6.4 Application lin´ eaire et sous-espaces vectoriels

Universit´e de Nice Sophia-Antipolis L1 Alg´ebre

16-17 semestre 1

6 Applications lin´ eaires

6.1 Introduction

Soit E et F deux K-espaces vectoriels. Une application f : E →F est dite lin´eaire si elle est compatible `a l’addition et `a la multiplication par un scalaire : pour tout u, v ∈ E et λ ∈ K , f(u+v) = f(u) +f(v) et f(λu) =λf(u).

Soit alors f :E →F une application lin´eaire.

- Si V est un sous-espace vectoriel de E, l’ensemble f(V) des images par f des vecteurs de V est alors un sous-espace vectoriel deF. En particulier, l’ensemble des images de tous les vecteurs deE est un sous-espace vectoriel de F appel´e image de f et not´e Imf.

- Si W est un sous-espace vectoriel deF, l’ensemblef⁻¹(W) des vecteurs deE dont l’image parf est dansW est un sous-espace vectoriel de E. En particulier, l’ensemble des vecteurs de E dont l’image par f est nulle est un sous-espace vectoriel de E appel´e noyau de f et not´e kerf.

Si le noyau de f est r´eduit au vecteur nul et que tout vecteur de F est image d’un vecteur de E par f, l’application f est bijective et identifie les vecteurs de E et les vecteurs de F. L’application inverse qui a un vecteur de F associe le vecteur deE dont il est l’image est elle mˆeme lin´eaire.

Lorsque E est de dimension finie, on a toujours :

dim_KE = dim_Kkerf+ dim_KImf .

Supposons E munie d’une base B et F d’une base B⁰, on appelle matrice de f relativement `a ces bases la matrice dont les colonnes sont les coordonn´ees dans la base B⁰ de l’image par f des vecteurs de la base B.

Cette matrice d´etermine les coordonn´ees dans la base B⁰ de l’image par f d’un vecteur par multiplication `a droite par les coordonn´ees de ce vecteur dans la base B. Une fois fix´ee les bases, associer `a une application

lin´eaire sa matrice est compatible aux op´erations naturelles sur les applications lin´eaires : addition, multili- cation par un scalaire, composition, ...

Une famille d’exemple d’applications lin´eaires est donn´ee par les sym´etries ou les projections associ´ees naturellement `a deux sous-espaces suppl´ementaires d’un espace vectoriel.

Objectif

• Comprendre les liens entre matrices et applications lin´eaires.

• Savoir d´eterminer la matrice d’une application lin´eaire dans de nouvelles bases en fonction de sa matrice dans d’anciennes bases : B =Q⁻¹AP.

• Savoir calculer le noyau et l’image d’une application lin´eaire en fonction de sa matrice.

• Savoir d´eterminer une sym´etrie et une projection vectorielle

6.2 G´ en´ eralit´ es sur les applications ensemblistes

Soit X et Y deux ensembles. Une application f de source X et de but Y est un proc´ed´e qui associe `a tout

´

el´ement x deX, un ´el´ement not´ef(x) de Y. On note cette information en ´ecrivant que f est l’application : f : X −→Y , x7−→y =f(x) .

Exemple : a) L’application f de l’ensemble des nombres r´eels vers lui mˆeme : f : R−→R , x7→y =f(x) = 2x+ 3 . Le ”proc´ed´e” est multiplier par deux et ajouter trois.

b) L’application g de R² vers R :

g : R² −→R , (x₁, x₂)7→y=g(x₁, x₂) = 2x²₁+x⁵₃+ 2 .

Le ”proc´ed´e” est pr´eciser par l’expression de g.

Soit E et F deux ensembles, on note E×F l’ensemble dont les ´el´ements sont les couples form´es par un

´

el´ement deE et un ´el´ement de F.

Autre exemple d’application : a) L’addition entre triplets de r´eels est l’application :

R³×R³ −→R³ , ( (a, b, c), (a⁰, b⁰, c⁰) )7→(a, b, c) + (a⁰, b⁰, c⁰) = (a+a⁰, b+b⁰, c+c⁰) . b) Si X est un ensemble, l’application Id_X est l’application qui ne change rien :

Id_X : X −→X , x7→y= Id_X(x) =x . D´efinition 6.2.1 Consid´erons l’application :

f : X−→Y , x7→y=f(x) .

Soit x dans X, l’´el´ement f(x) de Y est appel´e l’image de x par f. Soit y ∈ Y, les ´el´ements x ∈X tels que f(x) =y sont appel´es les ant´ec´edents de y par f.

D´efinition 6.2.2 Consid´erons l’application :

f : X −→Y , x7−→y=f(x) .

• L’application f est dite injective si tout ´el´ement y∈Y poss`ede 0 ou 1 ant´ec´edent.

• L’application f est dite surjective si tout ´el´ement y∈Y poss`ede 1 ou plus d’ant´ec´edents.

• L’application f est dite bijective si tout ´el´ement y∈Y poss`ede exactement 1 ant´ec´edent.

Ainsi, une applicatiion est bijective si et seulement si elle est surjective et injective.

D´efinition 6.2.3 Consid´erons l’application :

f : X −→Y , x7−→y=f(x) .

Si f est bijective, on appelle application inverse ou r´eciproque de f, l’application not´ee f⁻¹ : f⁻¹ : Y −→X , y7→x=f⁻¹(y) le seul ant´ec´edent deyparf . On notera que si f est bijective :

f◦f⁻¹ = Id_Y et f⁻¹◦f = Id_X . Proposition 6.2.4 Soit f : X −→Y et g : Y −→Z deux applications.

• Si f et g sont injectives, gof est injective.

• Si f et g sont surjectives, gof est surjective.

• Si f et g sont bijectives, gof est bijective.

Preuve : Laiss´e au lecteur.

SiE d´esigne un ensemble,P(E) d´esigne l’ensemble des sous-ensembles de E.

Ainsi :

P({1,2,3}) ={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} . D´efinition 6.2.5 Consid´erons une application :

f : X−→Y , x7→y=f(x) .

Alors d’une part, l’application f induit une application not´ee abusivementf de P(X) vers P(Y) : f : P(X)−→ P(Y) , A7→B =f(A) ={f(x) tels quex∈A} .

