Cours 8. Quantit´ es conserv´ ees
R´ esum´ e du cours d’aujourd’hui
— R´esum´e du dernier cours.
— Deux autres propri´et´es de la m´etrique : (1) la relation entre composants contravariants et covariants, (2) d´eriv´ee
covariante est nul.
— Le produit entre un vecteur covariant et un vecteur contravariant.
— Une autre forme de l’´equations des g´eodesiques.
— Quantit´es converv´ees le long d’une g´eodesique.
R´ esum´ e du dernier cours
— Practiquer de trouver Γαµν pour une m´etrique donn´ee, utilisant
Γµαβ = 1
2gµσ[ ∂
∂xβ gσα + ∂
∂xαgσβ − ∂
∂xσ gαβ] (1) Notations diff´erentes pour la d´eriv´ee :
∂
xβ gσα ≡ ∂βgσα ≡ gσα,β (2) La matrice des composantes covariantes de la m´etrique gµσ est, tous simplement, l’inverse de la matrice de la m´etrique gµσ. Alors on a
gµσgσν = δµν. (3)
— L’´equation des g´eod´esiques : Practiquer de v´erifier les
solutions de l’´equation des g´eod´esiques. En g´en´erale c’est difficile de r´esoudre des ´equations non-lin´eaires. Mais c’est facile de v´erifier une courbe est une solution ou pas.
— D’o`u vien l’´equation des g´eod´esiques ? Elle d´ecoule du fait que la quadri-acc´el´eration ~a est nulle sur une g´eod´esique de genre temps
~a = d~u
dτ = ~0.
— Nous avons d´emontr´e ensemble que les grands cercles sont les g´eod´esiques dans la sph`ere.
— Exercice `a la maison :
Exercice ` a la maison
D´emontrer que l’´equations g´eod´esiques admettent les solutions circulaires (r =constante, θ = π/2) pour la m´etrique de
Schwarzschild ds2 =
1 − 2M G rc2
c2dt2 −
1 − 2M G rc2
−1
dr2 − r2dθ2 − r2 sin2θdφ2. (4) Vous verrez que deux des ´equations g´eod´esiques sont triviales dans ce probl`eme, une dit que la vitesse orbitale est constante, et la
quatri`eme nous permet de calculer la p´eriode de l’orbite. Trouver la p´eriode. Je vous ai donn´e les symboles de Christoffel non-nuls dans les coordonn´ees de Eq. (4) et il faut ajouter les impliqu´es par la sym´etrie Γαµν = Γανµ.
Relation entre composants contravariants et covariants : un nouveau rˆ ole pour la
m´ etrique
— Relation entre composants covariants et contravariants :
Vα = gασV σ, V α = gασVσ, (5) o`u gαβ et la m´etrique inverse,
gασgσβ = δβα. (6)
— D´emonstration pour Vα = gαβV β : V~ = V α~eα = V βδβα~eα
= V β(~eβ ·~eα)~eα = V β~eα(~eα~eβ)
= V β~eαgαβ
Vα~eα = (V βgαβ)~eα. (7) Alors
Vα = gαβV β.
— D´emonstration pour V α = gαβVβ. Multipler les deux cot´es de Vα = gαβV β par la m´etrique inverse.
— TD : D´emontrer que
gαβ = δβα (8)
— Le tenseur m´etrique joue le triple rˆole (1) d’encoder la
g´eom´etrie (2) de nous dit comme faire le produit scalaire (3)
baisser et monter les indices.
— Plusieurs fa¸cons d’´ecrire le produit scalaire :
A~ · B~ = g(A, ~~ B) ≡ gαβAαBβ = AβBβ.
— TD : Trouver tous les composants des vecteurs de base (~ei)j duaux aux vecteurs de base cart´esiens
(~ex)i =
1 0
, (~ey)i =
0 1
. (9)
— Solution : En g´en´erale on a un syst`eme d’´equations `a
r´esoudre ~eα~eβ = δβα. Or ici c’est simple :
(~ex)i(~ex)i = 1
~ex)1 (~ex)2
(~ex)1 (~ex)2
= 1
(~ex)1 = 1. (10) etc.
