Recherche Op´erationnelle 1A Programmation Lin´eaire R´esolution d’un Programme Lin´eaire

Recherche Op´erationnelle 1A Programmation Lin´eaire

R´esolution d’un Programme Lin´eaire

Zolt´an Szigeti

Exo 8.1.

Enonc´e´

On consid`ere le programme lin´eaire:

1x₁+ 1x₂−1x₃= 2 1x₁−1x₂+ 1x₃= 2 x₁, x₂, x₃≥0 2x₁+ 3x₂+ 4x₃=w(min) On poseJ ={1, 2}.

(a) Montrer que J est une base r´ealisable.

(b) Montrer que la solution de base est optimale.

Exo 8.1.

Solution

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base :

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−2

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable :

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable : x_J

x_J

=

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable : x_J

x_J

=



 2 0 0





Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable : x_J

x_J

=



 2 0 0



 ≥0.

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable : x_J

x_J

=



 2 0 0



 ≥0.

3 w = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃= 4.

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable : x_J

x_J

=



 2 0 0



 ≥0.

3 w = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃= 4.

(b) En consid´erant x₃ comme constante, on obtient

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable : x_J

x_J

=



 2 0 0



 ≥0.

3 w = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃= 4.

(b) En consid´erant x₃ comme constante, on obtient



 x₁ x₂ x₃



=



 2 x₃ x₃



 et w(min)

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable : x_J

x_J

=



 2 0 0



 ≥0.

3 w = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃= 4.

(b) En consid´erant x₃ comme constante, on obtient



 x₁ x₂ x₃



=



 2 x₃ x₃



 et w(min) = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable : x_J

x_J

=



 2 0 0



 ≥0.

3 w = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃= 4.

(b) En consid´erant x₃ comme constante, on obtient



 x₁ x₂ x₃



=



 2 x₃ x₃



 et w(min) = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃ = 4 + 7x₃

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable : x_J

x_J

=



 2 0 0



 ≥0.

3 w = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃= 4.

(b) En consid´erant x₃ comme constante, on obtient



 x₁ x₂ x₃



=



 2 x₃ x₃



 et w(min) = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃ = 4 + 7x₃ ≥4,

Exo 8.1.

Solution

(a) ^{1 J}={1, 2}est une base : det(A^J) =det

1 1 1 −1

=−26= 0.

2 J={1, 2}est r´ealisable : x_J

x_J

=



 2 0 0



 ≥0.

3 w = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃= 4.

(b) En consid´erant x₃ comme constante, on obtient



 x₁ x₂ x₃



=



 2 x₃ x₃



 et w(min) = 2x₁+ 3x₂+ 4x₃ = 4 + 7x₃ ≥4, donc

2

Solution d’un PL : M´ethode graphique

Exemple 2x₁+ 1x₂ ≤8 1x₁+ 2x₂ ≤7 x₂ ≤3 x₁, x₂≥0 4x₁+ 5x₂ =z(max)

Solution d’un PL : M´ethode graphique

Exemple 2x₁+ 1x₂ ≤8 1x₁+ 2x₂ ≤7 x₂ ≤3 x₁, x₂≥0 4x₁+ 5x₂ =z(max)

x₂✻

4x₁+ 5x₂=z(max)

✲

Solution d’un PL : M´ethode graphique

Exemple 2x₁+ 1x₂ ≤8 1x₁+ 2x₂ ≤7 x₂ ≤3 x₁, x₂≥0 4x₁+ 5x₂ =z(max)

x₂✻

4x₁+ 5x₂=z(max)

✲

Solution Optimale

Solution d’un PL : M´ethode graphique

Exemple 2x₁+ 1x₂ ≤8 1x₁+ 2x₂ ≤7 x₂ ≤3 x₁, x₂≥0 4x₁+ 5x₂ =z(max)

x₂✻

4x₁+ 5x₂=z(max)

✲

Solution Optimale 2x₁+ 1x₂ = 8 1x + 2x = 7

Solution d’un PL : M´ethode graphique

Exemple 2x₁+ 1x₂ ≤8 1x₁+ 2x₂ ≤7 x₂ ≤3 x₁, x₂≥0 4x₁+ 5x₂ =z(max)

x₂✻

4x₁+ 5x₂=z(max)

