L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Chapitre X
Applications lin´ eaires
Table des mati` eres
1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires 2
2 Noyau et image d’une application lin´eaire 4
3 Matrices versus applications lin´eaires : un exemple 5
3.1 Matrice associ´ee `a une application lin´eaire relativement aux basesE etF . . . 5 3.2 Application lin´eaire associ´ee `a une matrice relativement aux basesE etF . . . 6 3.3 Lien entre les deux constructions pr´ec´edentes . . . 7 4 Matrices versus applications lin´eaires : cas g´en´eral 7
5 Applications lin´eaires et th´eorie de la dimension 10
6 Rang d’une application lin´eaire et rang d’une matrice 10 6.1 Rang d’une application lin´eaire . . . 10 6.2 Rang d’une matrice . . . 11 6.3 Rang d’une application lin´eaire versus rang d’une matrice . . . 11
Notation :Le symboleKd´esigneRouC.
1 D´ efinitions et propri´ et´ es ´ el´ ementaires
D´efinition (application lin´eaire)
SoientE et F deuxK-espaces vectoriels. Une applicationϕ:E→F est dite lin´eaire si
∀u1, u2∈E, ∀λ1, λ2∈K, ϕ(λ1u1+λ2u2) =λ1ϕ(u1)+λ2ϕ(u2) (ϕrespecte les combinaisons lin´eaires).
Remarque 1 :On conserve les notations de la d´efinition pr´ec´edente. On peut d´emontrer queϕ:E →F est lin´eaire si et seulement si les deux propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees.
∀u1, u2∈E, ϕ(u1+u2) =ϕ(u1) +ϕ(u2) (ϕrespecte l’addition) et
∀u∈E, ∀λ∈K, ϕ(λ u) =λ ϕ(u) (ϕrespecte la multiplication par un scalaire)
Exemple 1 : Montrer que l’application
f: R3→R2;
x y z
7→
x+y−z x+z
est lin´eaire.
Th´eor`eme 1 (application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matrice)
Soientn, p∈N∗. SoitAest une matricen×p`a coefficients dansK(i.e.A∈ Mn,p(K)). On d´efinit l’application ϕA canoniquement associ´ee `aApar :
ϕA: Rp→Rn ;
x1
... xp
7→A
x1
... xp
.
L’applicationϕAest lin´eaire.
Preuve du th´eor`eme 1
Th´eor`eme 2 (image du neutre par une application lin´eaire)
SoientE et F deuxK-espaces vectoriels. Soitϕ: E→F une application. Alors on a : ϕlin´eaire =⇒ ϕ(0E) = 0F.
Preuve du th´eor`eme 2
Exemple 2 :Soitϕl’application d´efinie par :
ϕ:R3→R2;
x y z
7→
x+y x+z+ 1
.
Commeϕ(0R3) = 0
1
6= 0R2, l’applicationϕn’est pas lin´eaire.
D´efinition (endomorphisme et isomorphisme) 1. SoitE unK-espace vectoriel.
Un endormorphisme deE est une application lin´eaire deE dansE.
2. Soient E etF deuxK-espaces vectoriels. Soitϕ:E→F une application.
On dit queϕest un isomorphisme deE dansF si ϕest lin´eaire et bijective.
Notations
1. Soient E etF deuxK-espaces vectoriels. On pose
L(E, F) = ensemble des applications lin´eaires deE dansF . 2. SoitE unK-espace vectoriel. On pose
L(E) = ensemble des endomorphismes deE.
Th´eor`eme 3 (op´erations sur les applications lin´eaires) SoientE,F etGtroisK-espaces vectoriels.
1. Soient f, g∈ L(E, F). Alors l’application
f+g: E→F ; u7→f(u) +g(u) est lin´eaire, i.e.f +g∈ L(E, F).
2. Soitf ∈ L(E, F) et soitλ∈K. Alors l’application
λ f:E→F ; u7→λ f(u) est lin´eaire, i.e.λ f ∈ L(E, F).
3. Soitf ∈ L(E, F) et soitg∈ L(F, G). Alors l’application
g◦f:E→G; u7→g(f(u)) est lin´eaire, i.e.g◦f ∈ L(E, G).
