Espaces vectoriels préhilbertiens réels

Espaces vectoriels préhilbertiens réels

E désigne un R-espace vectoriel.

I. Produit scalaire I.1 Dénitions

Définition 1 (Produit scalaire).

Une applicationf : E×E →Rdénit un produit scalaire si f est (i). une forme bilinéaire symétrique : pour tous (u, v, w)∈E³, λ∈R,

f(u, v) =f(v, u).

f(u+λv, w) =f(u, w) +λf(v, w).

(ii). dénie positive : ∀u∈E, f(u, u)>0 avec égalité si et seulement siu= 0E. Notation.

Le produit scalaire de deux élémentsu, v ∈E sera notéhu, vi,u·v ou (u|v). Exercice 1.

1. Soit A ∈Mn(R). Donner une condition nécessaire et susante sur A pour que l'application ϕ : Mn,1(R)×Mn,1(R)→R,(X, Y)7→^tXAY soit une forme bilinéaire symétrique.

2. Donner des exemples de produits scalaires surRⁿ,C([a, b],R),Mn(R). 3. Montrer queϕ : R[X]×R[X]→R,(P, Q)7→

Z 1 0

P(t)Q(t)dtest un produit scalaire.

4. SoitA=





1 2 1 2 6 2 1 2 3



. Montrer que(X, Y)7→^tXAY dénit un produit scalaire.

Définition 2 (Espace vectoriel préhilbertien / euclidien).

(i). Un espace préhilbertien réel est un R-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

(ii). Un espace vectoriel euclidien est un R-espace vectoriel de dimension nie muni d'un produit scalaire.

I.2 Inégalités

Proposition 1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Pour tous vecteursu, v ∈E,

|hu, vi|6p

hu, uip hv, vi, avec égalité si et seulement si uetv sont colinéaires.

Exercice 2.Montrer que |Tr(A)|6p

nTr(A^tA). Proposition 2 (Inégalité de Minkowski).

Pour tous vecteursu, v ∈E,

phu+v, u+vi6p

hu, ui+p hv, vi.

I.3 Norme & Distance euclidiennes Théorème 1 (Norme euclidienne).

SoitE un espace vectoriel muni d'un produit scalaireh·,·i. L'applicationk·k : E →R+, u7→

phu, ui est une norme surE. C'est la norme euclidienne issue du produit scalaire.

Siu∈E est tel quekuk= 1, le vecteuruest normé ou unitaire.

Notation.

k·k désignera la norme associée au produit scalaireh·,·i.

Exercice 3.Donner des exemples de normes euclidiennes surRⁿ,C([a, b],R) etMn(R). Propriété 3 (Identités de polarisation).

Soientu, v ∈E.

(i). ku+vk² =kuk²+kvk²+ 2hu, vi.

(ii). Al-Kashi.ku−vk² =kuk²+kvk²−2hu, vi.

(iii). Identité de polarisation.ku+vk²− ku−vk²= 4hu, vi.

(iv). Identité du parallélogramme.ku+vk²+ku−vk² = 2(kuk²+kvk²). Exercice 4.

1. Retrouvez la formule de la médiane :AB²+AC² = ¹₂BC²+ 2AI².

2. Montrer quek·k_∞ : R²→R,(x, y)7→max{|x|,|y|}n'est pas une norme euclidienne.

3. Montrer queN : R² →R,(x, y)7→p

4x²+ 2xy+ 3y²est une norme euclidienne et identier

3

II. Orthogonalité II.1 Dénitions

Définition 3 (Orthogonalité).

SoientEunR-espace vectoriel muni d'un produit scalaire,u, vdeux vecteurs deE,F, Gdeux sous-espaces vectoriels de E,p∈N^? et(u₁, . . . , u_p)∈E^p.

