Chapitre 4: Les espaces vectoriels R^n

(1)

UNIVERSIT ´E SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULT ´E DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d’alg `ebre 1

Barbara Abdelkrim & Mouanis Hakima

(2)

Chapitre 4

(3)

G én éralit és la structure d’espace vectoriel IRn

la structure d’espace vectoriel IR

n

D ´efinition

Soit n un entier naturel. IRnest le produit cart ´esien de n copies de R. C’est `a dire

IRn= {(a1,a2, ...,an)tq a1,a2, ...,an∈ IR}

1 _{Pour n = 1, IR}1₌_IR.

(4)

la structure d’espace vectoriel IR

n

D ´efinition

pour n ∈ IN?_{on d ´efinit dans IR}n_{les deux op ´erations :} 1 ∀a = (a

1,a2, ...,an) ∈IRnet b = (b1,b2, ...,bn) ∈IRn:

a + b = (a1,a2, ...,an) + (b1,b2, ...,bn) = (a1+b1,a2+b2, ...,an+bn)

a + b est appel ´e la somme de a et b.

2 _{∀α ∈ IR et a = (a}

1,a2, ...,an) ∈IRn:

αa = (αa1, αa2, ..., αan)

αa est appel ´e le produit de α par a.

(5)

la structure d’espace vectoriel IR

n

D ´efinition

Soit n ∈ IN?_.

•On dit que IRn_{muni de l’addition et la multiplication externe sur IR est un}

espace vectoriel et on note IRn_{est e.v .}

•les él éments de IR sont appel és les scalaires.

•les él éments de IRn_{sont appel és les vecteurs de IR}n •Le vecteur (0, 0, ..., 0) est appel é le vecteur nul et not é 0n.

(6)

la structure d’espace vectoriel IR

n

D ´efinition

Soit n ∈ IN?_{et a, a}

1,a2, ...,ap∈ IRn. On dit que a estcombinaison lineairede

a1, a2,...,aps’il existe λ1, λ2,..., λp∈ IR tels que

a =

p

X

i=1

(7)

Sous espace vectoriel de IRn G én éralit és

Sous espace vectoriel de IR

n

D ´efinition

Une partie E de IRn_{est dite}_{sous espace vectoriel de IR}n_{et on note E est un}

s.e.v . s’elle v érifie les trois propri ét és suivantes :

1 _{E est non vide : E 6= ∅}

2 E est stable par addition : ∀a, b ∈ E , a + b ∈ E

(8)

Sous espace vectoriel de IR

n

Exemples

1 _IRn_{est un sous espace de IR}n_. 2 ₀

n= (0, ..., 0) est sous espace de IRn.

Propri ´et ´e

Si E est un sous espace vectoriel de IRn_{alors 0} n∈ E

(9)

Sous espace vectoriel de IR

n

Proposition

Soit E une partie de IRn_.

E est un s.e.v . de IRn_{si et seulement si les deux propri ´et ´es suivantes sont}

v ´erifi ´ees :

1 _{E 6= ∅.}

(10)

Sous espace vectoriel de IRn Exemples et propri ´et ´es des sous espaces vectoriels

Exemples et propri ´et ´es des sous espaces vectoriels

Exemples

1 _{E = {(x , y , z) ∈ IR}3 _{tq : 2x − y + 3z = 1} n’est pas un sous espace}

vectoriel de IR3_.

2 _{E = {(x , y ) ∈ IR}2 _{tq xy = 0} n’est pas un sous espace vectoriel de IR}2_. 3 _{E = {(x , y , z) ∈ IR}3 _{tq : 2x − y + 3z = 0} est un sous espace vectoriel}

(11)

Sous espace vectoriel de IRn Exemples et propri ´et ´es des sous espaces vectoriels

Exemples et propri ´et ´es des sous espaces vectoriels

Propri ´et ´es

Si E et F sont deux sous espaces vectoriels de IRnalors E ∩ F est un sous espaces vectoriel de IRn.

(12)

Sous espace vectoriel de IRn la somme directe des sous espaces vectoriels

la somme directe des sous espaces vectoriels

D ´efinition

Soient n ∈ IN?_{, E et F sont deux sous espaces vectoriels de IR}n_.