4. Soitf ∈ L(E, F) bijective, i.e.f est un isomorphisme deE dansF. Alors l’application f−1:F →E; v7→l’unique solution de l’´equationf(u) =v d’inconnueu∈E est lin´eaire, i.e.f−1∈ L(F, E).
Preuve de la propri´et´e 3. du th´eor`eme 3 Exemple 3 : Soitϕl’application d´efinie par :
ϕ: R2→R2; x
y
7→
x−y x+y
.
1. Montrer queϕest l’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matriceA∈ M2(R).
2. Montrer queϕest un isomorphisme deR2 dansR2. 3. D´eterminer l’applicationϕ−1.
4. Montrer queϕ−1est l’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matriceB∈ M2(R).
5. Quel lien unitAetB?
Th´eor`eme 4 (structure canonique deK-espace vectoriel surL(E, F))
SoientE et F deuxK-espaces vectoriels. L’ensembleL(E, F) muni des deux applications a:L(E, F)× L(E, F)→ L(E, F) ; (f, g)7→f +g
et
m: K× L(E, F)→ L(E, F) ; (λ, f)7→λ f (qui sont bien d´efinies d’apr`es le th´eor`eme 3) est unK-espace vectoriel.
Exemple 4
1. L’ensembleL(R2, R3[X]) poss`ede une structure canonique deR-espace vectoriel.
2. Plus g´en´eralement, le th´eor`eme 4 permet de construire de nouveaux espaces vectoriels `a partir de ceux d´ej`a introduits auparavant (commeRn, Rn[X],F(I,R),S(N,R)).
2 Noyau et image d’une application lin´ eaire
D´efinition (noyau et image d’une application lin´eaire)
SoientE et F deuxK-espaces vectoriels. Soitϕ : E→F une application lin´eaire.
1. Le noyau Ker(ϕ) est le sous-ensemble deEd´efini par :
Ker(ϕ) ={u∈E : ϕ(u) = 0F}.
2. L’image deϕest le sous-ensemble deF d´efini par :
Im(ϕ) ={ϕ(u) : u∈E}.
Th´eor`eme 5 (noyau et injectivit´e, image et surjectivit´e)
SoientE et F deuxK-espaces vectoriels. Soitϕ : E→F une application lin´eaire.
1. L’applicationϕest injective si et seulement si Ker(ϕ) ={0E}.
2. L’applicationϕest surjective si et seulement si Im(ϕ) =F.
Preuve du th´eor`eme 5
Th´eor`eme 6 (structures du noyau et de l’image)
SoientE et F deuxK-espaces vectoriels. Soitϕ : E→F une application lin´eaire.
1. Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel deE.
2. Im(ϕ) est un sous-espace vectoriel deF. Preuve du th´eor`eme 6
Exemple 5 : SoitA=
1 2 1
1 0 −1
1 2 1
.Soit
ϕA: R3→R3;
x y z
7→A
x y z
l’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a A.
1. D´eterminer une base du noyau deϕA. Qu’en d´eduire quant `a l’injectivit´e deϕA? 2. D´eterminer une base de l’image deϕA. Qu’en d´eduire quant `a la surjectivit´e deϕA?
Remarque 2 :SoientE etF deuxK-espaces vectoriels. Soitϕ :E→F une application lin´eaire. D´eterminer le noyau deϕrevient `a r´esoudre l’´equation
ϕ(u) = 0F
d’inconnueu∈E.
Quand E = Rp et F = Rn (p, n ∈ N∗), d´eterminer le noyau de ϕ revient `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire homog`ene, comme on l’a vu dans l’exemple 5.
Mais d´eterminer un noyau, en g´en´eral, peut conduire `a r´esoudre des ´equations d’autres natures, comme des
´
equations diff´erentielles par exemple.
Th´eor`eme 7 (famille g´en´eratrice de l’image)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit (e1, e2. . . , ep) une famille g´en´eratrice finie de E (par exemple une base deE). SoitF unK-espace vectoriel. Soitϕ:E→F une application lin´eaire.
Alors (ϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(ep)) est une famille g´en´eratrice de Im(ϕ), i.e. : Im(ϕ) = Vect(ϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(ep)).