(i). Les vecteurs uetv sont orthogonaux si hu, vi= 0. On noteu⊥v. (ii). Les espacesF etGsont orthogonaux si∀ (u, v)∈F×G, hu, vi= 0. (iii). La famille (u₁, . . . , u_p) est orthogonale si ∀i, j ∈J1, pK, i6=j, hu_i, u_ji= 0.

(iv). La famille (u₁, . . . , u_p) est orthonormée si∀ i, j ∈J1, pK,hu_i, u_ji=δ_ij. (v). L'orthogonal de F est l'espace F^⊥={u∈E ; ∀ v∈F,hu, vi= 0}. Exercice 5.

1. DéterminerE^⊥ puis {0_E}^⊥.

2. SoientF, Gdeux sous-espaces vectoriels deE tels queF ⊂G. Montrer que G^⊥⊂F^⊥. 3. SoientR³ muni du produit scalaire canonique etD= Vect{(1,1,1)}. Déterminer D^⊥. Propriétés 4 (Orthogonalité & Somme directe).

SoientF, G deux sous-espaces vectoriels deE.

(i). Si F etGsont orthogonaux, alors ils sont en somme directe.

(ii). L'espaceF^⊥ est un sous-espace vectoriel de E.

Exercice 6. Dans R³ muni du produit scalaire canonique, on considère P = Vect{(1,1,2),(1,3,4)}. Déterminer une équation cartésienne de P puis deP^⊥.

Théorème 2 (Pythagore).

(i). Soient u, v ∈ E. Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si ku+vk² = kuk²+kvk².

(ii). Soient p ∈ N^? et (u₁, . . . , u_p) ∈ E^p. Si la famille (u₁, . . . , u_p) est orthogonale, alors

p

P

i=1

u_i

2

=

p

P

i=1

ku_ik².

Exercice 7.

1. Montrer que la réciproque du (ii) est fausse.

2. Soitn∈N. Montrer que pour tout(a₀, . . . , a_n)∈Rⁿ⁺¹, 1

2π Z 2π

0 n

X

i=0

aicos(ix)

!2

dx=a²₀+1 2

n

X

i=1

a²_i.

Propriété 5 (Orthogonalité & Familles libres).

Soientp∈N^? etF = (u₁, . . . , u_p)une famille de vecteurs deEnon nuls. SiF est orthogonale, alorsF est libre.

II.2 Bases orthonormées

Théorème 3 (Procédé d’orthonormalisation deGRAM-SCHMIDT).

Soit(e1, . . . , ep)une famille libre deE. Il existe une famille orthonormée(ε1, . . . , εp) telle que

3

Exercice 8.

1. On munit R2[X] du produit scalaire hP, Qi = Z ₁

0

P(t)Q(t) dt. Orthonormaliser la base (1, X, X²).

2. Proposer un algorithme en Python qui permette d'orthonormaliser des familles libres.

Théorème 4 (Base orthonormée incomplète).

Toute famille orthonormée d'un espace vectoriel euclidien E peut être complétée en une base orthonormée. En particulier, tout espace vectoriel euclidien non réduit à son élément neutre possède une base orthonormée.

Théorème 5 (Isomorphisme canonique).

Soient B = (e1, . . . , en) une base orthonormée de E et u, v des vecteurs de E. On note x=

n

P

i=1

xiei ety=

n

P

i=1

yiei. Alors, pour touti∈J1, nK,

hx, e_ii=xi,hx, yi=

n

X

i=1

xiyi,kxk = v u u t

n

X

i=1

x²_i.

SiX=





 x1

...

xn





 etY =





 y1

...

yn





, alors hx, yi=^tY X etkxk=√

tXX.

Exercice 9.Soientf ∈L(E)etB= (e₁, . . . , e_n) une base orthonormée deE. NotonsA= (a_i,j) la matrice def dans la baseB. Exprimer ai,j en fonction des (f(ek))k.

III. Géométrie

III.1 Orthogonal d'un sous-espace vectoriel Théorème 6 (Unicité du supplémentaire orthogonal).