D’autre part, l’application f induit une application not´ee encore plus abusivement f⁻¹ de P(Y) vers P(X) : f⁻¹ : P(Y)−→ P(X) , B 7→A=f⁻¹(B) = {x∈X tels que f(x)∈B} .

On notera que l’on ne demande pas que f soit bijective pour d´efinir les applications ensemblistes f et f⁻¹. Par contre si f est bijective, on peut observer que l’applicationf :P(X)→ P(Y) est bijective d’inverse f⁻¹ :P(Y)→ P(X).

SiA est un sous-ensemble de X, f(A) n’est autre que l’ensemble des images par f des ´el´ements de A et si B est un sous-ensemble de Y, f⁻¹(B) est l’ensemble des ant´ec´edents parf des ´el´ements deB.

Exemple : Consid´erons la projection :

p:R² −→R , (x₁, x₂)7−→p(x₁, x₂) = x₁ .

L’application p est surjective, mais non injective. En effet, tout r´eel a est la projection d’un ´el´ement, par exemple : p(a,17) = a. Par contre, tout r´eel par exemple −19 a plus d’un ant´ec´edent. Il en a mˆeme une infinit´e : tous les couples de la forme (−19, y) sont des ant´ec´edents de −19 par p. Autrement dit :

p⁻¹({−19}) ={(−19, y) tel quey∈R} . D´efinition 6.2.6 Consid´erons une application :

f : X −→Y , x7−→y=f(x) .

On appelle image de f le sous-ensemble f(X) de Y constitu´e de l’ensemble des images par f des ´el´ements de X.

Il r´esulte de la seule d´efinition de l’image def :X →Y que f est surjective si et seulement si f(X) = Y. A titre d’exercice, le lecteur pourra montrer que sif est une application de X vers Y : pour tout sous- ensemble B deY,f(f⁻¹(B)) = f(X)∩B et pour tout sous-ensemble A deX, A⊂f⁻¹f(A).

6.3 D´ efinitions et op´ erations sur les applications lin´ eaires

Dans cette section, K d´esignera un corps et E etF deuxK-espaces vectoriels.

D´efinition 6.3.1 Soit E et F deuxK-espaces vectoriels, une application lin´eaire deE vers F est une appli- cation f :E →F v´erifiant :

∀u , v ∈ E , ∀λ ∈ K : f(u+v) =f(u) +f(v) et f(λ u) = λf(u) .

Sif :E →F est une application lin´eaire, on notera que pour tout u₁, . . . , u_p ∈E et λ₁, . . . , λ_p ∈K : f(λ₁u₁+· · ·+λ_pu_p) =λ₁f(u₁) +· · ·+λ_pf(u_p) ,

que f(0_E) = 0_F et que pour tout u∈E etλ ∈K: f(−u) = −f(u) et f(−λu) =−λf(u).

Notation 6.3.2 On note L_K(E, F) l’ensemble des applications lin´eaires de E vers F et L_K(E) l’ensemble des applications lin´eaires de E vers E. Un ´el´ement de L_K(E) est parfois appel´e endomorphisme de E.

Exemple clef : Soit (a_i,j)1≤i≤m,1≤j≤n une famille d’´el´ements de K. Et A ∈ M_m,n(K) la matrice de terme g´en´eral a_i,j (cela signifie que l’´el´ement de la i`eme ligne et de laj`eme colonne de A esta_i,j).

Ecrivons les ´´ el´ements de Kⁿ et K^m en colonne. Cela revient `a identifier Kⁿ et K^m respectivement aux matrices ayant une colonne et n lignes et une colonne etm lignes.

Associons `a la matriceA, l’application f :Kⁿ−→K^m d´efinie par :

(∗)









x₁ ... x_n









7−→









y₁ =a_1,1x₁+· · ·+a_1,nx_n ...

y_m =a_m,1x₁+· · ·+a_m,nx_n









=A









x₁ ... x_n









.

Cette application est lin´eaire. Cela r´esulte par exemple des propri´et´es du produit matriciel (voir chapˆıtre 3). Maintenant, il est tout aussi bien de le v´erifier directement en remarquant que pour tout x, x⁰ ∈ Kⁿ et λ∈K :

f(x+x⁰) =f(x) +f(x⁰) et f(λx) =λf(x) .

On pourra noter que si deux matricesA etB deMm,n(K) donnent la mˆeme application f deKⁿ etK^m, les matrices A etB sont ´egales. En effet, Si e_i est le i`eme vecteur de la base canonique de Kⁿ :

f(e_i) =









a_1,i ... a_m,i









.

qui est la i`eme colonne de A. Ainsi, A est caract´eris´ee parf.

Inversement si f : Kⁿ → K^m est une application lin´eaire de Kⁿ vers K^m. Soit e_i = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,1) lei`eme vecteur de la base canonique de K<sup>n</sup>, notons ai,j la j`eme coordonn´ee de f(ei) danns la base canonique de K^m. Autrement dit :

f(ei) =









a_1,i ... a_m,i







 .

Soit, A∈ la matrice de terme g´en´eral a_i,j. Par lin´earit´e :

f









x1

... x_n









= x₁f(e₁) +· · ·+x_nf(e_n) =x₁









a1,1

... a_m,1









+· · ·+x_n









a1,n

... a_m,n









=









a_1,1x₁ +· · ·+a_1,nx_n ...

a_m,1x₁ +· · ·+a_m,nx_n









=A









x₁ ... x_n









.

Ainsi, toutes les applications lin´eaires de Kⁿ vers K^m sont de la forme ∗.

Nous avons en fait montr´e que l’application :

M_m,n(K)−→ L_K(Kⁿ,K^m)

qui `a une matrice A associe l’application lin´eaire :









x1

... x_n









7−→









y1 =a1,1x1+· · ·+a1,nxn

...

y_m =a_m,1x₁+· · ·+a_m,nx_n









=A









x1

... x_n









.

est une bijection. Nous verrons que A n’est autre que la matrice de f dans les bases canoniques de Kⁿ et K^m.

Remarque 6.3.3 Si F est un sous-espace vectoriel de E, l’inclusion i:F →E, x7→x est lin´eaire.

Notation 6.3.4 L’identit´e de E, not´ee Id_E est l’application : Id_E : E → E , u 7→ Id_E(u) = u. Cette application est lin´eaire.

