Rappeler une d´efinition de la norme d’une application lin´eaire continue T ∈ L(E), qu’on note kTkL(E)

D´epartement MIDO - L3 - Ann´ee 2017-2018 Topologie et Analyse fonctionnelle.

Partiel du 16 Mars 2018. Dur´ee : deux heures.

• Les t´el´ephones portables, calculatrices et documents sont interdits.

• La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements inter- viendront de fa¸con importante dans l’appr´eciation des copies.

• Dans ce sujet, on ne consid`ere que desIR-espaces vectoriels, des espaces de fonctions `a valeurs r´eelles, et des espaces de suites r´eelles.

• Certaines questions peuvent sembler difficiles, mais on peut admettre les r´esultats d’une ou plusieurs questions pour passer `a la suite.

Exercice 1 :

Soit (E,k · k) un espace vectoriel norm´e. On note L(E) l’espace des applica- tions lin´eaires continues de E dans lui-mˆeme.

1. Rappeler une d´efinition de la norme d’une application lin´eaire continue T ∈ L(E), qu’on note kTk_L(E).

2. Montrer que si (T, S)∈ L(E)², alors

kT ◦SkL(E)≤ kTkL(E)kSkL(E).

3. Supposons queE 6={0} et qu’il existe u, v ∈ L(E) telles que u◦v−v◦u=I_E

avec IE l’application identit´e de E. On note v⁰ = IE, et, pour tout entier n ≥1, on notevⁿ=v◦ · · · ◦v la compos´ee de n copies de v.

(a) Montrer que pour tout entier n≥0,

u◦vⁿ⁺¹−vⁿ⁺¹◦u= (n+ 1)vⁿ.

(b) En d´eduire l’existence d’un entier n₀ ≥0 tel que vⁿ⁰ = 0.

Indication : utiliser la norme k · kL(E) et prendren₀ assez grand.

(c) En utilisant les r´esultats des deux questions pr´ec´edentes, montrer que pour tout entier n ∈ [0, n₀], vⁿ = 0 (on pourra proc´eder par r´ecurrence descendante sur n). Que peut-on en conclure ?

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Exercice 2 : Soit 1≤p < +∞, et Ω un ouvert de IR^dmuni de la mesure de Lebesgue.

1. Soient h : Ω → IR mesurable, H ∈ L^p(Ω), et (h_n)n∈IN une suite `a valeurs dans L^p(Ω) telle que

(i) hn(x) →

n→+∞h(x) p.p. sur Ω,

(ii) ∀n∈IN,|h_n(x)| ≤H(x) p.p. sur Ω.

(a) Montrer que h appartient `a L^p(Ω).

(b) Prouver queh_n →

n→+∞hdansL^p(Ω).On utilisera sans la d´emontrer l’in´egalit´e suivante : ∀(a, b)∈IR² , |a−b|^p ≤2^p−1(|a|^p+|b|^p).

(c) Cette conclusion demeurerait-elle vraie si l’on prenait p= +∞? 2. Application. Soient f ∈ L^p(Ω), g ∈ L^∞(Ω), (f_n)n∈IN une suite `a va-

leurs dans L^p(Ω) et (g_n)n∈IN une suite `a valeurs dans L^∞(Ω), telles que

(j) f_n →

n→+∞f dans L^p(Ω), (jj) g_n →

n→+∞g p.p. sur Ω,

(jjj) ∃C ≥0,∀n∈IN,kgnk∞≤C.

(a) Prouver `a l’aide de la question 1. que (gn−g)f →

n→+∞0 dansL^p(Ω).

(b) En d´eduire que f_ng_n →

n→+∞f g dans L^p(Ω).

Exercice 3 :

On dit qu’un espace vectoriel norm´e (E,k · k) est uniform´ement convexe lorsque, pour tout >0, il existe δ >0 tel que, pour tous x, y dans E :

(kxk ≤1 et kyk ≤1 et kx−yk ≥)⇒

x+y 2

≤1−δ .

1. Dessiner la boule unit´e de IR² pour la norme k · k₂ et dire, d’apr`es ce dessin, si (IR²,k·k₂) est ou non uniform´ement convexe (on ne demande pas de justifier). Mˆeme question pour (IR²,k · k∞).

2. L’espaceE = l²(IN), muni de sa norme naturellekak₂ = (P

n≥0a²_n)^1/2, est-il uniform´ement convexe ? Mˆeme question pour l’espace de Banach c₀(IN) des suites r´eelles a = (a_n)n≥0 qui convergent vers 0, muni de la norme kak_c0 = sup{|a_n| ; n ≥ 0}. Ici, contrairement `a la question pr´ec´edente, on demande des preuves.

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3. Soituune forme lin´eaire continue sur un espace de Banach uniform´e- ment convexe (E,k · k). On noterakuk_∗ la norme deu dans L(E, IR).

(a) Justifier l’existence d’une suite (x_k)k≥0 d’´el´ements de E telle que kx_kk= 1 et u(x_k)→ kuk∗ quand k → ∞.

(b) Montrer que (x_k) est une suite de Cauchy dansE.

(c) En d´eduire l’existence d’un vecteur x ∈ E tel que kxk = 1 et u(x) = kuk∗.

4. On d´efinit la forme lin´eaireusur l’espace de Banach (c₀(IN),k·k_c0), par la formule u(a) =P

n≥02⁻ⁿa_n. Montrer queu est continue mais qu’il n’existe pas de vecteur a ∈ c₀(IN) tel que kak_c0 = 1 et u(a) = kuk_∗. Commenter ce r´esultat.

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