Soit F un sous-espace vectoriel de dimensionr de E. (i). F etF^⊥ sont supplémentaires dansE.

(ii). SoitG un supplémentaire de F. SiG⊥F, alors G=F^⊥. De plus, si E est de dimension nien, alors dimF^⊥=n−dimF. Exercice 10.

1. SoitF un sous-espace vectoriel de dimension nie de E. Montrer que(F^⊥)^⊥=F.

2. R[X]est muni du produit scalaire tel que la base canonique soit orthonormée. On pose F = _n

P

k=0

a_kX^k∈R[X] ;

n

P

k=0

a_k= 0

. Déterminer F^⊥ et(F^⊥)^⊥. Définition 4 (Projection / Symétrie orthogonale).

(i). Une projection orthogonale de E est une projection p telle que Kerp et Imp soient orthogonaux.

(ii). Une symétrie orthogonale deEest une symétriestelle queKer(s+ Id_E)etKer(s−Id_E) soient orthogonaux.

Exercice 11.

1. Soient r un entier naturel non nul et (ε₁, . . . , ε_r) une base orthonormée de Imp. Pour tout vecteurx deE, exprimerp(x) en fonction des (ε_i)_i∈

J1,rK.

2. Pour tout entier natureln, déterminer la projection orthogonale du polynômeXⁿ surR1[X]

pour le produit scalaire (P, Q)7→

Z 1 0

P(t)Q(t)dt. Propriété 6 (Inégalité de Bessel).

Soientx∈E etp un projecteur orthogonal. Alors,kp(x)k 6kxk. III.2 Distances

Théorème 7 (Distance à un sev).

Soientz un vecteur deE préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de dimension nie deE. La distance de z àF, notéed(z, F), est le réeld(z, F) = min

x∈F kz−xk.

En notantp la projection orthogonale surF, le vecteur p(z)est l'unique vecteur de F tel que d(z, F) =kz−p(z)k.

Exercice 12. Déterminer inf

(a,b)∈R²

Z 1 0

(x²−ax−b)²dx.

3

Corollaire 8 (Expression dans une base orthonormée).

SoientE un espace préhilbertien,F un sous-espace vectoriel de dimension nieret(ε1, . . . , εr) une base orthonormée deF. Notonspla projection orthogonale surF. Pour tout vecteurx∈E,

(i). p(x) =

r

P

i=1

hx, ε_iiε_i. (ii). d(x, F) =

x−

r

P

i=1

hx, ε_iiε_i .

De plus, si E est de dimension nie n et (ε1, . . . , εn) est une base orthonormée de E, alors

d(x, F) = s n

P

i=r+1

hx, e_ii².

Exercice 13.On munit R⁴ du produit scalaire usuel. On note F = {(x₁, x2, x3, x4) ∈R⁴ ; x1+

3

x2+x3+x4= 0etx1+ 2x2+ 3x3+ 4x4 = 0}. Déterminer la matrice de la projection orthogonale surF dans la base canonique.

III.3 Hyperplans

On suppose dans cette partie queE est un espace vectoriel euclidien.

Théorème 9 (Représentation des formes linéaires).

Pour tout forme linéaire f ∈E^?, il existe un unique vecteur a∈E tel que f :x7→ ha, xi. Exercice 14.

1. Soit ϕ une forme linéaire sur Mn(R). Montrer qu'il existe une unique matriceA ∈Mn(R) telle que :∀ M ∈Mn(R),ϕ(M) = Tr(AM).

2. On munitR[X]du produit scalairehP, Qi= Z 1

0

P(t)Q(t)dt. Existe-t-il un polynômeA∈R[X]

tel que pour toutP ∈R[X],hP, Ai=P(0)? Théorème 10 (Normale).

