Noyau d’une application lin´ eaire
D´edou
Mai 2012
Le s´ equent initial
Le s´equent initial, c’est
` ∀E,F :EspVec,∀u :E →F,u lin´eaire ⇒Keruest un sev . On fait tout ce qui est gratuit :
La premi` ere salve
Le s´equent initial, c’est
` ∀E,F :EspVec,∀u :E →F,u lin´eaire ⇒Keruest un sev . On fait tout ce qui est gratuit :
ForallB, ForallB, ForallB, ImpB, ReecB, EtB, ReecB, ReecC, Hyp (On doit montreru(0) = 0 et c’est dans les hypoth`eses !)
Et le nouveau s´equent, c’est quoi ?
La premi` ere salve
Le s´equent initial, c’est
` ∀E,F :EspVec,∀u :E →F,u lin´eaire ⇒Keruest un sev . On fait tout ce qui est gratuit :
ForallB, ForallB, ForallB, ImpB, ReecB, EtB, ReecB, ReecC, Hyp Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;u lin´eaire
` ∀y,z :E,∀a,b :R,y ∈Keru et z ∈Keru⇒ay+bz∈Keru.
La deuxi` eme salve
Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;u lin´eaire
` ∀y,z :E,∀a,b :R,y ∈Keru et z ∈Keru⇒ay+bz∈Keru.
On fait tout ce qui est gratuit :
La deuxi` eme salve
Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;u lin´eaire
` ∀y,z :E,∀a,b :R,y ∈Keru et z ∈Keru⇒ay+bz∈Keru.
On fait tout ce qui est gratuit :
4ForallB, ImpB, EtC, ReecB, ReecC, ReecC Le nouveau s´equent, c’est ?
La deuxi` eme salve
Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;u lin´eaire
` ∀y,z :E,∀a,b :R,y ∈Keru et z ∈Keru⇒ay+bz∈Keru.
On fait tout ce qui est gratuit :
4ForallB, ImpB, EtC, ReecB, ReecC, ReecC Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;u lin´eaire ; y,z :E;a,b:R;u(y) = 0;u(z) = 0
`u(ay+bz) = 0.
La troisi` eme salve
Le s´equent courant, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;u lin´eaire ; y,z :E;a,b:R;u(y) = 0;u(z) = 0
`u(ay+bz) = 0.
On applique la lin´earit´e : ReecC, 4ForallC
Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;y,z :E;a,b:R; u(y) = 0;u(z) = 0;u(ay +bz) =au(y) +bu(z)
`u(ay+bz) = 0.
La quatri` eme salve II
Le s´equent courant, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;y,z :E;a,b:R; u(y) = 0;u(z) = 0;u(ay +bz) =au(y) +bu(z)
`u(ay+bz) = 0.
Et on r´e´ecrit :
ReecB, ReecB, ReecB Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;y,z :E;a,b:R; u(y) = 0;u(z) = 0;u(ay +bz) =au(y) +bu(z)
`a∗0 +b∗0 = 0.
La cinqui` eme salve
Le s´equent courant, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;y,z :E;a,b:R; u(y) = 0;u(z) = 0;u(ay +bz) =au(y) +bu(z)
`a∗0 +b∗0 = 0.
On oublie presque tout
E,F :EspVec;a,b:R`a∗0 +b∗0 = 0.
On invoque :
∀G :EspVec;∀a:R,a∗0 = 0.
InvoC, ForallC, Contr, ForallC, ForallC, ReecB, ReecB
La sixi` eme salve
Le s´equent courant, c’est E,F :EspVec;a,b :R;
`a∗0 +b∗0 = 0.
On invoque :
∀G :EspVec;∀a:R,a∗0 = 0.
InvoC, ForallC, Contr, ForallC, ForallC, ReecB, ReecB Le nouveau s´equent, c’est
F :EspVec;a,b :R`0 + 0 = 0.
Le coup de grˆ ace
Le s´equent courant, c’est
F :EspVec;a,b :R`0 + 0 = 0.
On invoque :
∀E :EspVec;∀x :E,x+ 0 = 0.
InvoC, ForallC, ForallC, Hyp.
Et c’est fini.