D´efinition 6.3.5 Soit E un K-espace vectoriel et λ∈K. L’application h_λ : E →E x7−→h_λ(x) = λx est appel´ee homoth´etie de rapportλ. C’est une application lin´eaire.

Proposition 6.3.6 Soit E, F, G trois K-espaces vectoriels. Pour tout f ∈ LK(E, F) et g ∈ LK(F, G), l’application compos´ee g◦f est lin´eaire.

Preuve : Soit u, v ∈E etλ∈K. En utilisant successivement la d´efinition de g◦f, la lin´earit´e def, puis de g et la d´efinition de g◦f, on obtient :

(g◦f)(u+v) =g(f(u+v)) = g(f(u) +f(v)) =g(f(u)) +g(f(v)) = (g◦f)(u) + (g◦f)(v) (g◦f)(λu) = g(f(λu)) = g(λ f(u)) =λ g(f(u))) =λ(g◦f)(u) .

Soit f₁ ∈ L_K(E, F), f₂ ∈ L_K(E, F), λ∈K. On notef₁+f₂ et λf₁, les applications : f₁+f₂ :E −→F , u7−→(f₁+f₂)(u) = f₁(u) +f₂(u)

λf₁ :E −→F , u7−→(λ f₁)(u) =λ(f₁(u)) .

Proposition 6.3.7 Soit f1 ∈ LK(E, F), f2 ∈ LK(E, F), λ∈K. Les applicationsf1+f2 etλf1 sont lin´eaires.

Munis de ces op´erations, L_K(E, F) est unK-espace vectoriel.

Preuve : Laiss´ee au lecteur. On notera que le vecteur nul de L_K(E, F) est l’application 0 : E → F, qui associe `a tout vecteur u deE le vecteur nul de F. L’oppos´ee de l’applicationf ∈ L_K(E, F) est l’application

−f :E →F d´efinie par f(u) = −f(u).

Proposition 6.3.8 Soit f₁, f₂ ∈ L_K(E, F) et λ ∈K. Soit h∈ L_K(E⁰, E) et l ∈ L_K(F, F⁰) : l◦(f₁+f₂) = l◦f₁+l◦f₂ , (f₁+f₂)◦h =f₁◦h+f₂◦h . Soit f ∈ L_K(E, F), g ∈ L_K(F, G), λ∈K :

g◦(λf) = (λg)◦f =λ(g◦f) .

Corollaire 6.3.9 L’ensemble L_K(E) est muni de trois op´erations : addition, multiplication par un scalaire, composition. L’addition et la composition munissent LK(E) d’une structure d’anneau unitaire d’unit´e IdE. Cet anneau est non commutatif d`es que dim_K(E)>1.

Sif ∈ L_K(E), on notera f^k =f ◦f◦ · · · ◦f la compos´ee de k fois l’application f par elle mˆeme.

Proposition 6.3.10 Si f ∈ L_K(E, F) est bijective, l’application r´eciproque f⁻¹ :F →E est alors lin´eaire : f⁻¹ ∈ L_K(F, E). On dit alors que f est un isomorphisme lin´eaire et que E et F sont isomorphes.

Preuve : Soit f ∈ L_K(E, F) bijective. Rappelons que cela signifie que pour tout v ∈F, il existe un unique vecteur de E tel que f(u) = v. L’application r´eciproque est l’application f⁻¹ : F → E qui associe `a un vecteur v ∈ F le seul vecteur u ∈ E tel que f(u) = v. Nous devons montrer que f⁻¹ est lin´eaire. Soit v, v⁰ ∈ F et λ ∈ K. Notons u = f⁻¹(v) et u⁰ = f⁻¹(v⁰). Comme f(u+u⁰) = f(u) +f(u⁰) = v +v⁰, il vient u+u⁰ = f⁻¹(v+v⁰). Ainsi, f⁻¹(v +v⁰) = f⁻¹(v) +f⁻¹(v⁰). De mˆeme, f(λu) = λf(u) = λv. Ainsi, f⁻¹(λv) =λu =λf⁻¹(v). Cela montre que l’application f⁻¹ est lin´eaire.

Notation 6.3.11 On note GlK(E)⊂ LK(E) l’ensemble des isomorphismes lin´eaires de E vers E. GlK(E) est un groupe pour la loi de composition. Ce groupe est non commutatif d`es que dim_K(E)>1.

Exemples d’isomorphismes lin´eaires : Soit E un K-espace vectoriel de dimension n etB = (e₁, . . . , e_n) une base de E. L’application :

E −→Kⁿ, u7−→ les coordonn´ees de u dans la baseB est un isomorphisme lin´eaire. Son application inverse est l’application :

Kⁿ−→E , (x₁, . . . , x_n)7−→x₁e₁+· · ·+x_ne_n .

Une cons´equence est que deuxK-espaces vectoriels de mˆeme dimension sont toujours isomorphes.

6.4 Application lin´ eaire et sous-espaces vectoriels

Proposition 6.4.1 Soit f :E →F une application lin´eaire entre deux K-espaces vectoriels.

1) Pour tout sous-espace vectoriel V de E, f(V) est un sous-espace vectoriel de F. 2) Pour tout sous-espace vectoriel W de F, f⁻¹(W) est un sous-espace vectoriel de E.

Preuve de 1) : L’ensemblef(V) est non vide, car 0_E ∈V et donc f(0_E) = 0_F ∈f(V).

Soit y, y⁰ ∈f(V) et λ ∈K. Par d´efinition de f(V), il existe x et x⁰ ∈V tels que y =f(x) ety⁰ = f(x⁰).

On a alors en utilisant la lin´earit´e de f :

y+y⁰ =f(x) +f(x⁰) =f(x+x⁰) et λy=λf(x) = f(λx) .

Comme V est un sous-espace vectoriel, x+x⁰ et λx sont des vecteurs de V. Il en r´esulte que et y+y⁰ etλy appartiennent `a f(V). Ainsi, f(V) est un sous-espace vectoriel de F.

Preuve de 2) : L’ensemblef⁻¹(W) est non vide, car f(0E) = 0F ∈W. Ainsi, 0E ∈f⁻¹(W).

Soit x, x⁰ ∈ f⁻¹(W) et λ ∈ K. Ainsi, f(x), f(x⁰) ∈ W. Comme f est lin´eaire, f(x+x⁰) = f(x) +f(x⁰) et f(λx) = λf(x). Comme W est un sous-espace vectoriel, nous en d´eduisons f(x+x⁰), f(λx) ∈ W. Il en r´esulte que x+x⁰, λx∈f⁻¹(W). Donc, f⁻¹(W) est un sous-espace vectoriel de E.

