Cours8.Quantitésconservées Cours8:Quantitésconservées 1

(1)

Cours 8. Quantit´ es conserv´ ees

(2)

R´ esum´ e du cours d’aujourd’hui

— R´esum´e du dernier cours.

— Deux autres propriétés de la métrique : (1) la relation entre composants contravariants et covariants, (2) dérivée

covariante est nul.

— Le produit entre un vecteur covariant et un vecteur contravariant.

— Une autre forme de l’´equations des g´eodesiques.

— Quantités convervées le long d’une géodesique.

(3)

R´ esum´ e du dernier cours

— Practiquer de trouver Γ^α_µν pour une m´etrique donn´ee, utilisant

Γ^µ_αβ = 1

2g^µσ[ ∂

∂x^β g_σα + ∂

∂x^αg_σβ − ∂

∂x^σ g_αβ] (1) Notations différentes pour la dérivée :

∂

x^β g_σα ≡ ∂_βg_σα ≡ g_σα,β (2) La matrice des composantes covariantes de la m´etrique g^µσ est, tous simplement, l’inverse de la matrice de la m´etrique g_µσ. Alors on a

g^µσg_σν = δ^µ_ν. (3)

— L’équation des géodésiques : Practiquer de vérifier les

(4)

solutions de l’équation des géodésiques. En générale c’est difficile de résoudre des équations non-linéaires. Mais c’est facile de vérifier une courbe est une solution ou pas.

— D’où vien l’équation des géodésiques ? Elle découle du fait que la quadri-accélération ~a est nulle sur une géodésique de genre temps

~a = d~u

dτ = ~0.

— Nous avons démontré ensemble que les grands cercles sont les géodésiques dans la sphère.

— Exercice `a la maison :

(5)

Exercice ` a la maison

Démontrer que l’équations géodésiques admettent les solutions circulaires (r =constante, θ = π/2) pour la métrique de

Schwarzschild ds² =

1 − 2M G rc²

c²dt² −

1 − 2M G rc²

⁻¹

dr² − r²dθ² − r² sin²θdφ². (4) Vous verrez que deux des équations géodésiques sont triviales dans ce problème, une dit que la vitesse orbitale est constante, et la

quatrième nous permet de calculer la période de l’orbite. Trouver la période. Je vous ai donné les symboles de Christoffel non-nuls dans les coordonnées de Eq. (4) et il faut ajouter les impliqués par la symétrie Γ^α_µν = Γ^α_νµ.

(6)

Relation entre composants contravariants et covariants : un nouveau rˆ ole pour la

m´ etrique

— Relation entre composants covariants et contravariants :

V_α = g_ασV ^σ, V ^α = g^ασV_σ, (5) o`u g^αβ et la m´etrique inverse,

g^ασg_σβ = δ_β^α. (6)

(7)

— D´emonstration pour V_α = g_αβV ^β : V~ = V ^α~e_α = V ^βδ_β^α~e_α

= V ^β(~e_β ·~e^α)~e_α = V ^β~e^α(~e_α~e_β)

= V ^β~e^αg_αβ

V_α~e^α = (V ^βg_αβ)~e^α. (7) Alors

V_α = g_αβV ^β.

— Démonstration pour V ^α = g^αβV_β. Multipler les deux cotés de V_α = g_αβV ^β par la métrique inverse.

— TD : D´emontrer que

g^α_β = δ_β^α (8)

— Le tenseur m´etrique joue le triple rˆole (1) d’encoder la

g´eom´etrie (2) de nous dit comme faire le produit scalaire (3)

(8)

baisser et monter les indices.

— Plusieurs fa¸cons d’´ecrire le produit scalaire :

A~ · B~ = g(A, ~~ B) ≡ g_αβA^αB^β = A_βB^β.

— TD : Trouver tous les composants des vecteurs de base (~eⁱ)_j duaux aux vecteurs de base cart´esiens

(~e_x)ⁱ =



 1 0



 , (~e_y)ⁱ =



 0 1



. (9)

— Solution : En générale on a un système d’équations à

(9)

r´esoudre ~e^α~e_β = δ_β^α. Or ici c’est simple :

(~e^x)_i(~e_x)ⁱ = 1

~e^x)₁ (~e^x)₂





(~e_x)¹ (~e_x)²



 = 1

(~e^x)₁ = 1. (10) etc.

