Master STE M´ecanique des fluides 2007 / 2008
Travaux dirig´ es de m´ ecanique des fluides (1)
1 Cin´ ematique : le tenseur taux de d´ eformation D
ij( ~ x, t )
Le tenseur=⇒ D(−→
x , t) joue un rˆole important en m´ecanique des fluides. L’objectif de cet exercice est de rappeler son sens physique en le reliant `a la notion simple de «vitesse de d´eformation relative», ce qui justifie son appellation de«taux de d´eformation».
Pour cela, on rappelle qu’un milieu id´eal ind´eformable est tel que deux « particules de mati`ere»quelconques qui lui sont li´ees gardent une distance constante au cours du temps.
A l’inverse, cela cesse d’ˆetre vrai quand le milieu peut se d´eformer. En outre, la d´eformation` du milieu peut ˆetre diff´erente d’une portion de mati`ere `a une autre, de sorte que cette notion a n´ecessairement un caract`ere local.
Consid´erons, de ce point de vue, deux particules fluides situ´ees `a l’instant taux pointsM et M′ rep´er´es respectivement par les vecteurs−→
x et−→ x +d−→
x, o`u le champ de vitesse est−→ v(−→
x , t) et −→
v(−→ x +d−→
x , t). Leur distanceds est d´efinie par ds2 = (d−→
x)2 =dxidxi, o`u d−→
x = −−−→
M M′. Si le milieu se d´eforme au cours du temps au voisinage de M, il existe des pointsM′ pour lesquels cette distance varie lorsque les particules fluides sont suivies pendant dt, ce qui conduit `a la variation :
d(ds2) = 2d−→
x ·d(d−→ x).
1. En notant M1 etM1′ les nouvelle positions des particules fluides `a l’instantt+dt, qui d´efinissent −−−−→
M1M1′ =d−→
x +d(d−→
x), montrer que d(d−→
x) =d−→ v dt, o`u les diff´erentielles des champs sont purement spatiales.
2. (a) En d´eduire qu’alors :
d
dtds2 = 2Dijdxidxj, o`u on a pos´e
Dij = 1 2
∂vi
∂xj +∂vj
∂xi,
qui repr´esente la partie sym´etrique du gradient de vitesse en coordonn´ees cart´esiennes.
(b) Dans le cas particulier o`u les particules fluides sont telles qu’`a l’instant t, on ait d−→
x = ds−→
x1, justifier l’interpr´etation de la composante D11 comme «taux de d´eformation relative ».
2 Cin´ ematique : le tenseur taux de rotation et la vorticit´ e
L’exercice 1 interpr`ete la partie sym´etrique du gradient de vitesse comme un taux local de d´eformation. Nous souhaitons montrer ici que la partie antisym´etrique du gradient de vitesse est associ´ee `a un taux local de rotation. Raisonnons en coordonn´ees cart´esiennes, et posons
Ωij(−→
x , t) =−Ωji(−→
x , t) = 1 2
∂vi
∂xj
− ∂vj
∂xi
.
1/2 Alexandre.Fournier@ujf-grenoble.fr
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Les notations sont celles de l’exercice 1. La diff´erentielle spatiale du champ de vitesse `a un instanttfix´e s’´ecrit
d−→ v ==⇒
D(−→
x , t)·d−→ x +=⇒
Ω (−→
x , t)·d−→ x =−→
v(−→ x +d−→
x , t)−−→ v(−→
x , t) =−→
v(M′, t)−−→ v(M, t), et repr´esente la vitesse relative de la particule fluide situ´ee au pointM′, vis-`a-vis de celle qui est situ´ee au point M. On pose
d−→ vΩ ==⇒
Ω (−→
x , t)·d−→ x pour la partie de cette vitesse relative qui est associ´ee `a =⇒
Ω . 1. Montrer que l’on peut ´ecrire
∀d−→
x , d−→ vΩ=−→
ω(−→
x , t)∧d−→
x , o`u −→ ω(−→
x , t) = 1 2
−→ rot−→
v . 2. Dans le plan perpendiculaire enM `a−→
ω(−→
x , t), consid´erons les quatre points de la figure ci-dessous, ´equidistants et infiniment voisins deM. En raisonnant avecd−→
vΩ en chacun de ces points, en d´eduire que −→
ω(−→
x , t) repr´esente le taux de rotation local autour du point M du domaine mat´eriel li´e `a ces quatre points.
•
•
•
•
•
M4′
M1′ M2′ M3′
M
−
→ω(−→ x , t) =−→
ω(M, t)
3 Outils math´ ematiques : manipulation d’op´ erateurs
Soit un champ scalaireA(x, y, z) = 3x−z2et un champ vectoriel−→
u = (7y−4x2)−→
x1−(3z2+ 4y+ 5x) −→
x2− (8z3−6y2) −→ x3. 1. Calculer −−→
gradA, div−→ u,−→
rot−→ u et−→
∆−→ u. 2. V´erifier
div(A−→
u) =Adiv−→ u +−→
u ·−−→
gradA.
3. V´erifier
div−→
∆−→
u = ∆div−→ u . 4. Calculer −→
u ·−−→
grad−→ u.
R´ep´eter cet exercice dans un syst`eme de coordonn´ees cylindriques (s, φ, z) avec les champs A(s, φ, z) =ssin2φet−→
u(s, φ, z) =scosφ−→
es+z2−→ eφ.
4 Outils math´ ematiques : formule de Lamb
D´emontrer l’´egalit´e suivante
−
→v ·−−→
grad−→
v =−−→
grad −→ v2/2
+−→ rot−→
v ∧−→ v .
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