On appelle somme de E et F ou E plus F l’ensemble not ´e E + F d ´efini par

(13)

la somme directe des sous espaces vectoriels

D ´efinition

Soient E et F deux s.e.v . de IRn_.

On dit que la somme de E et F estdirectesi

∀a ∈ E + F il existe d’une fac¸on unique a_E∈ E et a_F ∈ F tels que a = a_E+aF.

dans ce cas :

1 _{E + F est not ´e aussi E ⊕ F .}

2 _{E ⊕ F est appel ´e}_{somme directe de E et F}_. 3 _{∀a ∈ E ⊕ F}

aE, est appel é la projection de a sur E parall èlement à F

aF, est appel é la projection de a sur F parall èlement à E 4 _{Si G est un s.e.v . de IR}n_{et E ⊕ F = G on dit que E et F sont}

suppl ´ementaires dans G ou E est un suppl ´ementaire de F dans G.

5 _{Si E et F sont suppl ´ementaire dans IR}n_{on dit aussi que E et F sont}

(14)

la somme directe des sous espaces vectoriels

Proposition

Soit n ∈ IN?_.

la somme de deux sous espaces vectoriel E et F est direct dans IRn_{si et}

seulement si E ∩ F = {0n} En particulier : E ⊕ F = IRn⇐⇒ E + F = IRn E ∩ F = {0n}

(15)

Les syst èmes de vecteurs vecteursLes syst èmes de vecteurs et le sous espace engendr é par un syst ème de

Les syst `emes de vecteurs et le sous espace engendr ´e

par un syst `eme de vecteurs

Notations

Soit S = (a1,a2, ...,ap)un syst `eme de vecteurs de IRn. 1 _{On note par vect(S) = vect(a}

1,a2, ...,ap)l’ensemble des combinaisons

lin ´eaires des vecteurs a1,a2, ...,ap:

vect(S) = {α1a1+ α2a2+ ... + αpap / α1, α2, ..., αp∈ IR} 2 _{On note vect(∅) = {0}

(16)

Les syst èmes de vecteurs vecteursLes syst èmes de vecteurs et le sous espace engendr é par un syst ème de

Les syst `emes de vecteurs et le sous espace engendr ´e

par un syst `eme de vecteurs

Proposition

vect(S) = vect(a1,a2, ...,ap)estun sous espace vectorielde IRncontenant

a1,a2, ...,ap.

et c’est le plus petit sous espace vectoriel de IRncontenant les vecteurs a1,a2, ...,ap.

(17)

Les syst èmes de vecteurs les syst èmes libres et les syst èmes li és :

les syst èmes libres et les syst èmes li és :

D ´efinition

Soient n ∈ IN?_{et S = (a}

1,a2, ...,ap)un syst ème de vecteurs de IRn. 1 _{On dit que le syst ème S est li é ou que a}

1,a2, ...,apsontlin ´eairement

d ´ependants

s’il existe des scalaires α1, α2, ..., αp∈ IRnon tous nulstels que : p

X

i=1

αiai = α1a1+ α2a2+ ... + αpap=0n

2 _{Dans le cas contraire on dit que le syst `eme S est libre ou que}

a1,a2, ...,apsontlin éairement ind épendants. c’est à dire si on a :

∀α1, α2, ..., αp∈ IR : p

X

i=1

(18)

les syst èmes libres et les syst èmes li és :

Exemples 1

Soient a1= (−2, 1), a2= (1, 1), a3= (3, −1) et S = (a1,a2,a3)un syst `eme de

vecteurs de IR2_.

∀α, β, γ ∈ IR :

αa1+ βa2+ γa3= (0, 0)

⇐⇒ α(−2, 1) + β(1, 1) + γ(3, −1) = (0, 0) ⇐⇒ (−2α + β + 3γ, α + β − γ) = (0, 0) ⇐⇒ −2α + β + 3γ = 0 α + β − γ =0 ⇐⇒ γ = α + β α +4β = 0 ⇐⇒ α = −4β γ = −4β admet plusieurs solution donc le syst `eme S est li ´e.