(10)

Rappel : D´ eriv´ ee covariante

(11)

D´ eriv´ ee covariante d’un tenseur

Voyez (Schutz, 2009, § 3.8)

— Rappelez-vous que quand nous dérivons un vecteur repère dans un système de coordonnées curvilignes, il faut tenir compte des dérivées des vecteurs de base :

∂

∂x^α(u^β~e_β) = ~e_β ∂

∂x^α (u^β) + u^β ∂

∂x^α(~e_β) (11)

=

~e_β ∂

∂x^α(u^β) + u^µΓ^β_µα~e_β

= ~e_β

∂

∂x^α (u^β) + u^µΓ^β_µα

(12)

∇_αu^β ≡

∂

∂x^α(u^β) + u^µΓ^β_µα

(13)

(12)

— Notation pour la d´eriv´ee convariante :

u^β_;α (Schutz, 2009) (14)

∇_αu^β (Hobson et al., 2010) (15)

— Perspectif particulier : la dérivée convariante apparaˆıt parce que les physiciens sont trop paresseux d’écrire les vecteurs de base.

(13)

Resum´ e : D´ eriv´ ee covariante d’un tenseur

— C’est courant de parler de « le vecteur u^α » plutˆot que « le vecteur qui a les composantes u^α ». C’est important de

comprendre que ce n’est pas strictement correcte, parce que les composantes changent avec une changement de base alors que le vecteur ne change pas. Mais c’est courant parce que c’est plus court.

— De mˆeme fa¸con, c’est courant de parler de « le tenseur t^αβ » plutˆot que « le tenseur qui a les composantes t^αβ ».

— Donc c’est normale d’écrire les règles de dérivée covariante

(14)

∇_αt^βγ = ∂

∂x^α t^βγ + Γ^β_µα t^µγ + Γ^γ_µα t^βµ , Schutz Eq. (5.65) (16) ou voir aussi (Hobson et al., 2010, Eq. (3.32) et Eq. (4.17)).

— La dérivée covariante d’un vecteur ou tenseur est un peu différente [faites attention au signe negatif] pour les

composantes covariantes :

∇_α(u_β) = ∂

∂x^α(u_β) − u_µΓ^µ_βα , voir Schutz Eq. (6.34)

∇_α(t_βγ) = ∂

∂x^αt_βγ − Γ^µ_βα t_µγ − Γ^µ_γα t_βµ , voir Schutz Eq. (5.64) (17)

(Hobson et al., 2010, Eq. (3.33) et Eq. (4.17)).

(15)

Quantit´ es conserv´ ees le long d’une

g´ eod´ esique

(16)

Equation des g´ ´ eod´ esiques

— Rapellez-vous l’équation des géodésiques est : d~u

dτ = 0 (18)

où τ est le temps propre le long de la géodésique du genre temps. (Si la géodésique est du genre nul ou de l’espace, il faut trouver un autre « paramètre affine ».)

(17)

— R´eecrire celle-ci comme dx^β

dτ

∂~u

∂x^β = 0 dx^β

dτ ∇_βu^α = 0 je viens de jetter les vecteurs de base ! u^β∇_βu^α = 0

g_ασu^β∇_βu^σ = 0 libre de réétiqueter indice muet α → σ u^β∇_β(g_ασu^σ) = 0 g_αβ commute avec dérivée convariante

u^β∇_βu_α = 0 baisser l’indice

u^β(∂u_α

∂x^β − Γ^σ_αβu_σ) = 0 (19)

(18)

u^β ∂u_α

∂x^β = Γ^σ_αβu_σu^β u^β ∂u_α

∂x^β = 1 2g^σρ

∂

∂x^αg_ρβ + ∂

∂x^β g_ρα − ∂

∂x^ρ g_αβ

u_σu^β

u^β ∂u_α

∂x^β = 1 2

∂

∂x^αg_ρβ

u^ρu^β + 1 2

∂

∂x^β g_αρ − ∂

∂x^ρg_αβ

u^ρu^β (20) J’ai utilisé la symétrie de la métrique : g_ρα = g_αρ. La chose en rouge est un tenseur antisymétrique mais il est multiplié par le tenseur symétrique (en blue). ¸Ca doit égale à zéro !

