette partie, dès qu’elle existe).

Dém.Immédiat, puisque dans ce casf(K)est une partie fermée, bornée et non vide deR. Elle admet donc une borne supérieure (resp. inférieure) qui appartient àf(K) (en tant que point adhérent à un fermé). Il s’agit donc bien d’un plus grand (resp. petit) élément.

Cas particulier : toute application continue sur un compact non vide est bornée et les bornes supérieure et inférieure de sa norme sont atteintes.

Dém.Appliquer le corollaire précédent à la fonctionx→ f(x) .

V - Espaces vectoriels normés de dimension finie

1) Compléments hors programme

a) Équivalence des normes en dimension finie — conséquences

Théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée de K^p on peut extraire une suite con- vergente pour la norme N_∞.

Dém.Par récurrence sur p, en extrayant une “sous-sous-suite” pour chaque nouvelle composante. . . Corollaire : les parties compactes deK^p muni de la normeN_∞ sont les parties fermées bornées.

Dém. Tout compact est fermé et borné, cf. § IV-2. Le théorème de Bolzano-Weierstrass fournit la réciproque dans K^p.

Démonstrations complémentaires dans les espaces vectoriels normés Page 3 Corollaire : dansK^p, toutes les normes sont équivalentes.

Dém.Soit N une norme surK^p. Il suffit de montrer queN etN_∞ sont équivalentes (par transitivité il en résultera que toutes les normes sont équivalentes). Notons C= (e1, . . . , ep) la base canonique deK^p. Soit x= (x1, . . . x_p)∈K^p, j’ai grâce à l’inégalité triangulaire

N(x)≤

p k=1

|xk|N(ek)≤αN∞(x) où α=

p k=1

N(ek).

Cette inégalité montre que l’application N est continue de(K^p, N_∞) dans (R,|·|), car α-lipschitzienne, puisque

∀(x, y)∈(K^p)² |N(x)−N(y)| ≤N(x−y)≤αN_∞(x−y).

Or la sphère unité S de (K^p, N_∞) est non vide et compacte (car fermée bornée), donc N atteint son minimum m sur S. Ledit minimum est strictement positif, puisque si N_∞(x) = 1, x est non nul et doncN(x)>0 carN est une norme.

J’ai alors, pour tout vecteur xnon nul de K^p,

N 1

N_∞(x) ·x ≥m d’où N_∞(x)≤ 1 mN(x)

et cette dernière majoration est vraie aussi pour x= 0! Ainsi N et N∞ sont équivalentes.

Théorème fondamental

Dans un K-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Dém.Soit E un K-espace vectoriel de dimension finiep,B= (e₁, . . . e_p)une base de E etN₁,N₂ deux normes sur E. Il est aisé de vérifier que, pour j ∈ {1,2}, ν_j : (x₁, . . . x_p) → N_j

p k=1

x_ke_k est une norme surK^p. Nous venons de voir queν₁ etν₂ sont équivalentes, il en résulte immédiatement queN₁ etN₂ sont équivalentes.

b) Compacité

Théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée d’unK-espace vectoriel de dimension finie possède une sous-suite convergente.

Dém.Utiliser la normeN∞ associée à une base, maintenant que l’on sait que la notion de convergence ne dépend pas du choix de la norme !

Théorème :dans unK-espace vectoriel de dimension finie, les parties compactes sont les fermés bornés.

Dém.La même que dans K^p !

2) Les résultats au programme dans la filière PSI

b) Utilisation des coordonnées

Soit B= (e1, . . . , e_d) une base de F et(un)_n∈N une suite de vecteurs deF. Les suites coordonnées (u_n,k)_n∈N, pourk∈[[1, d]] sont définies par

∀n∈N u_n= ^d

k=1

u_n,k.e_k.

Soit alorsℓ=

d k=1

ℓ_k.e_k. Comme la notion de convergence ne dépend pas du choix de la norme, je choisis d’utiliser la normeN_∞:x=

d k=1

x_k.e_k→ max

1≤k≤d|xk|et je constate (classiquement !) que N_∞(un−ℓ) −→

n→∞0 ⇔ ∀k∈[[1, d]] |un,k−ℓ_k| −→

n→∞0

d’où le résultat : (u_n)_n∈N converge si et seulement si toutes les suites coordonnées convergent, auquel cas les coordonnées de la limite sont les limites des suites coordonnées.

