Stanislas
Exercices
Espaces Vectoriels de dimension nie
Chapitre XVI MPSI 1
2015/2016
Sauf mention contraire, E, F désignent des K-espaces vectoriels de dimension nie, où K =R ouC.
I - En pratique. . .
Exercice 1. (-)
1. Montrer que B1 = (−1,1,1),(1,−1,1),(1,1,−1)
est une base de R3 et déterminer les coordonnées du vecteur(8,4,2)dans cette base.
2. Montrer queB2 = (1, X+ 1, X2−X+ 1) est une base deR2[X]. 3.Montrer queB3 = (X−1)2, X2,(X+1)2
est une base deR2[X]et déterminer les coordonnées de X2+X+ 1dans cette base.
Exercice 2. (-)Déterminer une base des espaces vectoriels suivants.
1. E1= Vect{(1,2,1,0),(4,−2,1,1),(7,2,4,2),(11,4,1,3)}. 2. E2= Vect{(2,−1,−3),(−4,1,3),(−6,3,9),(7,2,1)}. 3. E3={(x, y, z)∈R3 ; 3x+ 2y−z= 0}.
4. E4={(x, y, z, t)∈R4 ; x+y−2z+ 2t= 0et x=y}. 5. E5={P ∈K4[X] ; P(0) =P(1) =P(2) =P(3)}. Exercice 3. (-)
1. Montrer que la famille(X3+X+ 1, X3−2X+ 2, X2+ 3X)est libre et la compléter en une base deR5[X].
2. Montrer que la famille (8,4,1,−2),(1,3,0,5)
est libre et la compléter en une base deR4. Exercice 4. (-) On considère le sous-espace vectoriel F de C4 déni par F = {(x, y,2x, x− y) ; (x, y) ∈ C2}. Déterminer un sous-espace vectoriel G supplémentaire de F dans C et une base deE adaptée aux sous-espaces F etG.
Exercice 5. (♥)Soit F ={(x1, . . . , xn)∈Rn ; x1+· · ·+xn= 0}. Déterminer la dimension, une base et un supplémentaire deF dansRn.
Exercice 6. (-)Soientu1 = (1,2,3,4),u2= (1,1,1,3),u3 = (2,1,1,1),u4 = (−1,0,−1,2)etu5= (2,3,0,1). On considère les sous-espaces vectoriels U, V de R4 dénis parU = Vect{u1, u2, u3} etV = Vect{u4, u5}. Quelles sont les dimensions de U, V, U∩V etU +V ?
Exercice 7. (!)SoitE ={a+b√ 2 +c√
3 ; (a, b, c)∈Q3}. 1. Montrer queE est unQ-espace vectoriel.
2. Déterminer la dimension deE sur Q.
3. Rest-il unQ-espace vectoriel de dimension nie ? II - Bases, Dimension
Exercice 8. (-)SoientA, B, C trois sous-espaces vectoriels deE. 1. Montrer que(A∩C) + (B∩C)⊂(A+B)∩C.
Stanislas A. Camanes
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2. En déduire que dim(A+B+C) 6 dimA+ dimB + dimC−dim(A∩B)−dim(B ∩C)− dim(C∩A) + dim(A∩B∩C).
3. Montrer que l'inégalité peut être stricte.
Exercice 9.SoitE l'espace vectoriel déni par
E ={u∈S(R) ; ∀n∈N, un+3−un+2−un+1+un= 0}.
On pose E1 ={u ∈ S(R) ; ∀ n∈ N, un+1+un = 0} etE2 = {u ∈S(R) ; ∀ n∈ N, un+2− 2un+1+un= 0}.
1. Montrer queE =E1⊕E2.
2. Déterminer les dimensions deE, E1 etE2.
Exercice 10. (♥, !)SoientF, Gdeux sous-espaces vectoriels de même dimension. Montrer qu'il existe un sous-espace vectorielX deE tel que E=F ⊕X =G⊕X.
Exercice 11.Soit (Fi)i∈I une famille de sous-espaces vectoriels de E. Soit F = T
i∈I
Fi. Montrer qu'il existe une partie nie(i1, . . . , in) extraite deI telle que Tn
j=1
Fij =F. III - Morphismes
Exercice 12. (-)Déterminer le rang des applications linéaires suivantes.