(19)

les syst èmes libres et les syst èmes li és :

Exemple 2 Soient a1= (−2, 1, 3), a2= (1, 1, −1) et S = (a1,a2) ∀α, β ∈ IR : αa1+ βa2= (0, 0, 0) ⇐⇒ α(−2, 1, 3) + β(1, 1, −1) = (0, 0, 0)    −2α + β = 0 α + β =0 3α − β = 0 ⇐⇒ β =2α 3α = 0 ⇐⇒ α = β = 0

(20)

les syst èmes libres et les syst èmes li és :

Propri ´et ´es

1 ₍₀

n)est syst `eme li ´e

2 _{Tout syst `eme de vecteurs de IR}n_{qui contient 0}

nest li ´e. 3 ∀a ∈ IRn− {0

n} : le syst `eme (a) est libre 4 ∀a, b ∈ IRn_{avec a 6= 0}

n

(21)

les syst èmes libres et les syst èmes li és :

Proposition

Soit S = (a1,a2, ...,ap)un syst `eme de vecteurs de IRn.

S est li ´e ⇔ ∃k ∈ {1, ..., p} tq ak est une combinaison lin ´eaire des autres

vecteurs. c’est `a dire

(22)

les syst èmes libres et les syst èmes li és :

Exemple

Soient u = (1, 2, 3), v = (5, 1, −1), w = (3, −3, −7) et S = (u, v , w ).On a

v = w + 2u

donc

v ∈ vect(u, w ) D’ou S est un syst `eme li ´e.

(23)

Les syst èmes de vecteurs les syst èmes g én érateurs

les syst èmes g én érateurs

D ´efinition

soient n ∈ IN?_{, E un sous espace vectoriel et S = (a}

1,a2, ...,ap)un syst `eme

de vecteurs de IRn_.

On dit que S est un syst ème g én érateur de E si on a :

(24)

Les syst èmes de vecteurs les syst èmes g én érateurs

les syst èmes g én érateurs

Exercice

Soit E = {(x , y , z) ∈ IR3_/ _{2x − y + 3z = 0} un s.e.v . de IR}3_{. Trouver un}

(25)

Les syst `emes de vecteurs Les bases

Les bases

D ´efinition

Soient E un sous espace vectoriel de IRn_{et B un syst `eme de vecteurs de E .}

(26)

Les bases

Proposition

Soit E un sous espace vectoriel de IRnet B = (a1,a2, ...,an)un syst `eme de

vecteurs de E .

B est une base de E ⇔

∀a ∈ E : ∃!α1, α2, ..., αp∈ IR tq a = α1a1+ α2a2+ ... + αpap

Dans ce cas α1, α2, ..., αpsont appel ´ees les coposantes du vecteur a dans la

(27)

Les bases

Exemple

soient E = IR2_{et B = (a}

1,a2)un syst `eme de IR2avec a1= (2, 1), a2= (1, 1).

(a1,a2)est une base de R2. En effet :

alors ∀a = (x , y ) ∈ IR2_{, ∀α, β ∈}_{IR :} a = αa1+ βa2⇔ (x, y ) = (2α + β, α + β) ⇔ 2α + β = x α + β =y ⇔ α =x − y β =2y − X Donc B est une base de IR2

(28)

Les bases

Propri ´et ´es

Soient n ∈ IN?_{et E un sous espace vectoriel de IR}n_. 1 _{Si E = IR}2_{, e}

1= (1, 0) , e2= (0, 1)

Alors B = (e1,e2)est un syst ème libre et g én érateur de IR2donc B est

une base de IR2appel ´e la base canonique de IR2

2 _{En g ´en ´eral :}

Si E = IRn_{, e}

1= (1, 0, ...0), e2= (0, 1, 0, ..., 0),...,en= (0, ..., 0, 1).

Alors B = (e1,e2, ...,en)est un syst ème libre et g én érateur de IRn

(29)

Les bases

Exercice

Soit E = {(x , y , z) ∈ IR3_/ _{2x − y + 3z = 0} un s.e.v . de IR}3_{. Trouver une}

(30)

Les bases

Propri ´et ´es

Soient F1et F2deux s.e.v. de IRn. Si B1est une base de F1est B2est une

base de F2alors :

la somme de F1et F2est directe ⇔

B1∩ B2= ∅

B1∪ B2est libre

(31)

Les syst `emes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel

La dimension d’un sous espace vectoriel

Notation

Soit A un ensemble fini. le nombre des él éments de A est appel é le cardinale de A et not é |A|

Th éor ème et d éfinition

Si n ∈ IN?_{et E un sous espace vectoriel de IR}n_{Alors E admet des bases et}

tous ces bases ont le m ême nombre de vecteurs appel é la dimension de Eet not é dimE et on a dimE ≤ n.