Rappel : D´ eriv´ ee covariante
D´ eriv´ ee covariante d’un tenseur
Voyez (Schutz, 2009, § 3.8)
— Rappelez-vous que quand nous d´erivons un vecteur rep`ere dans un syst`eme de coordonn´ees curvilignes, il faut tenir compte des d´eriv´ees des vecteurs de base :
∂
∂xα(uβ~eβ) = ~eβ ∂
∂xα (uβ) + uβ ∂
∂xα(~eβ) (11)
=
~eβ ∂
∂xα(uβ) + uµΓβµα~eβ
= ~eβ
∂
∂xα (uβ) + uµΓβµα
(12)
∇αuβ ≡
∂
∂xα(uβ) + uµΓβµα
(13)
— Notation pour la d´eriv´ee convariante :
uβ;α (Schutz, 2009) (14)
∇αuβ (Hobson et al., 2010) (15)
— Perspectif particulier : la d´eriv´ee convariante apparaˆıt parce que les physiciens sont trop paresseux d’´ecrire les vecteurs de base.
Resum´ e : D´ eriv´ ee covariante d’un tenseur
— C’est courant de parler de « le vecteur uα » plutˆot que « le vecteur qui a les composantes uα ». C’est important de
comprendre que ce n’est pas strictement correcte, parce que les composantes changent avec une changement de base alors que le vecteur ne change pas. Mais c’est courant parce que c’est plus court.
— De mˆeme fa¸con, c’est courant de parler de « le tenseur tαβ » plutˆot que « le tenseur qui a les composantes tαβ ».
— Donc c’est normale d’´ecrire les r`egles de d´eriv´ee covariante
∇αtβγ = ∂
∂xα tβγ + Γβµα tµγ + Γγµα tβµ , Schutz Eq. (5.65) (16) ou voir aussi (Hobson et al., 2010, Eq. (3.32) et Eq. (4.17)).
— La d´eriv´ee covariante d’un vecteur ou tenseur est un peu diff´erente [faites attention au signe negatif] pour les
composantes covariantes :
∇α(uβ) = ∂
∂xα(uβ) − uµΓµβα , voir Schutz Eq. (6.34)
∇α(tβγ) = ∂
∂xαtβγ − Γµβα tµγ − Γµγα tβµ , voir Schutz Eq. (5.64) (17)
(Hobson et al., 2010, Eq. (3.33) et Eq. (4.17)).
Quantit´ es conserv´ ees le long d’une
g´ eod´ esique
Equation des g´ ´ eod´ esiques
— Rapellez-vous l’´equation des g´eod´esiques est : d~u
dτ = 0 (18)
o`u τ est le temps propre le long de la g´eod´esique du genre temps. (Si la g´eod´esique est du genre nul ou de l’espace, il faut trouver un autre « param`etre affine ».)
— R´eecrire celle-ci comme dxβ
dτ
∂~u
∂xβ = 0 dxβ
dτ ∇βuα = 0 je viens de jetter les vecteurs de base ! uβ∇βuα = 0
gασuβ∇βuσ = 0 libre de r´e´etiqueter indice muet α → σ uβ∇β(gασuσ) = 0 gαβ commute avec d´eriv´ee convariante
uβ∇βuα = 0 baisser l’indice
uβ(∂uα
∂xβ − Γσαβuσ) = 0 (19)
uβ ∂uα
∂xβ = Γσαβuσuβ uβ ∂uα
∂xβ = 1 2gσρ
∂
∂xαgρβ + ∂
∂xβ gρα − ∂
∂xρ gαβ
uσuβ
uβ ∂uα
∂xβ = 1 2
∂
∂xαgρβ
uρuβ + 1 2
∂
∂xβ gαρ − ∂
∂xρgαβ
uρuβ (20) J’ai utilis´e la sym´etrie de la m´etrique : gρα = gαρ. La chose en rouge est un tenseur antisym´etrique mais il est multipli´e par le tenseur sym´etrique (en blue). ¸Ca doit ´egale `a z´ero !
