CIN´EMATIQUE - EXERCICES

CIN´ EMATIQUE - EXERCICES

Elongation pure ´

Dans un rep`ere cart´esien orthonorm´e, on ´etudie la transformation d’´elongation pure d´efinie de fa¸con lagrangienne pour t≥0 :

x₁ =X₁(1 +αt),x₂ =X₂,x₃ =X₃ avecα >0 (1) – D´eterminer la vitesse et les trajectoires

– Donner la repr´esentation eul´erienne du mouvement – D´eterminer le tenseur F, gradient de la transformation – ´Etudier le transport d’un vecteur, d’un volume et d’une aire

Cisaillement simple

Dans un rep`ere cart´esien orthonorm´e, on ´etudie la transformation de glisse- ment simple d´efinie de fa¸con lagrangienne pour t≥0 :

x₁ =X₁+ 2αtX₂,x₂ =X₂,x₃ =X₃ avecα >0 (2) – D´eterminer la vitesse et les trajectoires

– Donner la repr´esentation eul´erienne du mouvement – D´eterminer le tenseur F, gradient de la transformation – ´Etudier le transport d’un vecteur, d’un volume et d’une aire

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Trajectoire

Dans un rep`ere cart´esien orthonorm´e, on ´etudie la transformation d´efinie de fa¸con eul´erienne :

v₁ =αx₂,v₂ =αx₁,v₃ = 0 avecα >0 pour t ≥0

x₁ =X₁,x₂ =X₂,x₃ =X₃ `at = 0 (3) – Donner la description lagrangienne du mouvement

– Dessiner les trajectoires

Equation de transport ´

Montrer que la vitesse de variation de l’int´egrale de volumeI(t) =R

Ωg(−→x ,t)dv, o`u g est une fonction scalaire, est donn´ee par l’expression suivante :

dI dt =

Z

Ω

(∂g

∂t +div(g−→v ))dv

Pour cela, faire un changement de variable pour tout exprimer dans la confi- guration initiale avant de d´eriver, puis utiliser les symboles de permutation p_ijk pour exprimer la quantit´eJ sous la forme :

J =det(F) = 1

6p_ijkp_lmnF_ilF_jmF_kn avecF_ij = ∂x_i

∂Xj

(4)

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