D´efinition 6.4.2 (Image d’une application lin´eaire) Soit f : E → F une application lin´eaire. On appelle image de f et on note imf le sous-espace vectoriel de F :

imf =f(E) = {f(u) tels queu∈E} ⊂F .

D´efinition 6.4.3 (Noyau d’une application lin´eaire) Soit f : E → F une application lin´eaire. On appelle noyau de f et on note kerf, le sous-espace vectoriel de E :

kerf =f⁻¹({0_F}) ={u∈E tels quef(u) = 0_F} ⊂E .

Justification : Soit f ∈ L_K(E, F). Comme E est espace vectoriel, il r´esulte de la proposition 6.4.1 que f(E), l’image def, est un sous-espace vectoriel. De mˆeme,{0_F}est un sous-espace vectoriel deF et kerf est donc un sous-espace vectoriel de E.

Proposition 6.4.4 Soit f ∈ L_K(E, F).

f surjective ⇐⇒ imf =F et f injective ⇐⇒ kerf ={0_E} . Preuve : La premi`ere assertion r´esulte de la d´efinition de la surjectivit´e.

Montrons la deuxi`eme assertion. Supposons injective. Commef(0_E) = 0_F et quef est injective, c’est que 0E est la seule solution dex∈E etf(x) = 0F. Donc, kerf ={0E}. Supposons maintenant que kerf ={0E}.

Soit y∈F etx, x⁰ ∈E tels quef(x) =f(x⁰) =y. On obtient,f(x)−f(x⁰) = 0. Il r´esulte de la lin´earit´e def que f(x−x⁰) = 0. Ainsi, x−x⁰ ∈kerf ={0_E}et donc x=x⁰. Ainsi pour tout y∈F, l’´equationf(x) =y a au plus une solution. L’application f est donc injective.

Proposition 6.4.5 Soit f ∈ L_K(E, F) et v₁, v₂, . . . , v_p ∈E. Alors :

f(Vect(v₁, v₂, . . . , v_p)) = Vect(f(v₁), f(v₂), . . . , f(v_p)) .

Preuve : Siy∈Vect(v1, v2, . . . , vp), le vecteury s’´ecrit y=λ1v1+· · ·+λpvp avecλi ∈K. On a par lin´earit´e de f : f(y) = λ₁f(v₁) +· · ·+λ_pf(v_p). Ainsi,f(y)∈Vect(f(v₁), f(v₂), . . . , f(v_p)).

Inversement, si y ∈ Vect(f(v₁), f(v₂), . . . , f(v_p)), il existe λ₁, . . . , λ_p tels que y = λ₁f(v₁) +· · ·+λ_pf(v_p).

D’o`u, puisque f est lin´eaire, y = f(λ1v1 +· · ·+λpvp). Or, λ1v1+· · ·+λpvp ∈ Vect(v1, v2, . . . , vp) et donc y∈f(Vect(v₁, v₂, . . . , v_p)). On a ainsi montr´e l’´egalit´e cherch´ee.

Proposition 6.4.6 Soit f ∈ L_K(E, F).

1. Supposons f injective : Si (u₁, u₂, . . . , u_p) est une famille libre, la famille (f(u₁), f(u₂), . . . , f(u_p)) est une famille libre de F.

2. Supposonsf surjective : Si(v₁, v₂, . . . , v_l)est une famille g´en´eratrice deE, la famille(f(v₁), f(v₂), . . . , f(v_l)) est une famille g´en´eratrice de F.

3. Si f est un isomorphisme lin´eaire, l’image d’une base de E est une base de F.

Preuve de 1) : Soit λ₁, . . . , λ_p ∈ K tels que λ₁f(u₁) +· · ·+λ_pf(u_p) = 0_F. Puisque f est lin´eaire, nous avons donc : f(λ₁u₁+· · ·+λ_pu_p) = 0_F. Puisque, f est injective, nous obtenonsλ₁u₁+· · ·+λ_pu_p = 0_E. La famille (u₁, u₂, . . . , u_p) ´etant libre, il en r´esulte λ₁ = · · · =λ_p = 0. Cela assure que (f(u₁), f(u₂), . . . , f(u_p)) est une famille libre

Preuve de 2 ) : Soity∈F. Commef est surjective, il existex∈E tel quey =f(x). Puisque (v₁, v₂, . . . , v_l) est une famille g´en´eratrice de E, il existe λ₁, . . . , λ_l∈K tels que x=λ₁v₁+· · ·+λ_lv_l. Ainsi,

y=f(x) =f(λ₁v₁+· · ·+λ_lv_l) .

L’application f ´etant lin´eaire, nous obtenons : y = λ₁f(v₁) +· · ·+λ_lf(v_l). Cela montre que tout y de F est combinaison lin´eaire de f(v1), f(v2), . . . , f(vl). La famille (f(v1), f(v2), . . . , f(vl)) est donc une famille g´en´eratrice deF.

Preuve de 2 ) : R´esulte de 1 et 2.

6.5 Bases, dimension et applications lin´ eaires

Proposition 6.5.1 SoitEetF deuxK-espaces vectoriels etB= (e₁, . . . , e_n)une base deE. Soitu₁, u₂, . . . , u_n n vecteurs de E. Il existe une unique application lin´eaire f : E → F telle que pour tout i ∈ {1,2, . . . , n} : f(e_i) =u_i.

Preuve par ”analyse synth`ese” :

Analyse : Soit f une telle application. Soit x∈E et (x1, . . . , xn) les coordonn´ees dexdans la base B. Ainsi, x=x₁e₁+· · ·+x_ne_n. Comme f est lin´eaire, on obtient :

f(x) =x₁f(e₁) +· · ·+x_nf(e_n) = x₁u₁+· · ·+x_nu_n .

L’application f : E → F est donc n´ecessairement l’application d´efinie par f(x) = x₁u₁ +· · ·+x_nu_n. o`u (x<sub>1</sub>, . . . , x<sub>n</sub>) sont les coordonn´ees de x dans la base B. L’application cherch´ee est donc unique. Il reste `a v´erifier que cette application convient.