Ainsi, si B est une base de E alors

dimE = |B| ≤ n

Propri ´et ´es

(32)

La dimension d’un sous espace vectoriel

Propri ´et ´es

Soient E et F deux sous espaces vectoriels de IRn_{. Alors :} 1 Si S est une partie g ´en ´eratrice de E alors|S| ≥ dimE. 2 _{Si S est une parie libre de E alors}|S| ≤ dimE.

3 _{Si E ⊂ F et dimE = dimF alors E = F .} 4 _{Si dimE = n alors E = IR}n_.

(33)

La dimension d’un sous espace vectoriel

Th ´eor `eme

Soient F un sous espace de IRn_{de dimension p et B un syst `eme de F de}

cardinal p. Alors, les propri ét és suivantes sont équivalentes :

1 B est un syst `eme libre

2 _{B est un syst ème g én érateur de F} 3 _{B est une base de F}

(34)

La dimension d’un sous espace vectoriel

proposition

Soient E et F deux sous espace vectoriel de IRn_.

Alors dim(E + F ) = dimE + dimF − dim(E ∩ F ) ≤ dimE + dimF

(35)

Les bases

Th éor ème de la base incompl ète

Soient E un sous espace vectoriel de IRn_{. Si S et T sont deux parties finies de}

E qui v érifient les 3 propri ét és suivantes :

1 _{S une partie libre de E .}

2 _{T est une partie g ´en ´eratrice de E .} 3 _{S ⊂ T .}

(36)

Les bases

Corollaire

Soit E un s.e.v. de IRn_{. Si S et T sont deux parties finies de E qui v ´erifient les}

deux propri ´et ´es suivantes :

1 _{S est une partie libre de E .} 2 _{T est une partie g ´en ´eratrice de E .}

(37)

Les bases

Exemple Si n = 5 et E = IR5_{, a} 1= (1, 0, 0, 1, 1), a2= (1, 1, 1, 1, 1),S = (a1,a2) e1= (1, 0, 0, 0, 0), e2= (0, 1, 0, 0, 0), ...,e3= (0, 0, 1, 0, 0) , e4= (0, 0, 0, 1, 0), e5= (0, 0, 0, 0, 1) etT = (e1,e2,e3,e4,e5). 1 S est une partie libre de IR5.

2 _{T est une partie g ´en ´eratrice de IR}5_.

Alors il existe une base B de IR5_{telle que}_{S ⊂ B ⊂ S ∪ T}_.

On a S = (a1,a2)est un syst `eme libre de IR5. 1 _{On verifie que le syst `eme (a}

1,a2,e1)est libre. 2 _{On v érifie que (a} 1,a2,e1,e2)est libre. 3 _{On verifie que (a} 1,a2,e1,e2,e3)est li é. 4 On v érifie que (a 1,a2,e1,e2,e4)est libre.

Ainsi le syst `eme B = (a1,a2,e1,e2,e4)est libre et card (B) = 5 = dimIR5ce

(38)

Les bases

Proposition

Soient E un sous espace vectoriel de IRn_{. Alors E admet au moins un}

supl ´ementaire dans IRn_.

C’est `a dire pour tout s.e.v E il existe au moins un s.e.v , F tel que

(39)

Les bases

Exemple

Soit F = {(x , 3x , 0), tq x ∈ IR}. Trouvons un suppl ´ementaire de F dans IR3

On a F = vect(a) = IRa avec a = (1, 3, 0) donc (a) est une base de F . ♣Soient B0= (e1,e2,e3)la base canonique de IR3et T = (a, e1,e2,e3)

trouver une base B de IR3_{tel que {a} ⊆ B ⊆ T .} 1 on v ´erifie que (a, e

1)est libre. 2 _{On v ´erifie que (a, e}

1,e2)est li ´e. 3 _{On v ´erifie que (a, e}

1,e3)est libre.

Ainsi, puisque card (B) = dimIR3₌_{3 alors B = (a, e}

1,e3)est une base de IR3.