✲

Solution Optimale 2x₁+ 1x₂ = 8 1x + 2x = 7

It´eration du simplexe

Entr´ee : Un PL sous forme standard par rapport `a une base r´ealisableJ. I·x_J+A_J ·x_J =b

x_J, x

J ≥0 c^T

J ·x_J =z(max)

It´eration du simplexe

Entr´ee : Un PL sous forme standard par rapport `a une base r´ealisableJ. I·x_J+A_J ·x_J =b

x_J, x

J ≥0 c^T

J ·x_J =z(max)

Sortie : Une et une seule des trois possibilit´es suivantes:

La solution de base ^x_x^J

J

= ^b₀

est une solution optimale.

Il n’y a pas de solution optimale born´ee.

Une meilleure base r´ealisable.

It´eration du simplexe

Entr´ee : Un PL sous forme standard par rapport `a une base r´ealisableJ. I·x_J+A_J ·x_J =b

x_J, x

J ≥0 c^T

J ·x_J =z(max)

1 Soit s ∈J pour lequelc_s = max{c_i :i ∈J}.

2 Si c_s ≤0 arr^eter. (la solution de base est optimale.)

3 Si A^s_i ≤0∀ 1≤i ≤m arr^eter. (z(max) =∞.)

4 Sinon soitr tel que _A^brs

r = min{_A^bis

i : 1≤i ≤m tel queA^s_i >0}.

5 Pivoter `a A^s_r etarr^eteravec la nouvelle baseJ^′ =J+s−r.

s

EXO. 8.2.

Enonc´e´

Une assurance traite deux types de dossier :

A - des sinistres, qu’on consid`ere commedeuxfois plus importants que B - les garanties d´ecennales.

Chaque demande doit passer par trois sections I, IIet III qui disposent de80,80,120 heures par semaine respectivement.

Les dossiers de type A demandent5,8 et12 heures de traitement dans les sections respectivement et

les dossiers de type B : 8,4,4heures de traitement.

(a) Mettre sous la forme d’un programme lin´eaire le probl`eme de la maximisation du nombre de dossiers trait´es. Comment tenir compte

EXO. 8.2.

Solution (a)

EXO. 8.2.

Solution (a)

1 Tableau de donn´ees :

Dossier A B temps disponible

I 5 8 80

II 8 4 80

III 12 4 120

Importance 2 1

EXO. 8.2.

Solution (a)

1 Tableau de donn´ees :

Dossier A B temps disponible

I 5 8 80

II 8 4 80

III 12 4 120

Importance 2 1

2 Il s’agit d’un probl`eme de production, le PL est donc :

EXO. 8.2.

Solution (a)

1 Tableau de donn´ees :

Dossier A B temps disponible

I 5 8 80

II 8 4 80

III 12 4 120

Importance 2 1

2 Il s’agit d’un probl`eme de production, le PL est donc : 5a+ 8b ≤80

8a+ 4b ≤80 12a+ 4b ≤120

a, b ≥0

EXO. 8.2.

Solution (a)

1 Tableau de donn´ees :

Dossier A B temps disponible

I 5 8 80

II 8 4 80

III 12 4 120

Importance 2 1

2 Il s’agit d’un probl`eme de production, le PL est donc : 5a+ 8b ≤80

8a+ 4b ≤80 12a+ 4b ≤120

a, b ≥0

EXO. 8.2.

Solution (b)

La forme standard du PL est la suivante :

EXO. 8.2.

Solution (b)

La forme standard du PL est la suivante : 5a+ 8b+ 1c = 80 8a+ 4b + 1d = 80 12a+ 4b + 1e = 120

a, b, c, d, e ≥0

2a+ 1b =z(max)−0

EXO. 8.2.

Solution (b)

La forme standard du PL est la suivante : 5a+ 8b+ 1c = 80 8a+ 4b + 1d = 80 12a+ 4b + 1e = 120

a, b, c, d, e ≥0

2a+ 1b =z(max)−0

Forme standard par rapport `a la base r´ealisable J ={3,4,5}.

EXO. 8.2.

Solution (b)

La forme standard du PL est la suivante : 5a+ 8b+ 1c = 80 8a+ 4b + 1d = 80 12a+ 4b + 1e = 120

a, b, c, d, e ≥0

2a+ 1b =z(max)−0

Forme standard par rapport `a la base r´ealisable J ={3,4,5}.