Preuve du th´eor`eme 7
♥ Remarque 3 (noyau et image d’une application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matrice) Soientn, p∈N∗. SoitA∈ Mn,p. Soit
ϕA:Rp→Rn;
x1
... xp
7→A
x1
... xp
l’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a A.
1. Ker(ϕA) est l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire homog`eneA
x1
... xp
= 0Rn d’inconnue
x1
... xp
∈Rp. 2. On note (e1, e2, . . . , ep) la base canonique deRp. D’apr`es le th´eor`eme 7, on a :
Im(ϕA) = Vect(ϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(ep)).
Comme pour touti∈J1, pK:
ϕ(ei) =i-`eme colonne deA on voit que :
Im(ϕA) est le sous-espace vectoriel deRn engendr´e par les vecteurs colonnes de la matriceA.
Par exemple, si A =
1 1 0 0 1 1 1 1 0
alors Im(ϕA) = Vect
1 0 1
,
1 1 1
,
0 1 0
. On peut en d´eduire
que
1 0 1
,
0 1 0
est une base de Im(ϕA), en extrayant une base de la famille g´en´eratrice de Im(ϕA) pr´ec´edemment obtenue.
Exemple 6 : Soitϕ:R2[X]→R2[X] ; P 7→P0. 1. Montrer queϕest bien d´efinie.
2. Montrer queϕest lin´eaire.
3. D´eterminer une base de Ker(ϕ).
4. D´eterminer une base de Im(ϕ).
3 Matrices versus applications lin´ eaires : un exemple
Notations :On noteE= (e1, e2, e3) la base canonique deR3 etF= (f1, f2) la base canonique deR2.
3.1 Matrice associ´ ee ` a une application lin´ eaire relativement aux bases E et F
Notation :Dans cette section, on noteϕl’application lin´eaire d´efinie par :
ϕ:R3→R2;
x y z
7→
x+ 2y+z
−x+y+ 7z
.
On commence par calculer les coordonn´ees deϕ(e1), ϕ(e2), ϕ(e3) dans la baseF.
ϕ(e1) = 1
−1
= 1 f1+ −1 f2
ϕ(e2) = 2
1
= 2 f1+ 1 f2
ϕ(e3) = 1
7
= 1 f1+ 7 f2.
D´efinition (matrice de ϕrelativement aux bases E et F)
La matrice deϕrelativement aux basesE etF, not´ee Mat(ϕ,E,F), est la matrice 2×3 dont lai-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees deϕ(ei) dans la baseF (i∈J1,3K). On a donc :
Mat(ϕ,E,F) =
1 2 1
−1 1 7
.
Th´eor`eme 8 (la connaissance de Mat(ϕ,E,F)permet de retrouver ϕ) Soitu∈R3 et soit
x y z
ses coordonn´ees dans la baseE. Alors les coordonn´ees deϕ(u) dans la base F sont donn´ees par Mat(ϕ,E,F)
x y z
.
Preuve du th´eor`eme 8
Exemple 7 :Les coordonn´ees de ϕ(e1+ 3e2−e3) sont :
Mat(ϕ,E,F)
1 3
−1
=
1 2 1
−1 1 7
1 3
−1
= 6
−5
.
Par suite,ϕ(e1+ 3e2−e3) = 6 f1+ −5 f2.
3.2 Application lin´ eaire associ´ ee ` a une matrice relativement aux bases E et F
Notation :Soit la matrice A=
1 2 3 4 5 6
.
Propri´et´e/D´efinition (application lin´eaire associ´ee `a A relativement aux basesE et F) L’application
App(A,E,F) : R3 → R2
ude coordonn´ees
x y z
dansE 7→ ϕ(u) de coordonn´eesA
x y z
dansF est lin´eaire. On la nomme application lin´eaire associ´ee `a la matrice Arelativement aux basesE etF.
Remarque 4 :En fait, l’application App(A,E,F) introduite ici n’est autre que l’application not´ee ϕA dans ce qui pr´ec`ede.
Exemple 8 :On se propose de calculer App(A,E,F)(2e1+ 3e2−e3). Les coordonn´ees de 2e1+ 3e2−e3 dans la baseE sont
2 3
−1
. Par d´efinition les coordonn´ees de App(A,E,F)(2e1+ 3e2−e3) dans la baseF sont :
A
2 3
−1
=
1 2 3 4 5 6
2 3
−1
= 5
17
.