— TD : D´emontrer AαβSαβ = 0.
— Imaginons que ∂x∂α gρβ = 0. Alors le membre de droit est nul.
Qu’est-ce qu’est le membre de gauche ? uβ ∂
∂xβ uα = dxβ dτ
∂uα
∂xβ
= duα
dτ (21)
C’est le taux de changement de uα le long d’une g´eod´esique.
(Une g´eod´esique car nous avons commenc´e avec l’´equation des g´eod´esiques.)
— Et donc, nous avons trouv´e une deuxi`eme forme pour l’´equation des g´eodesiques,
uβ ∂uα
∂xβ = 1 2
∂
∂xα gρβ
uρuβ. (22)
— Attention : duα
dτ = uβ ∂
∂xβ uα (23)
6= uβ∇βuα = Duα
dτ notation de (Hobson et al., 2010) (24) duα
dτ 6= uβuα;β = duα
dτ notation de (Schutz, 2009) (25)
Table 1 – Noter bien la diff´erence : pour les g´eod´esiques on a :
—
toujours valable seulement si ∂x∂αgµν = 0 uβ∇βuα = 0 uβ ∂x∂β uα = 0
le vecteur tangent ne change pas une composante ne change pas le long d’une g´eod´esique le long d’une g´eod´esique
— Rappel de la relativit´e restreinte : La quantit´e de
mouvement ~p d’une particule de masse (au repo) m est
~
p = m~u.
— Bilan : quand gαβ est independent d’une variable xµ puis pµ est conserv´e le long d’une g´eod´esique. Ex. Pour un
espace-temps statique, ∂t∂ gαβ = 0. Donc pt = constante ; c’est une affirmation de la conservation de l’´energie.
(i)ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2; (ii)ds2 = −
1 − 2M r
dt2 +
1 − 2M r
−1
dr2 + r2(dθ2 + sin2θ)dφ2; (iii)ds2 = −∆ − a2 sin2θ
ρ2 dt2 − 2a2M r sin2θ
ρ2 dt dφ + (r2 + a2)2 − a2∆ sin2θ
ρ2 sin2θ dφ2 + ρ2
∆dr2 + ρ2dθ2; (iv)ds2 = −dt2 + R2(t)
1
1 − kr2dr2 + r2(dθ2 + sin2θdφ2)
, (26) where M and a are constants and we have introduced the
shorthand notation ∆ = r2 − 2M r + a2, ρ2 = r2 + a2 cos2 θ. In (iv) k is a constant and R(t) is an arbitrary function of t alone.
The first one should be familiar by now. We shall encounter the other three in later chapters. Their names are, respectively, the Schwarzschild, Kerr, and Roberton-Walker metrics.
7.7 (a) For each metric, find as many conserved components of pα of a freely falling particle’s four momentum as possible.
of coordinates, if gµν is independent of xα∗ (for a fixed indexa α∗) then pα∗ is conserved for free particles. By inspection of the metrics above we immediately conclude the following.
— For the Minkowski spacetime, all four components pα are conserved.
— The Schwarzschild and Kerr spacetimes have conserved pt and pφ.
— For the Robertson-Walker spacetime pφ is conserved.
End of exerpt
a. Some books (e.g. Poisson, 2004) add a ‘∗’ to indicate a fixed index.
R´ ef´ erences
Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativit´e G´en´erale, de boeck, Bruxelles.
Poisson, E. (2004), A Relativist’s Toolkit : The mathematics of black-hole mechanics, 252 pp., Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 252 + xvi pp.
Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge University Press, Cambridge UK.