Ce qui implique que

G = vect(e1,e3) = {αe1+ βe3/α, β ∈R} = {(α, 0, β) /α, β ∈ R}

(40)

La structure euclidienne de IRn Le produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs

D ´efinition

Soit n ∈ IN? 1 _{Si a = (x}

1,x2, ...,xn) ∈IRnet b = (y1,y2, ...,yn) ∈IRnon appelle le produit

scalaire de a et b ou a fois b le nombre r éel not é < a, b > ou ab d éfini par : < a, b >= ab =

n

X

k =1

xkyk =x1y1+x2y2+ ... +xnyn

2 _{∀a ∈ IR}n_{: < a, a >= aa est not é aussi a}2_{appel é a carr é.}

L’espace vectoriel muni du produit scalaire est appel ´e l’espace vectoriel euclidien IRn_.

(41)

La structure euclidienne de IRn Le produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs

Propri ´et ´es

Soient α ∈ IR, a, b et c ∈ IRn_. 1 _{ab = ba}

2 _{(a + b)c = ac + bc} 3 _{(αa)b = a(αb) = α(ab)} 4 _a2₌_{0 ⇔ a = 0}

n

(42)

La structure euclidienne de IRn La norme d’un vecteur

La norme d’un vecteur

D ´efinition

Soit a = (x1,x2, ....,xn) ∈IRn. On appelle la norme de a le nombre r ´eel not ´e

kak d ´efini par :

kak =√a2₌ v u u t n X k =1 x2 k = q x2 1+ ... +xn2

Si kak = 1 on dit que a est norm ´e.

Exemple Si a = (3, 1, −2, 2) alors kak =p32₊₁2_{+ (−2)}2₊₂2₌₃√_2. Si a = (1₂,−1₂ , √ 2 2 )alors kak = q (1₂)2_{+ (}−1 2 )2+ ( √ 2 2 )2=1.

(43)

La structure euclidienne de IRn La norme d’un vecteur

La norme d’un vecteur :

Propri ´et ´es

Soient α ∈ IR, a et b ∈ IRn

1 kak2₌_a2

2 _{Si a 6= 0 alors kak > 0.} 3 kαak = |α|kak.

4 _{Si a 6= 0 alors} a

kak est norm ´e. 5 _{ab ≤ |ab| ≤ kakkbk.}

6 ka + bk2_{= kak}2_{+ kbk}2₊_2ab. 7 ka + bk ≤ kak + kbk.

(44)

La structure euclidienne de IRn L’orthogonalit ´e

L’orthogonalit ´e

D ´efinitions

Soit n ∈ IN?_.

1 _{Soit a, b ∈ IR}n_{sont deux vecteurs de IR}n

si ab = 0 on dit quea et orthogonale `a b ou a et b sont orthogonaux et on note a⊥b.

2 _{Si S = (a}

1,a2, ...,an)est un syst `eme de vecteurs de IRnet si les vecteurs

de S sont orthogonaux deux `a deux on dit que S est un syst `eme orthogonal de IRn_.

3 _{Si S est un syst `eme orthogonal et si tous ses vecteurs sont norm ´e on dit}

queS est un syst `eme orthonorm ´e de IRn 4 _{Soit B une base d’un sous espace vectoriel E}

• Si B est un syst `eme orthogonal on dit que B est une base orthogonale de E .

(45)

L’orthogonalit ´e

Proposition

Si S = (a1,a2, ...,an)un syst `eme orthogonal de IRnet si les vecteurs de S

sont tous non nuls alors S est libre.

(46)

L’orthogonalit ´e

Th éor ème (Le proc éd é de schmidt)

Soit n ∈ IN?_{. Si S = (a}

1,a2, ...,am)est un syst `eme libre de IRnalors il existe un

syst `eme orthonorm ´e B = (e1,e2, ...,em)de IRntel que

vect(a1,a2, ...,am) =vect(e1,e2, ...,em)et akek >0. avec 1 _e

1=kaa11k

2 _e i = _kvvi_i_k

(47)

L’orthogonalit ´e

Exemple

Soient a1= (1, 1, 1), a2= (2, 1, 0), a3= (4, −3, 2) et S = (a1,a2,a3).

