MPSI B Année 2012-2013 Corrigé DM 11 (le 13/02/13) 29 juin 2019
1. Lorsque C est supplémentaire de A et B dans A + B , on peut écrire deux égalités de dimension.
dim A + dim C = dim(A + B), dim B + dim C = dim(A + B)
On en déduit dim A = dim B = dim(A + B ) − dim C . On note m cette dimension, on a alors dim C = dim(A + B ) − m .
2. a. Ici A et B sont des hyperplans de E . La dimension de E est notée n donc A et B sont de dimension n−1 . L'existence d'un a dans A mais pas dans B traduit le fait que A n'est pas inclus dans B . De fait, comme A et B sont de même dimension l'un ne saurait être inclus dans l'autre sans qu'il y ait égalité. Ils sont supposés distincts donc A 6⊂ B et B 6⊂ A . Il existe dans a ∈ A tel que a 6∈ B et b ∈ A tel que b 6∈ A .
b. On veut montrer que Vect(a + b) est un supplémentaire commun à A et B dans le sous-espace A + B de E . Remarquons d'abord que A + B = E car A et B sont des hyperplans distincts. Un supplémentaire commun doit donc être de dimension dim(E) − dim(A) = 1 . Ainsi, Vect(a + b) est de la "bonne" dimension. Il sut donc de prouver que A ∩ Vect(a + b) se réduit au vecteur nul.
Soit x ∈ A∩Vect(a+b) . Comme x ∈ Vect(a+b) , il existe λ ∈ R tel que x = λ(a+b) donc λb = x − λa ∈ A . Si λ 6= 0 , ceci entraîne b ∈ A ce qui est contraire aux hypothèses. On en déduit que λ = 0
Ret x = 0
E.
3. On revient au cas général avec A et B distincts et de même dimension.
a. Ici A
0est un supplémentaire de A ∩ B dans A et B
0est un supplémentaire de A ∩ B dans B .
Les sous-espaces A
0et B
0ne sont pas réduits au vecteur nuls car sinon on aurait A = A ∩ B + {0} = A ∩ B donc B ⊂ A puis A = B à cause de la dimension.
De A
0⊂ A et B
0⊂ B , on tire A
0∩ B
0⊂ A ∩ B . Donc A
0∩ B
0⊂ (A ∩ B) ∩ A
0qui est réduit au vecteur nul.
À cause des dénitions : dim A
0= dim B
0= dim A − dim A ∩ B = dim B − dim A ∩ B .
b. Formons une combinaison linéaire nulle des vecteurs de C .
λ
1(a
1+ b
1) + · · · + λ
p(a
p+ b
p) = 0
Eλ
1a
1+ · · · + λ
pa
p= −λ
1b
1− · · · − λ
pb
pCette dernière égalité est relative à un vecteur dans A
0∩ B
0qui est réduit au vecteur nul. On est alors en mesure d'exploiter le caractère libre de la base (a
1, · · · , a
p) de A
0. On en déduit que tous les λ
isont nuls.
c. Pour montrer que C est un supplémentaire de A dans A +B , on va raisonner avec la dimension et l'intersection. Le raisonnement est analogue pour B .
Comme la famille C est libre :
dim C = p = dim A − dim(A ∩ B)
= − dim B + (dim A + dim B − dim(A ∩ B))
= dim(A + B) − dim A
Considérons un x ∈ A ∩ C . Alors x ∈ A et il existe (λ
1, · · · , λ
p) réels tels que
x = λ
1(a
1+ b
1) + · · · + λ
p(a
p+ b
p) x − λ
1a
1− · · · − λ
p− a
p= λ
1b
1+ · · · + λ
pb
pLe vecteur exprimé dans la dernière égalité est dans A à cause du membre de gauche et dans B
0⊂ B à cause du membre de droite. Il est donc dans l'intersection de A ∩B avec B
0qui est réduite au vecteur nul. Comme la famille (b
1, · · · b
p) est libre, les λ
isont nuls ce qui entraîne que x l'est aussi.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