SoitHun hyperplan deE. L'espace vectorielH^⊥est une droite appelée normale à l'hyperplan H. Si B = (e₁, . . . , e_n) est une base orthonormée de E et H a pour équation cartésienne

n

P

i=1

aixi = 0 dans cette base, alors H^⊥ = Vect _n

P

i=1

aiei

.

Exercice 15.

1. Illustrer le théorème dansR² etR³.

2. Ligne de niveau. Soient −→n un vecteur non nul de E,λ∈R etA∈E. Décrire l'ensemble des points M tels queh−−→

AM ,−→ni=λ. Théorème 11 (Distance à un hyperplan).

Soient H un hyperplan de E, de vecteur normal unitaire −→n et u un vecteur de E. Alors, d(u, H) =|hu,−→ni|.

Exercice 16.

1.En dimension2, exprimer la distance d'un pointM de coordonnées(x₀, y₀)à la droite d'équa- tionax+by+c= 0.

2.En dimension3, exprimer la distance d'un pointM de coordonnées(x₀, y₀, z₀)au plan d'équa- tionax+by+cz+d= 0.

Familles de polynômes orthogonaux

Exercice 17.Soient I un intervalle non vide de R et w∈ C(I,R^∗+). On suppose que, pour tout entier natureln,Z

I

|x|ⁿw(x)dxconverge. On noteH =

f ∈C(I,R) ; Z

I

f²wconverge

. Pour tout(P, Q)∈R[X]², on posehP, Qi=

Z

I

P(t)Q(t)w(t)dt. 1. Montrer queh·,·i est un produit scalaire surR[X].

2. Montrer qu'il existe une suite(P_n)n∈N de polynômes tels que

∗ Pour tout nentier naturel,deg(P_n) =n;

∗ Pour tout (m, n)∈N²,m6=n,hP_n, Pmi= 0.

∗ Pour tout nentier naturel,P_n est unitaire Soitn un entier naturel.

3. Montrer queVect{P₀, . . . , Pn}=Rn[X]. 4. Montrer queP_n+1 ∈Rn[X]^⊥.

5. Racines.On note(α_i)_16i6k les racines deP_n qui appartiennent àI^◦ et qui sont de multiplicité impaire. On poseQ=

k

Q

i=1

(X−αi).

a)Déterminer le degré de Q. b)Déterminer le signe deP_nQ.

c)En déduire que k=net queP_n a toutes ses racines réelles et simples dansI^◦. 6. Relation de récurrence.

a)Montrer que (P₀, . . . , Pn−1, XPn−1)forme une base de Rn[X]. On notePn=

n−1

P

k=0

αkPk+αnXPn−1.

b)Montrer que, pour tout j∈J0, n−3K,α_j = 0.

c)En déduire qu'il existe trois suites réelles (an),(bn) et(cn) telles que

∀ n∈N, P_n+2= (a_nX+b_n)P_n+1+c_nP_n.

Les exemples classiques de familles sont résumés dans le tableau suivant. Ces familles de po- lynômes sont utilisées, via les formules de quadrature, pour calculer des valeurs approchées d'intégrales.

Nom I w(x) Relation de récurrence

Legendre [−1,1] 1 (n+ 2)L_n+2 = (2n+ 3)L_n+1−(n+ 1)L_n Tchebychev ]−1,1[ ^{√ 1}

1−x² T_n+2= 2XT_n+1−T_n

Laguerre R+ e^−x (n+ 2)Ln+2 = (−X+ 2n+ 3)Ln+1−(n+ 1)Ln

Hermitte R e^−x2 H_n+2 = 2XH_n+1−2(n+ 1)H_n

Programme ociel (PCSI)

Produit scalaire et espaces euclidiens (p. 29, 40) Programme ociel (PSI)

Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens - A - Espaces préhilbertiens réels (p. 9, 10) Mathématiciens

Gram Jorgen Pedersen (27 juin 1850-29 avr. 1916 à Copenhague).

Schmidt Erhart (13 jan. 1876 à Dorpat-16 déc. 1959 à Berlin).