— TD : D´emontrer A_αβS^αβ = 0.

— Imaginons que _∂x^∂α g_ρβ = 0. Alors le membre de droit est nul.

(19)

Qu’est-ce qu’est le membre de gauche ? u^β ∂

∂x^β u_α = dx^β dτ

∂u_α

∂x^β

= du_α

dτ (21)

C’est le taux de changement de u_α le long d’une g´eod´esique.

(Une géodésique car nous avons commencé avec l’équation des géodésiques.)

— Et donc, nous avons trouvé une deuxième forme pour l’équation des géodesiques,

u^β ∂u_α

∂x^β = 1 2

∂

∂x^α g_ρβ

u^ρu^β. (22)

(20)

— Attention : du_α

dτ = u^β ∂

∂x^β u_α (23)

6= u^β∇_βu_α = Du_α

dτ notation de (Hobson et al., 2010) (24) du_α

dτ 6= u^βu_α;β = du_α

dτ notation de (Schutz, 2009) (25)

(21)

Table 1 – Noter bien la différence : pour les géodésiques on a :

—

toujours valable seulement si _∂x^∂αg_µν = 0 u^β∇_βu_α = 0 u^β _∂x^∂_β u_α = 0

le vecteur tangent ne change pas une composante ne change pas le long d’une géodésique le long d’une géodésique

— Rappel de la relativit´e restreinte : La quantit´e de

mouvement ~p d’une particule de masse (au repo) m est

~

p = m~u.

— Bilan : quand g_αβ est independent d’une variable x^µ puis p_µ est conservé le long d’une géodésique. Ex. Pour un

espace-temps statique, _∂t^∂ g_αβ = 0. Donc p_t = constante ; c’est une affirmation de la conservation de l’´energie.

(22)

(i)ds² = −dt² + dx² + dy² + dz²; (ii)ds² = −

1 − 2M r

dt² +

1 − 2M r

⁻¹

dr² + r²(dθ² + sin²θ)dφ²; (iii)ds² = −∆ − a² sin²θ

ρ² dt² − 2a2M r sin²θ

ρ² dt dφ + (r² + a²)² − a²∆ sin²θ

ρ² sin²θ dφ² + ρ²

∆dr² + ρ²dθ²; (iv)ds² = −dt² + R²(t)

1

1 − kr²dr² + r²(dθ² + sin²θdφ²)

, (26) where M and a are constants and we have introduced the

shorthand notation ∆ = r² − 2M r + a², ρ² = r² + a² cos² θ. In (iv) k is a constant and R(t) is an arbitrary function of t alone.

(23)

The first one should be familiar by now. We shall encounter the other three in later chapters. Their names are, respectively, the Schwarzschild, Kerr, and Roberton-Walker metrics.

7.7 (a) For each metric, find as many conserved components of p_α of a freely falling particle’s four momentum as possible.

(24)

of coordinates, if g_µν is independent of x^α∗ (for a fixed index^a α∗) then pα∗ is conserved for free particles. By inspection of the metrics above we immediately conclude the following.

— For the Minkowski spacetime, all four components p_α are conserved.

— The Schwarzschild and Kerr spacetimes have conserved p_t and p_φ.

— For the Robertson-Walker spacetime p_φ is conserved.

End of exerpt

a. Some books (e.g. Poisson, 2004) add a ‘∗’ to indicate a fixed index.

(25)

R´ ef´ erences

Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité Générale, de boeck, Bruxelles.

Poisson, E. (2004), A Relativist’s Toolkit : The mathematics of black-hole mechanics, 252 pp., Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 252 + xvi pp.

Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge University Press, Cambridge UK.