5 8 1 0 0 80

8 4 0 1 0 80

EXO. 8.2.

Solution (b)

La forme standard du PL est la suivante : 5a+ 8b+ 1c = 80 8a+ 4b + 1d = 80 12a+ 4b + 1e = 120

a, b, c, d, e ≥0

2a+ 1b =z(max)−0

Forme standard par rapport `a la base r´ealisable J ={3,4,5}.

5 8 1 0 0 80

8 4 0 1 0 80

0 ¹¹₂ 1 -⁵₈ 0 30 1 ¹₂ 0 ¹₈ 0 10

EXO. 8.2.

Solution (b)

La forme standard du PL est la suivante : 5a+ 8b+ 1c = 80 8a+ 4b + 1d = 80 12a+ 4b + 1e = 120

a, b, c, d, e ≥0

2a+ 1b =z(max)−0

Forme standard par rapport `a la base r´ealisable J ={3,4,5}.

5 8 1 0 0 80

8 4 0 1 0 80

0 ¹¹₂ 1 -⁵₈ 0 30 1 ¹₂ 0 ¹₈ 0 10

EXO. 8.2.

Solution (b)

La forme standard du PL est la suivante : 5a+ 8b+ 1c = 80 8a+ 4b + 1d = 80 12a+ 4b + 1e = 120

a, b, c, d, e ≥0

2a+ 1b =z(max)−0

Forme standard par rapport `a la base r´ealisable J ={3,4,5}.

5 8 1 0 0 80

8 4 0 1 0 80

0 ¹¹₂ 1 -⁵₈ 0 30 1 ¹₂ 0 ¹₈ 0 10

EXO. 8.4.

Enonc´e´

Consid´erons le programme lin´eaire suivant :

−2x₁+ 5x₂ ≤10

−1x₁+ 1x₂ ≤1 x₁, x₂≥0 1x₁+ 2x₂ =z(max)

(a) Utiliser la m´ethode graphique pour chercher une solution optimale du programme lin´eaire.

(b) Ensuite appliquer formellement la m´ethode du simplexe pour le r´esoudre.

EXO. 8.4.

Solution (b)

La forme standard du PL est :

−2x₁+ 5x₂+ 1x₃ = 10

−1x₁+ 1x₂ + 1x₄ = 1 x₁, x₂, x₃, x₄ ≥0 1x₁+ 2x₂ =z(max)

EXO. 8.4.

Solution (b)

La forme standard du PL est :

−2x₁+ 5x₂+ 1x₃ = 10

−1x₁+ 1x₂ + 1x₄ = 1 x₁, x₂, x₃, x₄ ≥0 1x₁+ 2x₂ =z(max) Forme standard par rapport `a la base r´ealisable J ={3,4}.

EXO. 8.4.

Solution (b)

-2 5 1 0 10

-1 1 0 1 1

1 2 0 0 0

EXO. 8.4.

Solution (b)

-2 5 1 0 10

-1 1 0 1 1

1 2 0 0 0

3 0 1 -5 5

-1 1 0 1 1

3 0 0 -2 -2

EXO. 8.4.

Solution (b)

-2 5 1 0 10

-1 1 0 1 1

1 2 0 0 0

3 0 1 -5 5

-1 1 0 1 1

3 0 0 -2 -2

1 0 ¹₃ -⁵₃ ⁵₃ 0 1 ¹₃ -²₃ ⁸₃ 0 0 -1 3 -7

EXO. 8.4.

Solution (b)

-2 5 1 0 10

-1 1 0 1 1

1 2 0 0 0

3 0 1 -5 5

-1 1 0 1 1

3 0 0 -2 -2

1 0 ¹₃ -⁵₃ ⁵₃ 0 1 ¹₃ -²₃ ⁸₃ 0 0 -1 3 -7

EXO. 8.4.

Solution (b)

-2 5 1 0 10

-1 1 0 1 1

1 2 0 0 0

3 0 1 -5 5

-1 1 0 1 1

3 0 0 -2 -2

1 0 ¹₃ -⁵₃ ⁵₃ 0 1 ¹₃ -²₃ ⁸₃ 0 0 -1 3 -7