Synt`ese : Montrons que f convient. C’est `a dire que f est lin´eaire et que f(e_i) = u_i. Comme les coordonn´ees de e_i dans la baseB sont (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) o`u le 1 est plac´e `a la i-`eme place, on a bien :

f(e_i) = 0u₁+. . .+ 0u_i−1+ 1u_i+ 0u_i+1+. . .+ 0u_n ainsi f(e_i) =u_i.

Il reste `a montrer que cette applicationf est lin´aire. Soitx, y ∈E etλ∈K. Soit (x₁, . . . , x_n), (y₁, . . . , y_n) les coordonn´ees de xet ydans la base B. Le vecteurx+y a pour coordonn´ees (x₁+y₁, . . . , x_n+y_n) dans la base B. Le vecteurλx a pour coordonn´ees (λx₁, . . . , λx_n) dans la baseB. On a donc :

f(x+y) = (x₁+y₁)u₁+. . .+ (x_n+y_n)u_n

= (x₁u₁+· · ·+x_nu_n) + (y₁u₁+· · ·+y_nu_n)

= f(x) +f(y)

f(λx) = λx₁u₁+· · ·+λx_nu_n

= λ(x₁u₁+· · ·+x_nu_n)

= λf(x)

Ainsi, f est lin´eaire, f convient et la proposition est d´emontr´ee.

Proposition 6.5.2 (dimension de la source, du noyau et de l’image) Soit E et F deuxK-espaces vectoriels.

On suppose E de dimension n et f ∈ L_K(E, F). Alors :

n = dim_KE = dim_Kkerf + dim_Kimf .

Preuve : L’espace vectoriel E admet une base de cardinal n. Nous avons vu alors que tout sous-espace vectoriel de E admet une base et que toute base d’un sous-espace vectoriel de E peut ˆetre compl´et´e en une base deE. Appliquons cette remarque `a kerf. Soit (e₁, . . . , e_p) une base de kerf. Compl´etons cette base en B = (e₁, . . . , e_n) base de E. Notons que f(e_p+1), . . . , f(e_n) ∈ imf et montrons que (f(e_p+1), . . . , f(e_n)) est une base de imf.

Soit y∈imf, il existex∈E tel que y=f(x). Soit (x₁, . . . , x_n) les coordonn´ees de x dans la baseB. En utilisant la lin´earit´e de f et le fait quee₁, . . . , e_p sont des vecteurs de kerf, on obtient :

y = f(x) =f(x₁e₁+· · ·+x_ne_n)

= x1f(e1) +· · ·+xnf(en)

= x_p+1f(e_p+1) +· · ·+x_nf(e_n)

Ainsi, (f(e_p+1), . . . , f(e_n)) est une famille g´en´eratrice de imf. Montrons que (f(e_p+1), . . . , f(e_n)) est une famille libre. Soit λ_p+1, . . . , λ_n ∈ K tels que λ_p+1f(e_p+1) +· · ·+λ_nf(e_n) = 0. Comme f est lin´eaire, on obtient : f(λ_p+1e_p+1+· · ·+λ_ne_n) = 0. Ainsi, λ_p+1e_p+1+· · ·+λ_ne_n∈kerf. Comme (e₁, . . . , e_p) est une base de kerf, il existeµ₁, . . . , µ_p ∈K tels que

λ_p+1e_p+1+· · ·+λ_ne_n=µ₁e₁+· · ·+µ_pe_p D’o`u :

µ₁e₁+· · ·+µ_pe_p−λ_p+1e_p+1− · · · −λ_ne_n= 0

Comme B est une base, c’est une famille libre. En particulier, λp+1 =· · · =λn = 0. On a ainsi montr´e que la famille (f(e_p+1), . . . , f(e_n)) est libre.

En conclusion, (f(ep+1), . . . , f(en)) est une base de imf. Ainsi, imf est de dimension n−pet : dim_Kkerf+ dim_Kimf =p+ (n−p) =n= dim_KE .

Corollaire 6.5.3 Soit E et F deux K-espaces vectoriels de mˆeme dimension. Soit f ∈ L_K(E, F). Alors, les propositions suivantes sont ´equivalentes :

1. f est injectice 2. f est surjective

3. f est un isomorphisme

Preuve 1 =⇒ 2 : Si f est injective, kerf = {0_E}. Donc, dim_Kkerf = 0. Il r´esulte de la formule de dimension de la proposition 6.5.2 :

dim_KE = dim_Kimf

Comme E et F, ont mˆeme dimension dim_Kimf = dim_KF. Ainsi, imf est un sous-espace vectoriel de F qui a la mˆeme dimension que F. Il en r´esulte imf =F. C’est `a dire (voir proposition 6.4.4) : f surjective.

Preuve2 =⇒3: Sif est surjective, imf =F et dim_Kimf = dim_KF. CommeE etF, ont mˆeme dimension, on obtient dim_Kimf = dim_KE Il r´esulte de la formule de dimension de la proposition 6.5.2 : dim_Kkerf = 0.

Ainsi, kerf ={0_E}. Il r´esulte encore de la proposition 6.4.4 que f est injective. ´Etant injective et surjective, f est donc bijective. C’est un isomorphisme.

Preuve 3 =⇒1 : Sif est isomorphisme, f est bijective et en particulier injective.

Cela montre que les trois propri´et´es sont ´equivalentes.

6.6 Matrice d’une application lin´ eaire

D´efinition 6.6.1 Soit E et F deux K-espaces vectoriels. On suppose donn´ee une base B = (e₁, . . . , e_n) de E et une base B⁰ = (e⁰₁, . . . , e⁰_m) de F. Soit f ∈ LK(E, F). On appelle matrice de f dans les bases B et B⁰, la matrice not´ee M(f,B⁰,B)∈M_m,n(K) d´efinie comme suit : la i-`eme colonne de M(f,B⁰,B) est form´e des coordonn´ees def(e_i) dans la base B⁰.

On dit encore queM(f,B⁰,B) est la matrice def avec comme base d’arriv´ee B⁰ et base de d´epart B.

Proposition 6.6.2 Soit E et F deux K-espaces vectoriels. On suppose donn´ee une base B= (e₁, . . . , e_n) de E et une base B⁰ = (e⁰₁, . . . , e⁰_m) de F.

