Alg`ebre lin´eaire 1`ereann´ee S´ERIE 9 le 19 d´ecembre 2005
L’exercice 6 est `a rendre le 9 janvier au d´ebut de la s´eance d’exercices.
1. (a) Soit D : P(F) → P(F) l’application lin´eaire d´efinie par D(tn) = ntn−1 pour tout n≥0. Montrer queDposs`ede un inverse `a droite, ce qui signifie queDest surjective.
(b) Soit T :Pn(F)→Fn+1 l’application d´efinie par
T p= (p(0),(Dp)(0),(D2p)(0), . . . ,(Dnp)(0)),
o`u Dk=D◦ · · · ◦D (kfois). Montrer que T est lin´eaire et trouver un inverse.
(c) SoientV etW des espaces vectoriels. Soit (x1, . . . , xn) une base deV. Consid´erons F :F({x1, . . . , xn}, W)→L(span(x1, . . . , xn), W),
l’application qui envoie chaque applicationf :{x1, . . . , xn} →W a son unique exten- sion lin´eaire. Montrer que F est lin´eaire et trouver un inverse deF.
2. Trouver un isomorphismeL(V,F)→V.
3. Soient V et W deux espaces vectoriels sur F. On note V ×W le produit cart´esien usuel.
On d´efinit une multiplication scalaire deF surV ×W par a(~v, ~w) = (a~v, a ~w) ∀a∈F, ~v∈V, ~w∈W, et une addition vectorielle dansV ×W par
(~v1, ~w1) + (~v2, ~w2) = (~v1+~v2, ~w1+w~2).
(a) Montrer queV ×W, muni des deux op´erations ci-dessus, est bien un espace vectoriel surF.
(b) Montrer queFn=F1× · · · ×F1 (n fois).
(c) On d´efinit les projections,PV :V ×W →V etPW :V ×W →W, parPV(~v, ~w) =~v etPW(~v, ~w) =w. Montrer que~ PV etPW sont des surjections lin´eaires.
4. Soit T :V →W une application lin´eaire.
(a) Montrer que l’application T] : L(U, V) → L(U, W) d´efinie par T](S) = T ◦S pour toute S∈L(U, V) est lin´eaire.
(b) Montrer que l’application T] :L(W, Z) → L(V, Z) d´efinie par T](S) = S◦T pour toute S∈L(W, Z) est lin´eaire.
5. SoientV,W1 etW2 des espaces vectoriels surF. Pouri= 1,2 on notePi:W1×W2 →Wi la projection.
(a) ´Etant donn´e des applications lin´eaires T1 : V → W1 et T2 : V → W2, d´efinir une application T :V → W1×W2 par T(v) = (T1(v), T2(v)) pour tout v ∈V. Montrer queT est lin´eaire, et quePi◦T =Ti pour i= 1,2.
(b) Construire un isomorphisme ϕ:L(V, W1×W2)→L(V, W1)×L(V, W2).
6. SoientV1,V2etW des espaces vectoriels. Pouri= 1,2 on noteJi:Vi →V1⊕V2l’inclusion.
(a) ´Etant donn´e des applications lin´eaires T1 : V1 → W et T2 : V2 → W, d´efinir une application T : V1 ⊕V2 → W par T(v1+v2) = T1(v1) +T2(v2) pour tout v1 ∈ V1, v2∈V2. Montrer queT est lin´eaire et queT ◦Ji=Ti pouri= 1,2.
(b) Construire un isomorphisme θ:L(V1⊕V2, W)→L(V1, W)×L(V1, W).