On a S est un syst `eme libre de IR3_{. On pose} 1 _e 1=_kaa1₁_k = ( √ 3 3 , √ 3 3 , √ 3 3 ) 2 _v 2=a2− (a2e1)e1= (1, 0, −1) donc e2= _kvv2₂_k = ( √ 2 2 ,0, − √ 2 2 ). 3 _v 3=a3− (a3e2)e2− (a3e1)e1= (2, −4, 2) donc e3=kvv33k = ( √ 6 6 , − √ 6 6 , √ 6 6 )

AlorsB0 = (e1,e2,e3)est un syst ème orthonorm é de IR3v érifiant

vect(S) = vect(B) aiei >0

(48)

L’orthogonalit ´e

Corollaire

Tous les sous espaces vectoriels non nuls de IRn_{poss `edent des bases}

(49)

L’orthogonalit ´e

Proposition

Soient E un sous espace vectoriel de IRn_.

Si B = (e1,e2, ...,em)est une base orthonormale de E alors

(50)

L’orthogonalit ´e

Exemple Soient e1= √ 3 3 (1, 1, 1), e2= √ 2 2 (1, 0, −1), e3= √ 6 6 (1, −2, 1)

On a d ´eja vu que B = (e1,e2,e3)est une base orthonormale de IR3.

∀a = (x, y , z) ∈ IR3_{les composantes de a dans B sont :}

ae1= √ 3 3 (x + y + z) , ae2= √ 2 2 (x − z) et ae3= √ 6 6 (x − 2y + z)

(51)

La structure euclidienne de IRn La projection orthogonale

La projection orthogonale

D ´efinition

Soient n ∈ IN?_{et A ⊂ IR}n_.

On appelle projection orthogonale de A la partie de Rnnot ´e A⊥d ´efini par : A⊥= {x ∈ IRntq ∀a ∈ A : x ⊥a} = {x ∈ IRntq ∀a ∈ A : xa = 0}

Exemple

Soient a = (1, 0, −1), b = (0, 1, −1) et A = {a, b}. Alors A est une partie de IR3_. A⊥= {u ∈ IR3tq : ua = ub = 0} ∀u ∈ A⊥⇔ ua = ub = 0 ⇔ (x , y , z)(1, 0, −1) = 0 (x , y , z)(0, 1, −1) = 0 ⇔ x = z y = z Donc A⊥= {(x , x , x ) tq x ∈ IR}

(52)

La projection orthogonale

Propri ´et ´es

Soient n ∈ IN?_{, A et B deux partie de IR}n_. 1 _∅⊥ _{= {0}

n}⊥ =IRn. 2 IRn⊥= {0

n}.

3 _A⊥_{est un sous espace de IR}n_. 4 _{A ⊂ (A}⊥₎⊥_.

5 _{A ⊂ B alors B}⊥⊂ A⊥_. 6 _{(A ∪ B)}⊥₌_A⊥_{∩ B}⊥ 7 _A⊥₊_B⊥_{⊂ (A ∩ B)}⊥_.

(53)

La projection orthogonale

Propri ´et ´es

Si S est une partie fini non vide de IRn_{alors S}⊥₌_vect(S)⊥_.

C’est `a dire :

∀a1,a2, ...,am∈ IRn, {a1,a2, ...,am}⊥ =vect(a1,a2, ...,am)⊥

Exemple

Soit E = {(x , y , −x − y ) tq x , y ∈ IR}. Alors E est un sous espace vectoriel de IR3_.

∀u = (x, y , −x, −y ) ∈ E : u = x(1, 0, −1) + y (0, 1, −1) Posons a = (1, 0, −1) et b = (0, 1, −1) et S = {a, b}. Alors E = vect(S). Donc

(54)

La projection orthogonale

Th ´eor `eme

Soient n ∈ IN?_{et E un sous espace vectoriel de IR}n_{. Alors E}⊥_{est le}

suppl ´ementaire de E dans IRn

corollaire

(55)

La projection orthogonale

D ´efinition

Soient n ∈ IN?_{, E un sous espace vectoriel de IR}n_{et u ∈ IR}n_{la projection du}

vecteur u sur E parall èlement à E⊥_{est appel é}_{la projection orthogonale du}

vecteur u sur E.

