Montrer queϕnest lin´eaire et continue et calculer sa norme

Universit´e de Lille Master 1 Math´ematiques

M402 Analyse 27 septembre 2018

Feuille 4

Exercice 1

On note `<sup>2</sup>(N) l’ensemble des suites de nombres complexes de carr´e som- mable. Soit (an) une suite de nombres complexes telle que pour toute suite (b<sub>n</sub>)∈`²(N), la s´erie P

a_nb_n converge.

1. Pour n∈N, on d´efinit sur`²(N), l’application

ϕ_n:b= (b_n)−→

n

X

k=0

a_kb_k.

Montrer queϕ_nest lin´eaire et continue et calculer sa norme.

2. En d´eduire que (a_n)∈`²(N).

Exercice 2

Montrer la version suivante du th´eor`eme de Banach-Steinhauss : si E est un espace de Banach, F un espace vectoriel norm´e et (ϕα)α∈A une famille d’applications lin´eaires continues deE dans F, alors

(i) ou bien sup_αkϕ_αk<+∞,

(ii) ou bien{x: sup_αkϕ_α(x)k= +∞}est dense dansE.

Indication : on pourra supposer que (ii) n’est pas satisfaite et introduire

Fn={x: sup

α

kϕ_α(x)k ≤n}.

Exercice 3

Soit (E,k · k) un espace de Banach. SoientF₁ etF₂ deux sous-espaces ferm´es de E. On suppose que la somme F1+F2 ={x₁+x2 :xi ∈Fi, i= 1,2} est ferm´ee.

1. V´erifier que si on poseN((x1, x2)) =kx₁k+kx₂k, alors (F₁×F2, N) est complet.

2. Que peut-on dire de l’applicationϕ: (x₁, x₂)−→x₁+x₂surF₁×F₂? 3. En d´eduire qu’il existe une constante C telle que pour tout z de F₁ +F₂, il existe x₁ dans F₁ et x₂ dans F₂ avec : z = x₁+x₂ et kx_ik ≤Ckzk,i= 1,2.

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Exercice 4

On noteE l’espace des fonctions continues deI = [0,1] dansR, muni de la norme uniformekfk_∞= sup_x∈I|f(x)|. SoitGun sous-espace vectoriel deE.

On suppose queGest ferm´e dans (E,k · k_∞), et contenu dansF =C¹(I,R) (l’espace des applications de classeC¹ deI dansR). Le but de l’exercice est alors de montrer que Gest de dimension finie.

1. Montrer queF n’est pas ferm´e dansE.

2. Pourf ∈F, on posekfk=kfk_∞+kf⁰k_∞. Les normesk · k_∞ etk · k sont-elles ´equivalentes sur F?

3. Montrer queGest ferm´e dans (F,k · k).

4. Montrer quek·k_∞etk·ksont ´equivalentes surG`a l’aide du th´eor`eme d’isomorphisme de Banach.

5. En utilisant le th´eor`eme d’Ascoli, montrer que la boule unit´e ferm´ee de Gpour la norme k · k_∞ est un compact de (E,k · k_∞).

6. Conclure `a l’aide du th´eor`eme de Riesz.

Exercice 5

Soit 1 ≤ p et ϕ = (ϕn)n une suite de nombres complexes telle que pour toute suite a∈`<sup>p</sup>, on a ϕ·a∈`^p, o`u on note ϕ·a= (ϕ_na_n)_n.

1. Montrer que l’applicationT :`<sup>p</sup> −→ `^p, d´efini par T(a) =ϕ·a, est lin´eaire et continue.

2. En d´eduire que ϕ∈`^∞.

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