Soit X=









x₁ ... x_n









la matrice colonne form´ee des coordonn´ees du vecteur u dans la base B.

Soit Y =









y₁ ... y_m









la matrice colonne form´ee des coordonn´ees du vecteur f(u) dans la base B⁰. Alors :

Y =M(f,B⁰,B)X .

Preuve : Soit a_i,j le terme de j-`eme ligne et de la i-`eme colonne de M(f,B⁰,B). Ecrivons en colonnes les coordonn´ees. Par d´efinition, les coordonn´ees de f(ei) dans la baseB⁰ sont :









a_1,i ... am,i









.

f(u) =f(x₁e₁+· · ·+x_ne_n) = x₁f(e₁) +. . .+x_nf(e_n) .

Par lin´earit´e des coordonn´ees, passons cette ´egalit´e aux coordonn´ees dans la base B⁰, nous obtenons :









y₁ ... y_m









=x₁









a_1,1 ... a_m,1









+· · ·+x_n









a_1,n ... a_m,n









=









a_1,1x₁+· · ·+a_1,nx_n ...

a_m,1x₁+· · ·+a_m,nx_n









=M(f,B⁰,B)









x₁ ... x_n









.

D´efinition 6.6.3 Soit E un K-espace vectoriel et B= (e₁, . . . , e_n) est une base de E. Soit f ∈ L_K(E). On appelle matrice de l’endomorphisme f dans la base B la matrice not´ee M(f,B) ∈ Mn(K) d´efinie comme suit : la i-`eme colonne de M(f,B) est form´e des coordonn´ees de f(e_i) dans la base B. Cette matrice est appel´ee matrice de f dans la base B.

Soit E un K-espace vectoriel et B = (e₁, . . . , e_n) est une base de E et f ∈ L_K(E). Soit X =









x₁ ... x_n









la matrice colonne form´ee des coordonn´ees du vecteur u dans la base B et Y =









y₁ ... y_m









la matrice colonne form´ee des coordonn´ees du vecteur f(u) dans la mˆeme base B. Puisque M(f,B) = M(f,B,B) on a :

Y =M(f,B)X .

Exemple : Ecrivons les ´el´ements deR² et R³ en colonne. Consid´erons l’application lin´eaire : f :R² −→R³ , x1

x₂

!

7−→







y₁ y₂ y₃





=







x₁+ 2x₂ 3x₁+ 4x₂ 5x₁+ 6x₂





=







1 2 3 4 5 6







x1

x₂

!

.

Notons B= (e₁, e₂) la base canonique de R² etB⁰ = (e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃) la base canonique de R³. f(e₁) = f 1

0

!

=







1 3 5





=e⁰₁+ 3e⁰₂ + 5e⁰₃ f(e₂) =f 0 1

!

=







2 4 6





= 2e⁰₁+ 4e⁰₂+ 6e⁰₃ .

Ainsi :

M(f,B⁰,B) =







1 2 3 4 5 6





 .

Plus g´en´eralement, soit (a_i,j)1≤i≤m,1≤j≤n une famille d’´el´ements de K,A ∈ M_m,n(K) la matrice de terme g´en´eral a_i,j et f l’application lin´eaire

f :Kⁿ →K^m ,









x₁ ... x_n









7−→









y₁ =a_1,1x₁+· · ·+a_1,nx_n ...

y_m =a_m,1x₁+· · ·+a_m,nx_n









=A









x₁ ... x_n









.

o`u les ´el´ements de RⁿetR^m sont ´ecrits en colonne. Alors siB⁰ etB sont respectivement les bases canoniques de K^m et Kⁿ :

M(f,B⁰,B) =









a_1,1 . . . a_1,n ... ... a_m,1 . . . a_m,n









.

Exercice : D´esignons parB = (e₁, e₂) la base canonique de R². Posons ₁ = (1,1) et ₂ = (1,17).

a) Montrer que B⁰ = (₁, ₂) est une base de R².

b) Soit f ∈ L_K(R²) d´efinie par f(e₁) = ₁ et f(e₂) = ₂. Calculer les matrices M(f,B⁰,B), M(f,B,B⁰), M(f,B) et M(f,B⁰) .

c) Calculer les matrices M(Id_R²,B,B⁰) et M(Id₂,B⁰,B).

Solution : a) Les coordonn´ees de ₁ et et ₂ dans la base canonique de R² sont respectivement (1,1) et (1,17). Autrement dit, ₁ =e₁+e₂ et ₂ =e₁+ 17e₂ La matrice :

MB(1, 2) = 1 1 1 17

!

est de d´eterminant 16. Elle est donc inversible. Ainsi, B⁰ = (1, 2) est une base de R². Par d´efinition de f, f(e₁) =₁ et f(e₂) = ₂ et donc :

M(f,B⁰,B) = 1 0 0 1

!

= Id₂ . On a :

f(e1) =1 =e1+e2 et f(e2) =2 =e1+ 17e2 . Ainsi :

M(f,B) = 1 1 1 17

!

. On a :

f(₁) =f(e₁)+f(e₂) =₁+₂ = 2e₁+18e₂ et f(₂) =f(e₁)+17f(e₂) =₁+17₂ = (e₁+e₂)+17e₁+17e₂ = 18e₁+289e₂ . Ainsi :

M(f,B⁰) = 1 1 1 17

!

et M(f,B,B⁰) = 2 18 18 289

!

= 2Id2 . On a ici M(f,B) =M(f,B⁰), mais en g´en´eral ces matrices sont diff´erentes.

c) Nous avons vu que B⁰ = (₁, ₂) est une base de R². Posons : P =MB(₁, ₂) = 1 1

1 17

!

.

C’est la matrice de passage de la base canoniqueBdeR² vers la nouvelle base B⁰ = (₁, ₂). Le calcul donne : P⁻¹ = 1

16

17 −1

−1 1

!

.

Cette matrice est la matrice de passage de la base B⁰ `a la base B. Ainsi : e₁ = 17

16₁− 1

16₂ et e₂ =− 1

16₁+ 1 16₂ .

On a :

Id_R²(₁) =₁ =e₁+e₂ et Id_R²(₂) =₂ =e₁+ 17e₂ . Ainsi :

M(Id_R²,B,B⁰) = 1 1 1 17

!

