Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Dualité Interprétation économique, Perturbation des données

(1)

Recherche Op´erationnelle 1A Programmation Lin´eaire

Dualit´e

Interprétation économique, Perturbation des données

Zolt´an Szigeti

Ensimag, G-SCOP

(2)

Dual

En g´en´eral

Primal

A11·x1+A12·x2+A13·x3 ≤b1

A₂₁·x₁+A₂₂·x₂+A₂₃·x₃ =b₂ A31·x1+A32·x2+A33·x3 ≥b3

x1 ≥0, x3 ≤0

c₁^T ·x₁ +c₂^T ·x₂ +c₃^T ·x₃ =z(max)

Dual

y₁^T·A11+y₂^T ·A21+y₃^T·A31≥c₁^T y₁^T·A₁₂+y₂^T ·A₂₂+y₃^T·A₃₂=c₂^T y₁^T·A13+y₂^T ·A23+y₃^T·A33≤c₃^T

y1 ≥0, y3≤0

y₁^T·b₁ +y₂^T ·b₂ +y₃^T·b₃=w(min)

(3)

EXO 10.1.

Enonc´e´

Ecrire le dual du programme lin´eaire suivant:

Primal

3x₁ + 1x₂−2x₃ = 4 1x1 −2x2+ 1x3 ≤1 2x1 + 1x2−1x3 ≥2 x₁≥0,x₂ ≤0

−3x1 −4x2−2x3 =z(max)

(4)

EXO 10.1.

Enonc´e´

Ecrire le dual du programme lin´eaire suivant:

Primal

3x₁ + 1x₂−2x₃ = 4 1x1 −2x2+ 1x3 ≤1 2x1 + 1x2−1x3 ≥2 x₁≥0,x₂ ≤0

−3x1 −4x2−2x3 =z(max)

Solution

Dual

3y1 + 1y2 + 2y3 ≥ −3 1y₁ −2y₂ + 1y₃ ≤ −4

−2y1 + 1y2 −1y3 =−2 y2 ≥0, y3 ≤0

4y₁ + 1y₂ + 2y₃ =w(min)

(5)

EXO 10.2.

Enonc´e´ Montrer que

1

est une solution optimale du programme lin´eaire suivant 3x₁+ 1x₂ ≥4

1x1+ 4x2 ≥5 x1, x2 ≥0 1x₁+ 1x₂ =w(min)

(6)

EXO 10.2.

Solution Primal

3x1+ 1x2 ≥4 1x1+ 4x2 ≥5 x₁, x₂≥0 1x1+ 1x2 =w(min)

(7)

EXO 10.2.

Solution Primal

3x1+ 1x2 ≥4 1x1+ 4x2 ≥5 x₁, x₂≥0 1x1+ 1x2 =w(min)

Dual

(8)

EXO 10.2.

Solution Primal

3x1+ 1x2 ≥4 1x1+ 4x2 ≥5 x₁, x₂≥0 1x1+ 1x2 =w(min)

Dual

3y1+ 1y2 ≤1 1y1+ 4y2 ≤1 y₁, y₂≥0 4y1+ 5y2 =z(max)

(9)

EXO 10.2.

Solution Primal

3x1+ 1x2 ≥4 1x1+ 4x2 ≥5 x₁, x₂≥0 1x1+ 1x2 =w(min)

Dual

3y1+ 1y2 ≤1 1y1+ 4y2 ≤1 y₁, y₂≥0 4y1+ 5y2 =z(max)

1

et y₁

y₂

sont des solutions optimales du primal et du dual⇐⇒

(10)

EXO 10.2.

Solution Primal

3x1+ 1x2 ≥4 1x1+ 4x2 ≥5 x₁, x₂≥0 1x1+ 1x2 =w(min)

Dual

3y1+ 1y2 ≤1 1y1+ 4y2 ≤1 y₁, y₂≥0 4y1+ 5y2 =z(max)

1

et y₁

y₂

1

et y₁

y₂

sont des solutions r´ealisables du primal et du dual et

(11)

EXO 10.2.

Solution Primal

3x1+ 1x2 ≥4 1x1+ 4x2 ≥5 x₁, x₂≥0 1x1+ 1x2 =w(min)

Dual

3y1+ 1y2 ≤1 1y1+ 4y2 ≤1 y₁, y₂≥0 4y1+ 5y2 =z(max)

1

et y₁

y₂

1

et y₁

y₂

sont des solutions r´ealisables du primal et du dual et

2 les conditions des ´ecarts compl´ementaires sont satisfaites.

(12)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

sont des solutions r´ealisables du primal et du dual :

(13)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

est une solution r´ealisable du primal :

(14)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

est une solution r´ealisable du primal : 3·1 + 1·1 = 4

(15)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5

(16)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

(17)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

2 Les conditions des ´ecarts compl´ementaires sont satisfaites :

(18)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

2 Les conditions des ´ecarts compl´ementaires sont satisfaites : siy_i>0 alorsai·x =bi,

(19)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

2 Les conditions des écarts complémentaires sont satisfaites : siy_i>0 alorsai·x =bi,on vient de vérifier.

(20)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

six_j >0 alorsy^T·a^j=c_j,

(21)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

six_j >0 alorsy^T·a^j=c_j, x1= 1>0

(22)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

six_j >0 alorsy^T·a^j=c_j, x1= 1>0 donc 3y₁+ 1y₂= 1

(23)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

six_j >0 alorsy^T·a^j=c_j, x1= 1>0 donc 3y₁+ 1y₂= 1 x2= 1>0

(24)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

six_j >0 alorsy^T·a^j=c_j, x1= 1>0 donc 3y₁+ 1y₂= 1 x2= 1>0 donc 1y₁+ 4y₂= 1.