1.f1 : R2 →R3,(x, y)7→(4x+ 2y, x+ 5y, x). 2. f2 : K3[X]→K5[X], P 7→XP0+X2P.
Exercice 13.Soientf, g∈L(E)tels que f2−f ◦g+ 2f −IdE = 0. Montrer queg◦f =f◦g. Exercice 14. (♥)Soient f, g ∈L(E, F). Montrer que |Rg(f)−Rg(g)|6Rg(f+g)6Rg(f) + Rg(g).
Exercice 15.Soientf, g∈L(E)tels quef◦g= 0etf+gsoit inversible. Montrer queRg(f+g) = Rg(f) + Rg(g).
Exercice 16.Soientf ∈L(E, F) etg∈L(F, E) tels queg◦f ◦g=getf ◦g◦f =f. 1. Montrer queE = Img⊕Kerf.
2. En déduire queRgf = Rgg.
Exercice 17. (!) Soit u ∈ L(E) un endomorphisme nilpotent, où dimE = n. On note p = min{k ∈ N ; uk = 0} son indice de nilpotence. Pour tout k ∈ N, on pose rk = Rguk et dk = dim(Keruk).
1. Montrer querk−rk+1 = dim(Keru∩Imuk). En déduire que p6n. 2. On suppose quep=n.
a)Préciser, pour k∈J0, nK, les valeurs dedk etrk. Montrer que Imuk= Kerun−k.
b)Soit x0 ∈E tel queun−1(x0)6= 0. Montrer que la famille(x0, u(x0), . . . , un−1(x0))est une base deE.
c) Montrer que les seuls sous-espaces vectoriels de E stables par u sont les Keruk pour k ∈ J0, nK.
Stanislas A. Camanes
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IV - Formes linéaires
Exercice 18. Pour tout k ∈ J0, nK, on note ϕk : Rn[X] → R, P 7→ P(k)(0). Montrer que (ϕ0, . . . , ϕn)est une base deL(Rn[X],R).
Exercice 19.Soientn>2, a, b∈Rtels que a6=b. Montrer qu'il existe une unique forme linéaire ϕsurRn[X]telle queϕ(1) = 1, ϕ(X) = 0,(∀P ∈Rn[X], P(a) =P(b) = 0⇒ϕ(P) = 0).
Exercice 20.Soient ϕ1, . . . , ϕn des formes linéaires sur l'espace vectoriel E de dimension n. On suppose qu'il existe un vecteur v 6= 0E tel que pour tout i ∈J1, nK, ϕi(v) = 0. Montrer que la famille de formes linéaires(ϕ1, . . . , ϕn)est liée.
V - Sous-espaces anes Exercice 21. (-)Montrer queF =
2 + 5a−2b a 2 + 3a+b a−b
; a, b∈R
est un sous-espace ane de M2(R) dont on déterminera un point, la direction et la dimension.
Exercice 22. (-)Soient A, B deux points de E. Soient F = A+F et G = B +G deux sous espaces anes deE, oùF etGsont donc sous-espaces vectoriels deE. Montrer que siF∩G 6=∅, alors−−→
AB ∈F+G.
Exercice 23. (-)Soit (k, θ)∈R2. Étudier les suites dénies par récurrence par 1. un+2= 2kcosθun+1−k2un, u0= 1, u1 =kcosθ.
2. un+2= 2un+1−un+ 2,(u0, u1)∈R2.
Exercice 24.On suppose queK=R. Soienta∈R,u∈E etf ∈L(E)telle quef3= Id. Trouver les vecteursx deE tels que
x+af(x) =u.
Exercice 25. (Parallélisme, !)Soient F (resp. F0) un sous-espace ane de direction F (resp.
F0). L'espace F est parallèle à l'espace F0 si F ⊂F0.
On suppose queF∩F0=∅. Montrer qu'il existe deux sous-espaces anesG,G0 deE tels que G G0,F ⊂G,F0 ⊂G0,G ∩G0 =∅.
Stanislas A. Camanes