On a donc : App(A,E,F)(2e1+ 3e2−e3) = 5 f1+ 17 f2.
3.3 Lien entre les deux constructions pr´ ec´ edentes
La construction
ϕ∈ L(R3,R2);Mat(ϕ,E,F)∈ M2,3(R) se g´en´eralise `a toutes les applications lin´eaires deR2 dansR3.
De mˆeme, la construction
A∈ M2,3(R);App(A,E,F)∈ L(R3,R2) se g´en´eralise `a toutes les matrices deM2,3(R).
Ces g´en´eralisations seront expliqu´ees dans la section suivante. Nous verrons aussi que :
∀ϕ∈ L(R3,R2), App(Mat(ϕ,E,F),E,F) =ϕ et
∀A∈ M2,3(R), Mat(App(A,E,F),E,F) =A.
Autrement dit, une fois des bases deR3 et deR2 fix´ees, les applications lin´eaires de R3dansR2correspondent de fa¸con binuivoque aux matrices 2×3.
L’objectif de la section 4 est de g´en´eraliser et d’approfondir ce lien t´enu entre applications lin´eaires et matrices, entrevu dans cette situation particuli`ere.
4 Matrices versus applications lin´ eaires : cas g´ en´ eral
Notations
• E d´esigne unK-espace vectoriel de dimension finiep∈N∗.
• E = (e1, . . . , ep) est une base deE.
• F d´esigne unK-espace vectoriel de dimension finien∈N∗.
• F = (f1, . . . , fn) est une base deF.
D´efinition (matrice d’une application lin´eaire relativement `a des bases) Soitϕ:E→F une application lin´eaire.
La matrice deϕrelativement aux basesE et F, not´ee Mat(ϕ,E,F), est la matricen×pdont lai-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees deϕ(ei) dans la baseF (i∈J1, pK).
Sch´ematiquement, on a :
Mat(ϕ,E,F) =
ϕ(e1) ϕ(e2) ϕ(ep)
∗ ∗ . . . ∗
∗ ∗ . . . ∗
... ... ...
∗ ∗ . . . ∗
/ f1 / f2
... / fn
Exemple 9
1. Soitϕl’application lin´eaire d´efinie par :
ϕ:R3→R2;
x y z
7→
x+y+z x−y−z
.
Calculer Mat(ϕ, CanR3, CanR2).
2. Soitϕl’application lin´eaire (cf. exemple 6) d´efinie par :
ϕ: R2[X]→R2[X] ; P 7→P0. Calculer Mat(ϕ, CanR2[X]).
3. Soitϕl’application lin´eaire d´efinie par : ϕ:R2→R2;
x y
7→
x+ 3y 2x+ 2y
.
(a) Montrer queF =
f1= 1
1
, f2= 1
0
est une base deR2 et calculer Mat(ϕ, CanR2,F).
(b) Montrer queG=
g1= 1
1
, g2= 3
−2
est une base deR2et calculer Mat(ϕ,G).
Th´eor`eme 9 (la connaissance de Mat(ϕ,E,F)permet de retrouver ϕ) Soitϕ:E→F une application lin´eaire.
Soitu∈E et soit
x1
... xp
ses coordonn´ees dans la baseE. Alors les coordonn´ees
y1
... yn
deϕ(u) dans la base F sont donn´ees par :
y1
... yn
= Mat(ϕ,E,F)
x1
... xp
.
Preuve du th´eor`eme 9 :Analogue `a celle du th´eor`eme 8.
Propri´et´e/D´efinition (application lin´eaire associ´ee `a une matrice relativement aux basesE et F) SoitA∈ Mn,p(K). L’application
App(A,E,F) : E → F
ude coordonn´ees
x1
... xp
dansE 7→ ϕ(u) de coordonn´eesA
x1
... xp
dansF est lin´eaire. On la nomme application lin´eaire associ´ee `a la matrice Arelativement aux basesE etF.
Preuve du caract`ere lin´eaire de App(A,E,F) Exemple 10 :SoitA=
1 1 0 0 1 2
.Expliciter l’application lin´eaire App(A, CanR2[X], CanR2) :R2[X]→R2.