(25)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

dont la solution est

(26)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

y₁ y₂

= 3

112 11

(27)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

y₁ y₂

= 3

112 11

≥0,donc

(28)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

y₁ y₂

= 3

112 11

≥0,donc

y₁ y₂

est une solution r´ealisable du dual.

(29)

EXO 10.2.

1

1 1

et^y_y¹

2

1 1

1·1 + 4·1 = 5 1

1

≥0.

y₁ y₂

= 3

112 11

≥0,donc

y₁ y₂

est une solution r´ealisable du dual.

3

1 1

et¹¹³2 11

sont des solutions optimales du primal et du dual.

(30)

Probl`eme de production

Avant l’arrivage massif de nouveaux mod`eles, un vendeur de

téléphones portables veut écouler rapidement son stock composé de

1 8appareils,

2 4kits ”mains libres” et

3 19cartes avec des communications pr´epay´ees.

Après une étude de marché, il sait très bien que, dans cette période de soldes, il peut proposer aux clients deux coffrets qui vont lui rapporter des profits nets :

1 Coffret 1 : 1t´el´ephone,0kit et2 cartes, avec un profit net de7e.

2 Coffret 2 : 1téléphone,1kit et3 cartes, avec un profit net de9e. Il est assuré de pouvoir vendre tranquillement n’importe quelle quantité de ses offres dans la limite du stock disponible.

Quelle quantit´e de chaque offre notre vendeur doit-il pr´eparer pour maximiser son profit net?

(31)

Probl`eme de production

Programme lin´eaire 1x1 + 1x2 ≤ 8

x2 ≤ 4 2x1 + 3x2 ≤19 x1, x2 ≥0 7x1 + 9x2 =z(max)

(32)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(33)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

Qu’est-ce qui se passe si l’on perturbe un peu le vecteur b ?

(34)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

Peut-on dire quelque chose sur le changement de la fonction objectif ?

(35)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

Peut-on dire quelque chose sur le changement de la fonction objectif ? Le poly`edre a chang´e, on ne voit pas comment calculer zε(max).

(36)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

Utilisons la dualit´e !

(37)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(D )

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

8y1 + 4y2 + 19y3=w (min)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

(38)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(D )

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

8y1 + 4y2 + 19y3=w (min)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

(D^ε)

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

(8 +ε1)y1 + (4 +ε2)y2 + (19 +ε3)y3=wε(min)

(39)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(D )

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

8y1 + 4y2 + 19y3=w (min)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

(D^ε)

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

(8 +ε1)y1 + (4 +ε2)y2 + (19 +ε3)y3=wε(min)

Utilisons la dualité ! Le polyèdre du dual n’a pas changé.

(40)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(D )

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

8y1 + 4y2 + 19y3=w (min)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

(D^ε)

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

(8 +ε1)y1 + (4 +ε2)y2 + (19 +ε3)y3=wε(min)

Utilisons la dualité ! Le polyèdre du dual n’a pas changé.

La solution optimale y du (D) ne change pas pourε₁, ε₂, ε₃ petits.

(41)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(D )

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

8y1 + 4y2 + 19y3=w (min)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

(D^ε)

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

(8 +ε1)y1 + (4 +ε2)y2 + (19 +ε3)y3=wε(min)

zε(max) =

(42)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(D )

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

8y1 + 4y2 + 19y3=w (min)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

(D^ε)

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

(8 +ε1)y1 + (4 +ε2)y2 + (19 +ε3)y3=wε(min)

zε(max) = wε(min)

(43)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(D )

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

8y1 + 4y2 + 19y3=w (min)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

(D^ε)

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

(8 +ε1)y1 + (4 +ε2)y2 + (19 +ε3)y3=wε(min)

zε(max) = wε(min)

= (8 +ε1)y₁+ (4 +ε2)y₂+ (19 +ε3)y₃

(44)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(D )

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

8y1 + 4y2 + 19y3=w (min)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

(D^ε)

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

(8 +ε1)y1 + (4 +ε2)y2 + (19 +ε3)y3=wε(min)

zε(max) = wε(min)

= (8 +ε1)y₁+ (4 +ε2)y₂+ (19 +ε3)y₃

= (8y₁+ 4y₂+ 19y₃)

(45)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(D )

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

8y1 + 4y2 + 19y3=w (min)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

(D^ε)

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

(8 +ε1)y1 + (4 +ε2)y2 + (19 +ε3)y3=wε(min)

zε(max) = wε(min)

= (8 +ε1)y₁+ (4 +ε2)y₂+ (19 +ε3)y₃

= (8y₁+ 4y₂+ 19y₃) + (ε1y₁+ε₂y₂+ε₃y₃)

(46)

Perturbation des donn´ees (Probl`eme de production)

(P )

1x1 + 1x2≤ 8 x2≤ 4 2x1 + 3x2≤19 x1, x2≥0 7x1 + 9x2=z(max)

(D )

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

8y1 + 4y2 + 19y3=w (min)

(P^ε)

1x1 + 1x2≤ 8 +ε1

x2≤ 4 +ε2

2x1 + 3x2≤19 +ε3

x1, x2≥0 7x1 + 9x2=zε(max)

(D^ε)

1y1 + 2y3≥7

1y1 + 1y2 + 3y3≥9

y1, y2, y3≥0

(8 +ε1)y1 + (4 +ε2)y2 + (19 +ε3)y3=wε(min)

zε(max) = wε(min)

= (8 +ε1)y₁+ (4 +ε2)y₂+ (19 +ε3)y₃

= (8y₁+ 4y₂+ 19y₃) + (ε1y₁+ε₂y₂+ε₃y₃)

= w(min)