Th ´eor `eme

Soient n ∈ IN?_{, E un sous espace vectoriel de IR}n_{. Si S = (e}

1,e2, ...,em)une

base orthonormale de E alors la projection orthogonale d’un vecteur quelconque u ∈ IRn_{sur E est}

(56)

La projection orthogonale

Corollaire

Soit E une droite vectorielle de IRn_.

Si e est un vecteur norm ´e de E alors la projection orthogonale d’un vecteur quelconque u ∈ IRn_{sur E est : u}

E = (ue)e

Corollaire

Soit E une droite vectorielle de IRn.

Si a est un vecteur non nul de E alors la projection orthogonale d’un vecteur quelconque u ∈ IRnsur E est : uE = (ua)_kaka2

(57)

La structure euclidienne de IRn Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes

Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes

Dans tous ce paragraphe n ´etant un entier o `u n ≥ 2, E un plan vectoriel euclidien de IRnet B = (e1,e2)une base orthonormale de E .

D ´efinitions et notations

1 _{Le vecteur nul 0}

nest not ´e 0. 2 _{Si a = x}

1e1+y1e2∈ E et a2=x2e1+y2e2∈ E

on appelle d éterminant de a1et a2par rappot à B ou le d éterminant de a1

et a2le nombre r éel, not é detB(a1,a2)d éfini par :

detB(a1,a2) =det(a1,a2) = x1 x2

y1 y2

=x1y2− x2y1

3 _{Si a = xe}

1+ye2∈ E on appelle l’affixe de a le nombre complexe not ´e

(58)

La structure euclidienne de IRn Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes

Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes

Propri ´et ´es

1 ∀a

1,a2∈ E : (a1,a2)est un syst `eme li ´e si et seulement si det(a1,a2) =0. 2 ∀a

1,a2∈ E : (a1,a2)est une base de E si et seulement si det(a1,a2) 6=0 3 ∀a = xe

1+ye2∈ E et b = ue1+ve2∈ E : ab = xu + yv 4 _{aff (a + b) = aff (a) + aff (b)}

5 ∀a = xe

1+ye2∈ E : kak = |aff (a)| =p(x2+y2) 6 ∀a ∈ E a est norm ´e ⇔ |aff (a)| = 1

(59)

La structure euclidienne de IRn Le produit vectoriel

Le produit vectoriel

D ´efinition

Si a = (x , y , z) ∈ IR3_{et b = (t, u, v ) ∈ IR}3_.

On appelle produit vectoriel ab ou a vectoriel b, le vecteur de IR3_{not ´e a ∧ b}

d ´efini par : a ∧ b = y u z v , z v x t , x t y u

(60)

Le produit vectoriel

Exemple ♣ Si a = (2, −1, 4) et b = (3, 5, 1) alors a ∧ b = −1 5 4 1 , 4 1 2 3 , 2 3 −1 5 = (−21, 10, 13)

♣ Si B = (e1,e2,e3)la base canonique de IR3. alors

• e1∧ e1=e2∧ e2=e3∧ e3=0

• e1∧ e2= −e2∧ e1=e3

• e2∧ e3= −e3∧ e2=e1

(61)

Le produit vectoriel

Propri ´et ´es

Soient a, b, c ∈ IR3

1 _{a ∧ b = −(b ∧ a)}

2 _{(−a) ∧ b = a ∧ (−b) = −(a ∧ b)} 3 _{(−a) ∧ (−b) = a ∧ b}

4 _{∀α ∈ IR, (αa) ∧ b = a ∧ (αb) = α(a ∧ b)} 5 _{(a + b) ∧ c = (a ∧ c) + (b ∧ c)}

(62)

Le produit vectoriel

Propri ´et ´es

1 _{le syst ème (a, b) est li é si et seulement si a ∧ b = 0} 2 _{le syst ème (a, b) est libre si et seulement si a ∧ b 6= 0}

3 _{(a ∧ b)⊥a et (a ∧ b)⊥b c’est `a dire : (a ∧ b)a = 0 et (a ∧ b)b = 0}

4 _{Si (a, b) est un syst `eme libre orthogonal de IR}3_{alors (a, b, a ∧ b) est une}

base orthogonale de IR3

5 _{Si (a, b) est un syst `eme orthonormal de IR}3_{alors (a, b, a ∧ b) est une}

base orthonormale de IR3 6 _{Si a⊥b alors ka ∧ bk = kakkbk}