=P On a :

Id_R²(e₁) = e₁ = 17

16₁− 1

16₂ et Id_R²(e₂) =e₂ =− 1

16₁+ 1 16₂ . Ainsi :

M(Id_R²,B⁰,B) = 1 16

17 −1

−1 1

!

=P⁻¹

Proposition 6.6.4 Soit E et F deux K-espaces vectoriels, B une base de E et B⁰ une base de F. Soit f, g ∈ L_K(E, F) et λ∈K :

M(f +g,B⁰,B) =M(f,B⁰,B) +M(g,B⁰,B) et M(λf,B⁰,B) = λM(f,B⁰,B) . Si G est un troisi`eme espace vectoriel, B⁰⁰ une base de G et g ∈ L_K(F, G) :

M(g◦f,B⁰⁰,B) = M(g,B⁰⁰,B⁰)M(f,B⁰,B) .

Preuve : Le premier point provient du fait que sie_i est un vecteur deB, les coordonn´ees de (f+g)(e_i) dans la base B⁰ s’obtiennent en ajoutant les coordonn´ees de f(e_i) dans la base B⁰ `a ceux de g(e<sub>i</sub>) dans la baseB<sup>0</sup>. Le deuxi`eme point provient du fait que si ei est un vecteur de B, les coordonn´ees de λf(ei) dans la base B⁰ s’obtiennent en multipliant par λ les coordonn´ees de f(e_i) dans la base B⁰.

Montrons plus pr´ecisement le troisi`eme point. Soita_i,j le terme g´en´eral de la matriceM(f,B⁰,B),b_i,j le terme g´en´eral de la matriceM(g,B⁰⁰,B⁰)B = (e1, . . . , en), B⁰ = (e⁰₁, . . . , e⁰_m), et B⁰⁰= (e⁰⁰₁, . . . , e⁰⁰_p).

g◦f(ei) = g(a1,ie⁰₁+· · ·+am,ie⁰_m)

= a_1,ig(e⁰₁) +· · ·+a_m,ig(e⁰_m)

= a_1,i(b_1,1e⁰⁰₁ +· · ·+b_p,1e⁰⁰_p) +· · ·+a_m,i(b_1,me⁰⁰₁+· · ·+b_p,me⁰⁰_p)

= (b_1,1a_1,i+· · ·b_1,ma_m,i)e⁰⁰₁ +· · ·+ (b_p,1a_1,i+· · ·+b_p,ma_m,i

Or, par d´efinition du produit ligne colonne le terme g´en´eral de la matrice produit M(g,B⁰⁰,B⁰)M(f,B⁰,B) est b_j,1a_1,i+· · ·+b_j,ma_m,i. La troisi`eme assertion de la proposition en r´esulte.

En particulier, siE est un K-espace vectoriel et B une base de E, si f, g, h∈ LK(E) et λ∈K: M(f+g,B) = M(f,B) +M(gf,B) , M(λf,B) =λM(f,B) , M(g◦f,B) =M(g,B)M(f,B) Proposition 6.6.5 SoitE etF deuxK-espaces vectoriels,B= (e₁, . . . , e_n)une base deE etB⁰ = (e⁰₁, . . . , e⁰_m) une base de F. L’application :

LK(E, F)−→ Mm,n(K) , f 7−→ M(f,B⁰,B) est un isomorphisme.

Id´ee de la Preuve : la lin´earit´e de notre application r´esulte de la proposition pr´ec´edente. La bijectivit´e r´esulte de la proposition 6.5.1.

On notera que deux applicationsf, g∈ L_K(E, F) sont ´egales si et seulement si leurs matricesM(f,B⁰,B) et M(f,B⁰,B) sont ´egales.

Remarque 6.6.6 Soit E unK-espace vectoriel de dimension n. La matrice de Id_E dans toutes les bases de E est la matrice Id_n.

Proposition 6.6.7 Soit E un K-espace vectoriel et B une base de E. un endomorphisme f ∈ L_K(E) est un isomorphisme si et seulement si M(f,B) est inversible. On a alors M(f⁻¹,B) = M(f,B)⁻¹

bf Preuve : Si f est un isomorphisme, en utilisant la proposition , on obtient : M(f⁻¹,B)M(f,B) = M(f⁻¹◦f,B) = M(Id_E,B) = Id_n . M(f,B⁰)M(f⁻¹,B) =M(f◦f⁻¹,B) =M(Id_E,B) = Id_n .

Ainsi, M(f,B) est inversible. et M(f⁻¹,B) =M(f,B)⁻¹.

SiM(f,B) est inversible, d’apr`es la proposition 6.6 il existe un endomorphismeg ∈ L(E,K) tel queM(g,B) = M(f,B)⁻¹. En utilisant la proposition , on obtient :

M(g◦f,B) =M(f ◦g,B) = Id_n .

Or, Idn est la matrice de IdE dans la base B. On d´eduit de la proposition : g ◦f = f ◦g = IdE. Cette propri´et´e assure que f est bijective d’application r´eciproque g.

6.7 Matrice d’une application lin´ eaire et changement de bases

Soit E un K-espace vectoriel , B = (e1, . . . , en) et B⁰ = (e⁰₁, . . . , e⁰_n) deux bases de E. Rappelons que nous avions appel´e matrice de passage de la base B `a la base B<sup>0</sup> la matrice P de M<sub>n</sub>(K) dont i-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees dee⁰_i dans la base B. La matrice P est inversible et P⁻¹ est la matrice de passage de la base B⁰ `a la base B.

On peut observer que P n’est autre que la matrice de l’application lin´eaire identit´e avec B⁰ comme base de d´epart et B comme base d’arriv´ee. Autrement dit :

P =M(Id_E,B,B⁰) .

L’interˆet de cette matrice est que si X est la matrice colonne des coordonn´ees d’un vecteur u deE dans la base B etX⁰ la matrice colonne de ses coordonn´ees dans la base B⁰, on a :

X =P X⁰ et X⁰ =P⁻¹X .

Proposition 6.7.1 Soit E, F deuxK-espaces vectoriels. Soit B₁ et B⁰₁ deux bases respectivement de E et F et A=M(f,B₁⁰,B1)la matrice de f avec base de d´epart B1 et base d’arriv´ee B⁰₁. Soit B2 et B₂⁰ deux nouvelles bases respectivement de E et F et B =M(f,B₂⁰,B₂) la matrice de f avec la nouvelle base de d´epart B₂ et la nouvelle base d’arriv´ee B₂⁰. Soit P la matrice de changement de passage de la base B₁ `a la base B<sub>2</sub> et Q la matrice de changement de passage de la base B<sup>0</sup><sub>1</sub> `a la base B⁰₂ . Soit f ∈ LK(E, F), alors :

B =Q⁻¹AP et A=QBP⁻¹ .