Th´eor`eme 10 (Mat(·,E,F)et App(·,E,F) sont des bijections r´eciproques l’une de l’autre) Les applications
Mat(·,E,F) :L(E, F)→ Mn,p(K) ; ϕ7→Mat(ϕ,E,F) et App(·,E,F) :Mn,p(K)→ L(E, F) ; A7→App(A,E,F) sont des bijections r´eciproques l’une de l’autre, i.e. :
∀ϕ∈ L(E, F), App(Mat(ϕ,E,F),E,F) =ϕ et
∀A∈ Mn,p(K), Mat(App(A,E,F),E,F) =A.
Remarque 5 : D’apr`es le th´eor`eme 10, on peut identifier application lin´eaires deE dans F et matrices de taillen×p, une fois que l’on a choisi une base de Eet une base deF.
♥ Th´eor`eme 11 (applications lin´eaires, matrices et op´erations sur icelles) 1. Addition
(a) ∀ϕ, ψ ∈ L(E, F), Mat(ϕ+ψ,E,F) = Mat(ϕ,E,F) + Mat(ψ,E,F).
(b) ∀A, B∈ Mn,p(K), App(A+B,E,F) = App(A,E,F) + App(B,E,F).
2. Multiplication par un scalaire
(a) ∀ϕ ∈ L(E, F), ∀λ∈K, Mat(λ ϕ,E,F) =λMat(ϕ,E,F).
(b) ∀A∈ Mn,p(K), ∀λ∈K, App(λ A,E,F) =λApp(A,E,F).
3. Compos´ee d’applications lin´eaires et produit matriciel
SoitGunK-espace vectoriel de dimensionm∈N∗ et soitG= (g1, . . . , gm) une base deG.
(a) ∀ϕ∈ L(E, F), ∀ψ∈ L(F, G), Mat(ψ◦ϕ,E,G) = Mat(ψ,F,G) ×Mat(ϕ,E,F).
(b) ∀A∈ Mn,p(K), ∀B∈ Mm,n(K), App(B×A,E,G) = App(B,F,G)◦ App(A,E,F).
4. Isomorphisme et application inversible
On suppose ici quep=n, i.e. queE etF ont mˆeme dimension. La matrice Mat(ϕ,E,F) est donc carr´ee.
(a) Soitϕ∈ L(E, F). On a :
ϕisomorphisme ⇐⇒ Mat(ϕ,E,F) inversible.
De plus, siϕest un isomorphisme, on a :
Mat(ϕ−1,F,E) = (Mat(ϕ,E,F))−1. (b) SoitA∈ Mn,p(K). On a :
A inversible ⇐⇒ App(A,E,F) isomorphisme.
De plus, siAest inversible, on a :
App(A−1,F,E) = (App(A,E,F))−1.
Remarque 6
1. Grˆace aux propri´et´es 1. et 2., on peut pr´eciser la conclusion du th´eor`eme 10 : les applications Mat(·,E,F) et App(·,E,F) sont des isomorphismes r´eciproques l’un de l’autre.
2. La propri´et´e 3. est fondamentale. Elle motive la d´efinition du produit matriciel pr´ec´edemment introduite.
Exemple 11
1. Soient les applications lin´eaires ϕ:R3→R2;
x y z
7→
x+y+z 2x−3y−z
et ψ:R2→R2; x
y
7→
x−y x+ 2y
.
Calculer Mat(ψ◦ϕ, CanR3, CanR2).
2. Soitϕl’application lin´eaire d´efinie par : ϕ:R2→R2;
x y
7→
2x−3y x+ 2y
. (a) Prouver que Mat(ϕ, CanR2, CanR2) est inversible et calculer son inverse.
(b) En d´eduire queϕest un isomorphisme.
(c) Identifier Mat(ϕ−1, CanR2, CanR2), puis expliciterϕ−1.
5 Applications lin´ eaires et th´ eorie de la dimension
Th´eor`eme 12 (th´eor`eme du rang)
SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie. Soit F unK-espace vectoriel. Soitϕ: E→F une application lin´eaire.
On la relation fondamentale :
dim(Ker(ϕ)) + dim(Im(ϕ)) = dim(E).