De même pour l’étude de la limite en un point pour une fonction à valeurs dans F.

Démonstrations complémentaires dans les espaces vectoriels normés Page 4 c) Continuité des applications linéaires et multilinéaires

Théorème :toute application linéaire d’unK-espace vectorielde dimension finieE dans un espace vectoriel normé F est lipschitzienne, donc continue.

Dém. Dans le cadre du programme officiel, ayant choisi une base B = (e1, . . . , e_d) de E on montre facilement que u∈ L(E, F)est lipschitzienne de(E, N_∞)dans(F, · ), où N_∞ est la norme habituelle associée à B. En effet

pour x= ^d

j=1

x_je, j’ai u(x) = u

d j=1

x_je_j ≤kN_∞(x) où k= ^d

j=1

u(ej) .

On en déduit queu est continue sur E, notion indépendante du choix de la norme dans E.

Puis on en déduit queu est lipschitzienne quel que soit le choix de la norme dansE, soit en utilisant la méthode du III-5), soit en utilisant l’équivalence des normes (mais cette notion est hors programme).

Exercice : dans un espace vectoriel normé E de dimension finie, tout sous-espace vectoriel F est un fermé.

Dém.Il suffit de choisir un supplémentaire G deF et de considérer le projecteur p de E sur G paral- lèlement à F. AlorsF = Kerp=p⁻¹({0}) est fermé, car p est continue sur E (linéaire en dimension finie) et{0}est un fermé de E.

Théorème :plus généralement, si E₁, . . . , E_p sont des K-espaces vectoriels de dimension finie, toute application p-linéairef de l’espace produit

p k=1

E_k dans un espace vectoriel normé F est continue et il existe M dansR⁺ tel que

∀(x1, . . . , x_p)∈

p k=1

E_k f(x1, . . . , x_p) ≤M·

p k=1

x_k .

Dém. Je montre d’abord la majoration ci-dessus dans le cas où chaque E_k est muni d’une base Bk = (e_k,1, . . . , e_k,dk) et de la norme “infinie” associée N_k :

dk

j=1

λ_je_k,j → max

1≤j≤dk

|λj|. Il suffit de développer

par multilinéarité, pour (x1, . . . , x_p)∈

p k=1

E_k où x_k= ^dk

jk=1

x_k,jke_k,jk pour tout kde [[1, p]] : f(x1, . . . , x_p) = ^d1

j₁=1

· · ·

dp

jp=1

x_1,j1· · ·x_p,jpf e_1,j1, . . . , e_p,jp d’où

f(x1, . . . , x_p) ≤M·N₁(x1)· · ·N_p(xp) où M = ^d1

j₁=1

· · ·

dp

jp=1

f e_1,j1, . . . , e_p,jp .

J’en déduis la continuité de f sur E =

p k=1

E_k : soient a= (a1, . . . , a_p) et x= (x1, . . . , x_p) dans E. Je pose

y₀=f(a₁, . . . , a_p), y_p =f(x₁, . . . , x_p) et ∀k∈[[1, p−1]] y_k=f(x₁, . . . , x_k, a_k+1, . . . , a_p) de sorte que, par multilinéarité,

∀k∈[[1, p]] y_k−y_k−1=f(x₁, . . . , x_k−1, x_k−a_k, a_k+1, . . . , a_p) d’où

f(x1, . . . , x_p)−f(a1, . . . , a_p) =

p k=1

y_k−y_k−1

≤ M·

p k=1

N₁(x1)· · ·N₁(xk−1)N_k(xk−a_k)N_k+1(ak+1)· · ·N_p(ap) et la continuité def ena en résulte, puisque cette dernière somme tend vers 0 lorsquex tend vers a. Reste à prouver l’existence deM pour des normes quelconques sur lesE_k, ce qui là encore peut s’obtenir, soit en utilisant la méthode du III-5), soit en utilisant l’équivalence des normes en dimension finie, donc dans chacun desE_k.