Preuve : Donnons deux preuves de ce r´esultat important.

Premi`ere preuve : De la proposition 6.6, il r´esulte :

M(f,B₂⁰,B₂) =M(Id_F,B₂⁰,B⁰₁)M(f,B₁⁰,B₁)M(Id_E,B₁,B₂)

Il reste a utiliser le lien entre les matrices de passage et les matrices de l’identit´e dans deux bases diff´erentes.

Deuxi`eme preuve : Soit en colonne X₁ et X₂ les coordonn´ees d’un vecteur u de E respectivement dans les bases B₁ et B₂ et Y₁ et Y₂ les coordonn´ees du vecteur f(u) de E respectivement dans les basesB₁⁰ et B⁰₂. On a :

Y₁ =M(f,B₁⁰,B₁)X₁ , X₁ =P X₂ , Y₂ =Q⁻¹Y₁ . Ainsi :

Y₂ =Q⁻¹Y₁ =Q⁻¹(M(f,B⁰₁,B₁)X₁) = Q⁻¹(M(f,B⁰₁,B₁)(P X₂)) =Q⁻¹M(f,B⁰₁,B₁)P X₂ . L’application qui a X₂ associe Y₂ est d´efinie par :

Y₂ =M(f,B₂⁰,B₂)X₂ =Q⁻¹M(f,B⁰₁,B₁)P X₂ , Elle est lin´eaire. On en d´eduit donc (voir exemple clef du paragraphe 6.3) :

M(f,B₂⁰,B₂) =Q⁻¹M(f,B⁰₁,B₁)P .

Corollaire 6.7.2 SoitE unK-espace vectoriel,B₁ une base deE etB₂ une deuxi`eme base deE (dite nouvelle base). Soit P la matrice de changement de passage de la base B<sub>1</sub> `a la B₂. Soit f ∈ L_K(E), A la matrice de f dans la base B₁ et B la matrice de f dans la base B₂. Alors :

B =P⁻¹AP et A=P BP⁻¹ . Exercice : Soit ₁ = (1,16) et ₂ = (1,17) et f l’application lin´eaire :

f :R² −→R² , x₁ x₂

!

7−→ y₁ y₂

!

= 33x₁−2x₂ 544x₁−33x₂

!

.

1) Montrer que B⁰ = (1, 2) est une base de R². Quelle est la matrice de passage P de la base canonique B de R² `a la base B<sup>0</sup> ? Quelle est la matrice de passage de base canonique de R<sup>2</sup> `a la base B⁰ ?

2) Quelle est la matrice A def dans la base canonique de R² et la matriceB def dans la base B⁰ ? 3) Calculer f(1) et f(2) `a l’aide de A. En d´eduire directement B.

Solution : 1) Les coordon´ees de ₁ et ₂ dans la base canonique de R² sont respectivement (1,16) et (1,17).

On a donc :

MB(₁, ₂) = 1 1 16 17

!

.

Son d´eterminant est 1. Donc, cette matrice est inversible et (1, 2) est une base deR².

P = 1 1

16 17

!

.

La matrice de passage de la baseB⁰ deR² `a la base canoniqueBest la matriceP⁻¹. Le calcul du d´eterminant de P et de sa comatrice donne :

P⁻¹ = 17 −1

−16 1

!

. 2) Suivant le paragraphe 6.6, on a :

A= 33 −2

544 −33

!

.

D’apr`es le corollaire 6.7.2 : B =P⁻¹AP = 17 −1

−16 1

! 33 −2 544 −33

! 1 1 16 17

!

= 17 −1

−16 1

! 1 −1 16 −17

!

= 1 0

0 −1

!

On imagine que pour travailler avec f, on ait avantage `a le faire dans la base (₁, ₂).

3)

f(₁) = 33 −2 544 −33

! 1 16

!

= 1

16

!

=₁ .

f(2) = 33 −2 544 −33

! 1 17

!

= −1

−17

!

=−2 . Par d´efinition de B, on obtient :

B = 1 0

0 −1

!

.

6.8 Projection et sym´ etrie vectorielle

D´efinition 6.8.1 (projection et sym´etrie) Soit E1, E2 deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires d’un K- espace vectoriel E : E =E₁⊕E₂. Tout vecteur u de E s’´ecrit donc de fa¸con unique u=u₁+u₂ o`u u₁ ∈E₁ et u₂ ∈E₂.

1) L’application p : E → E , u 7→ p(u) = u1 est lin´eaire. Elle est appel´ee projection sur E1 parall´element `a E₂.

Imp= ker(p−Id_E) =E₁ , kerp=E₂ et p² =p .

2) L’application s : E → E , u 7→ s(u) = u₁−u₂ est lin´eaire. Elle est appel´ee sym´etrie par rapport `a E<sub>1</sub> parall´element `a E₂.

ker(s−Id_E) = E₁ , ker(s+ Id_E) = E₂ et s² = Id_E . En particulier, s est un isomorphisme lin´eaire et s⁻¹ =s.

Exercice : Soit P le sous-espace vectoriel de R³ d’´equation x+y+z = 0 dans la base canonique de R³ et D= Vect((1,1,1)) la droite vectorielle de base (1,1,1).

1) Montrer que P et D sont des sous-espaces vectoriels suppl´ementaires.

2) Expliciter la sym´etrie par rapport P parall´element `a D. Quelle est sa matrice dans la base canonique de R³ ?

3) Soit 1 = (−1,1,0), 2 = (−1,0,1) et 3 = (1,1,1). Montrer que (1, 2, 3) est une base not´ee B⁰ de R³. Quelle est la matrice de la sym´etrie par rapport P parall´element `a D dans cette base ?

1) Par r´esolution de l’´equationx+y+z = 0, on obtient queP est un plan vectoriel de base ((−1,1,0),(−1,0,1)).

Ainsi, dimP + dimD = 2 + 1 = 3 = dimR³. Pour montrer que P et D sont suppl´ementaires, il reste `a