Exemple 12 :Soitϕ:R2[X]→R3 l’application d´efinie par :
ϕ:R2[X]→R3; P 7→
P(−1)
P(0) P(1)
.
1. Montrer queϕest lin´eaire.
2. Montrer que Ker(ϕ) ={0R2[X]}.
3. En d´eduire que Im(ϕ) =R3, grˆace au th´eor`eme du rang.
4. Que peut-on alors dire deϕ?
Th´eor`eme 13 (crit`ere d’isomorphie en dimension finie) SoientE et F deuxK-espace vectoriels de dimension finie, tels que :
dim(E) = dim(F).
Alors pour toute application lin´eaireϕ:E→F, on a :
ϕinjectif ⇐⇒ ϕsurjectif
⇐⇒ ϕbijectif.
♥ Preuve du th´eor`eme 13
Exemple 13 :Soitϕ:R2[X]→R3 l’application d´efinie par :
ϕ:R2[X]→R3; P 7→
P(0) P0(0) P00(0)
.
1. Montrer queϕest lin´eaire.
2. D´eterminer Im(ϕ).
3. En d´eduire queϕest un isomorphisme.
6 Rang d’une application lin´ eaire et rang d’une matrice
6.1 Rang d’une application lin´ eaire
D´efinition (rang d’une application lin´eaire) : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit ϕ:E →F une application lin´eaire.
On suppose que Im(ϕ) est de dimension finie (hypoth`ese qui est v´erifi´ee siE ouF est de dimension finie).
On d´efinit le rang deϕ, not´e rg(ϕ), par :
rg(ϕ) = dim(Im(ϕ)).
Remarque 7 : On se replace dans le contexte de l’´enonc´e du th´eor`eme du rang. Ce th´eor`eme se reformule comme suit :
dim(Ker(ϕ)) + rg(ϕ) = dim(E) d’o`u le nom attribu´e `a ce th´eor`eme.
6.2 Rang d’une matrice
D´efinition (rang d’un matrice) :Soient n, p∈N∗. SoitA∈ Mn,p(K).
Le rang de la matriceA, not´e rg(A), est d´efini comme ´etant le rang du syst`eme lin´eaire :
A
x1
... xp
= 0Rn.
Remarque 8 :On rappelle que le rang d’un syst`eme lin´eaire se calcule en l’´echelonnant, `a l’aide de l’algorithme du pivot de Gauß.
Exemple 14 :Montrer que le rang de la matrice A=
1 1 0 2 1 1 3 1 2
vaut 2.
Th´eor`eme 14 (propri´et´es du rang d’une matrice) 1. Soient n, p∈N∗. SoitA∈ Mn,p(K).
(a) On a les deux in´egalit´es suivantes :
rg(A)≤n et rg(A)≤p.
(b) On a :
rg(A) = rg(tA) o`u tAd´esigne la transpos´ee de A.
2. Soitn∈N∗. SoitAune matrice carr´ee de taillen×n. Alors on a le crit`ere d’inversibilit´e suivant : Ainversible ⇐⇒ rg(A) =n.
Remarque 9 : La propri´et´e 1.(b) du pr´ec´edent th´eor`eme a la cons´equence suivante. Pour calculer le rang d’une matrice, on peut aussi effectuer des op´erations ´el´ementaires sur les colonnes.
Exemple 15 :Calculer le rang de la matrice
1 2 1 0
2 1 1 2
3 0 1 4
4 1 1 4
5 3 1 3
.
6.3 Rang d’une application lin´ eaire versus rang d’une matrice
Th´eor`eme 15 (lien entre rang d’application lin´eaire et rang de matrice)
SoitE unK-espace vectoriel de dimension p∈N∗ et soitE = (e1, . . . , ep) une base de E. Soit F unK-espace vectoriel de dimensionn∈N∗ et soitF= (f1, . . . , fn) une base deF. Soitϕ:E→F une application lin´eaire.
Alors on a :
rg(ϕ) = rg(Mat(ϕ,E,F)).
Exemple 16 :D´eterminer le rang de l’application lin´eaire
ϕ:R4→R5;
x + 2y + z
2x + y + z + 2t
3x + z + 4t
4x + y + z + 4t
5x + 3y + z + 3t
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